前几天收到一个网友的求助,让我帮他算一道题,题目是这样的:已知锐角三角形的∠A=60°和对边的边长a=4,求周长范围和面积的极值。
在没有解题之前我们先回忆一下余弦定理和正弦定理。
余弦定理:
正弦定理:a/sina=b/sinb=c/sinc,以及有正弦定理推导出的三角形的面积公式:S=1/2·bcsin∠A。
今天我们就用这两个公式来求这道题。
将∠A=60°,a=4代入余弦定理a=b+c-2*b*c*cos∠A可知:16=b+c-2*b*c*1/2.整理后可得:
(b-c)=16-bc ①
(b+c)=16+3bc
b+c =()②
由于在三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,即可得
b+c>a ③
b-c
设周长为l,则l=a+b+c>2a=8;
由①可知:16-bc≥0,则
bc≤16; ⑤
由②可知:;
则l=a+b+c
l=a+()
由于bc≤16,所以
l=a+()≤a+()=4+8=12
所以:12≥l>8
这样我们就求出来周长的范围。下面我们来求面积的极值。
由面积公式可知:S△ABC=1/2·bcsin∠A。
所以当把∠A=60°代入面积公式可得:
S△ABC=1/2·bc·/2
由⑤可知:bc≤16;
则S△ABC≤4
所以三角形ABC的面积极值为4,且当a=b=c时有最大值!
总结:这个题目就是考察大家如何灵活运用三个知识点:第一就是余弦定理;第二就是正弦定理及其推导公式;第三就是三角形的三边关系。这三个知识点都是最基本的知识点,如果能够熟练运用,能够解决很多三角函数相关的问题。
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