为什么你的朋友的朋友比你的朋友多？—— 友谊悖论和沃比冈湖的骰子

不知道你考虑过这个问题没有：你的朋友多还是你的朋友的朋友多？你与你的朋友比较，谁更是交友达人？

当然，为公平比较，这里“你的朋友的朋友”要取一个平均数，也就是计算你所有的朋友的朋友数量之和，然后除以你的朋友数量，得到一个平均数。将这个平均数，与你自己的朋友数比较会如何？（没有特别指出的话，本文中的“朋友的朋友”都是这样一个平均数。）

还有一个假定是是朋友关系总是相互的、双向的。

基于以上设定，我知道各位各自心里都有一个估计了。但现在可以告诉各位一个结论：对绝大多数人来说，你的朋友的朋友数量会大于你的朋友数量。

你可能会觉得这不合理啊，既然朋友关系是相互的，那么如果有的人朋友多，就应该周围的人一起多，要少就一起少，最终应该是一半对一半。但事实确实有些出人意料，现实中，大多数人的朋友会比朋友的朋友数少。

第一次注意到这个现象的是美国社会学家，James Coleman。他在1960年代，对美国12所高中的学生进行了朋友关系的调查，结果发现平均每个学生有2.7个朋友，但是每个人的朋友的朋友数量平均为3.4。而只有不到1/4的人，他的朋友数多于其朋友的朋友的人数。

而大老李在本次节目之前，也在微信朋友圈做了一次调查，请你给你若干微信，比如10个好友发个消息，问一下他们的微信联系人数量，求个平均数，然后与自己的微信联系人数量比较一下。在这里，我就假设微信联系人相当于一个朋友关系。结果最终收到48份答复，结果有77.1%的人答复，自己朋友的朋友数量比自己的联系人数量多，所以也验证了Coleman的调查结果。我也很欢迎你做一下同样的调查，用留言形式回复我。

那为什么会形成这样的现象？美国的社会学家斯科特·菲尔德，他在1991年发表了一篇论文，标题就是这期节目的标题：为什么你的朋友的朋友比你的朋友多？他依据James Coleman'的调查结果，用数学方法分析了一下这种情况发生的原因。

其实原因简而言之就是：平均来讲，朋友的朋友就是会比某个人的朋友数多。看个例子吧：

这是一张网上流传很广的王菲人际关系图，虽然其中的连线不都表示好友，但每条连线还是表示两人关系较近。你会发现这张图里只有处于人际关系核心的王菲、周迅和张亚东三人，他们的朋友比朋友的朋友数量多，其他10人都是朋友数少。

而这种朋友关系网是常态：有若干交友达人，他们的朋友数特别多。而其他大多数的人，基本都与这些交友达人是朋友，而除此之外就没有几个朋友了。

数学上也可以验证这一点。我们就以全部是随机的一张人际关系图来计算，假设这张图里有v个人，和k条线，也就是k个朋友关系。那么来算算这张图里，平均每个人有几个朋友呢？非常简单，是因为每一条线连接两个人，所以每个人的朋友总数应该就是2k，那么平均每个人有2k/v个朋友。

而计算一个人朋友的朋友的平均数量、期望值稍微复杂点，我可以告诉你答案，就是上述平均值( )再加上每个人朋友数量的方差( )，除以每个人朋友的平均值：

因为方差总是正的，这也意味着每个人的"朋友的朋友"数的期望值确实会多于每个自己的朋友数量，是不是很反直觉！

(上图：Coleman统计中的学生好友数分布图，横轴为好友数，纵轴为有这些好友数的人数，平均值是2.7)

而且如果每个人朋友数量的差距越大，那么整个团体里就会有越多的人感觉自己的朋友少于朋友的朋友。一种最极端的情况是，n个人，其中有一个人交友达人，与其他n-1个人都是朋友，而其他的n-1个人只有他这一个朋友。这样所有n-1个人都会发现自己的朋友的朋友数量是n-1，而自己只有1个朋友。不幸的是这是一种朋友圈关系的常态。

那么有没有一种朋友关系的结构形式可以使得多数人的朋友数多过朋友的朋友？还是有的，比如如下结构：

那么C,D,E,F都会感觉自己的朋友比朋友的朋友数量多。但是你也会发现这种结构是非常刻意的。如果改变任何其中两人的关系都会使整个结构失去这种性质。

综上所述，大家应该接受这样一个现实：如果你感觉自己孤独，而你不多的几个朋友似乎都是社交达人，那么确实如此，说明你是一个平常人，无需悲伤难过。以上这个现象就叫“友谊悖论”。

而我最近还看到一个与友谊悖论有点类似反直觉的概率现象：沃比冈湖的骰子。“沃比冈湖”是美国作家Garrison Keillor写的一本小说的名称，也是一个地名。这个地区的一个特点是：那里的家长都认为自己的小孩是天才，要超过平均水平。其实中国的父母在自己小孩进入小学前也常有这种迷思。

“沃比冈湖的骰子”的是这样一组骰子。每次投掷中，每一个骰子的点数大于每个骰子平均点数的概率超过1/2。如果你把这组骰子想象成小孩，投出的点数是开始乘积，那就是它们的考试成绩超过平均成绩的概率都能过半，是不是听上去不太可能？但这样一组骰子确实存在，比如这样三个骰子，点数分布分别是：

A骰子: 3, 3, 3, 3, 3, 5

B和C骰子: 1, 1, 4, 4, 4, 4

可以验证对这组骰子，以下三个事件的概率都大于1/2：

A点数>(A点数+B点数+C点数)/3

B点数>(A点数+B点数+C点数)/3

C点数>(A点数+B点数+C点数)/3

比如，如果用(a, b, c)表示三个骰子的点数，则A点数大于平均点数的情形发生在以下情形：

(3, 1, 1,) , (3, 1, 4)，(3, 4, 1), (5, *, *)

四种情形的概率分别是：5/54, 10/54, 10/54, 1/6，总和是34/54=17/27>1/2。

B点数大于平均点数情形发生在以下事件：

(3, 4, *), (5, 4, 1) 概率分别是5/9和1/27，总和是16/27>1/2

C的情形同B。

这种情况看似一个悖论，但根源在于以上三个事件是相关的，而非独立事件。这个现象在中国也许叫做“别人家的骰子”更合适。

最近新开了一个学生听友群，欢迎学生朋友加入：