已知P(1,1)、Q(2,1)，求解以下有关问题

已知P(1,1)、Q(2,1)，求解以下有关问题。

(1)求线段PQ中点坐标P1。

(2)求线段PQ中间某点P2的坐标，使得1PP2=2P2Q。

(3)求线段PQ延长线上，且在Q点右边的点P3坐标，使得PQ:QP3=1:2。

(4)计算PQ两点的距离。

(5)求PQ所在直线的方程L1及直线的斜率k1，以及经过点P1垂直PQ的直线方程L2。

(6)求以P,Q两点长轴为焦点，离心率e=1/2时的椭圆方程。

(7)求以P,Q两点长轴为顶点，离心率e=1/2时的椭圆方程。

(8)求以P,Q两点为实轴焦点，离心率e=3/2时的双曲线方程。

(9)求以P,Q两点为实轴顶点，离心率e=3/2时的双曲线方程。

(10)求以P为焦点，Q为顶点的抛物线方程。

(1)求线段PQ中点坐标P1。

解：设中点P1的横坐标为x0，纵坐标为y0，

根据题意，有：

x0=(1+2)/2=3/2;

y0=(1+1)/2=1.

即中点P1的坐标为P1(3/2, 1).

(2)求线段PQ中间某点P2的坐标，使得1PP2=2P2Q。

解：介绍两种方法来求P2点坐标。

思路一：两点间距离公式法。

设P2(x2,y2),由两点间距离公式有：

|PP2|=√[(1-x2)^2+(1-y2)^2];

|P2Q|=√[(2-x2)^2+(1-y2)^2].

1^2[(1-x2)^2+(1-y2)^2]=2^2[(2-x2)^2+(1-y2)^2]

1-2x2+x2^2+1-2y2+y2^2=16-16x2+4x2^2+4-8y2+4y2^2

3x2^2+3y2^2-14x2-6y2+18=0.

又因为点P2和P,Q在一条直线上，P2P与PQ的斜率相等，则：

(y2-1)/(x2-1)=0,

即：y2-1=0

y2=1,代入距离关系式方程有：

3x2^2+3*1-14x2-6*1+18=0

化简得：3x2^2-14x2+15=0,即：

(3x-5)(x-3)=0,由于1

求出x2=5/3，进一步代入求出y2=1.

思路二：定比分点法。

因为PP2/p2Q=2/1，所以定比分点λ1= 2.

则所求P2的横坐标x2=(1+2λ1)/(1+λ1)

同理，坐标轴y2=(1+1λ1)/(1+λ1)。

即可求出x2=5/3，y2=1。

所以所求点的坐标P2(5/3，1).

(3)求线段PQ延长线上，且在Q点右边的点P3坐标，使得PQ:QP3=1: 2。

解：用定比分点法求解。

因为PQ:QP3=1: 2，所以定比分点λ2=-3/2;

则所求P3的横坐标x3=(1+ 2λ2)/(1+λ2)

同理，坐标轴y3=(1+1λ2)/(1+λ2)。

即可求出x3=4，y3=1。

所以所求点的坐标P2(4，1).

(4)计算P、Q两点的距离。

解：根据两点间距离公式有：

d=|PQ|=√[(1-2)^2+(1-1)^2]

=√(1+0)=1.

即P、Q两点的距离为1。

(5) 求PQ所在直线的方程L1及直线的斜率k1，以及经过点P1垂直PQ的直线方程L2。

解：由P(1,1)、Q(2,1)知P,Q两点所在直线的斜率k1为：

k1=(1-1)/(2-1)=0.

则P,Q的直线方程L1的方程为：

y-1=0，即y=1.

由题意知，直线L2的斜率k2不存在，

即可求出所求的直线L2的方程为：x=3/2。

(6)求以P,Q两点为长轴焦点，离心率e=1/2时的椭圆方程。

解：根据题意设椭圆的半焦距为c，则有

2c=|PQ|=1；

即c=1/2，此时c^2=1/4;

又因为离心率e=1/2=c/a，则:

a=1，此时a^2=1;

此时b^2=a^2-c^2=1-1/4

=3/4,

故此时椭圆方程为：

(x-3/2)^2+(y-2/2)^2/(3/4)=1.

(7)求以P,Q两点为长轴顶点，离心率e=1/2时的椭圆方程。

解：根据题意设椭圆的半焦距为c，长半轴为a，则有：

2a=|PQ|=1，此时a=1/2，

进一步得a^2=1/4.

由离心率e=1/2=c/a,则：

c=1/4，此时c^2=16;

由b^2=a^2-c^2=1/4-1/16

=3/16，

故此时椭圆方程为：

(x-3/2)^2/(1/4)+(y-2/2)^2/(3/16)=1.

(8)求以P,Q两点为实轴焦点，离心率e=3/2时的双曲线方程。

解：根据题意设双曲线的半焦距为c，则有

2c=|PQ|=1，

即c=1/2，此时c^2=1/4;

由离心率e=3/2=c/a,则：

a=1/3，此时a^2=1/9;

由a^2+b^2=c^2得：

b^2=c^2-a^2=1/4-1/9

=5/36,

故此时双曲线的方程为：

(x-3/2)^2/(1/9)-(y-2/2)^2/(5/36)=1.

(9)求以P,Q两点为实轴顶点，离心率e=3/2时的双曲线方程。

解：根据题意设双曲线的半焦距为c，长半轴为a，则有：

2a=|PQ|=1，此时a=1/2，

进一步得a^2=1/4.

由离心率e=3/2=c/a,则：

c=3/4，此时c^2=9/16;

由a^2+b^2=c^2得：

b^2=c^2-a^2=9/16-1/4,

=5/16，

故此时双曲线方程为：

(x-3/2)^2/(1/4)-(y-2/2)^2/(5/16)=1.

(10)求以P为焦点，Q为顶点的抛物线方程。

解：以P(1, 1)为顶点，Q(2, 1)为顶点则有：

p/2=|PQ|=1,

则2p=4,此时抛物线的方程为：

(y-1)^2=-4 (x-2)。