穿越时空的科学碰撞——中世纪伊斯兰图案、准晶体和彭罗斯密铺

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

密铺理论研究人们如何用各种图形覆盖平面。中世纪的伊斯兰工匠们开发了复杂的几何密铺图案来装饰他们的清真寺、陵墓和神殿。其中一些图案被称为girih（波斯人把几何图案称为girih，直译为"结"），最早出现在公元12世纪。最近的研究表明，这些中世纪密铺中所包含的对称性与西方在20世纪70年代首次发现的非周期彭罗斯密铺中发现的对称性相似。这些有趣的发现可能表明，这些工匠对数学的理解比我们最初认为的要深刻得多。

这种跨世纪的联系，为我们提供了一个绝好的机会，让我们得以在数学和历史背景下发现伊斯兰建筑的美。

1.伊斯兰密铺和传统饰带

伊斯兰世界拥有丰富的遗产，建筑、人行道和织物上的图案中都融合着各种各样的几何结构。这种高度程式化的艺术形式经过几个世纪的演变，从简单的设计发展到了相当复杂的几何，其中无不涉及高度的数学对称。许多复杂的设计都可以用"搭接法"来构造，将圆形和方形转化为星形和重叠的格子，形成更复杂的对称图案（图1）。西班牙有许多伊斯兰建筑的优秀例子（图2）。

图1：搭接法展示从圆圈到直线到星形再到重叠的格子编带的过程，Sketchpad绘制

图2：阿尔罕布拉宫的瓷砖

这些错综复杂的图案绝大多数都是以周期性的方式重复，下面这两个来自阿尔罕布拉宫的图案就说明了这一点。有些图案从一个中心点发出，在径向轴上保持周期性的对称（图3）。有些图案则在两个线性独立的方向上完美重复（图4），这称为二维晶体组。

图3：阿尔罕布拉宫的瓷砖——径向对称

图4：阿尔罕布拉宫的瓷砖——周期性平移

虽然在伊斯兰建筑上发现的许多图案都可以使用周期性的方法来构建，如用直尺和圆规绘制的带状结构，但也有许多例子似乎是非周期性的，其中包含对称性，这可能需要额外的构造技术。图5和图6的瓷砖分别来自15世纪的土耳其和17世纪的印度，展示了十次对称，在现代已经在准晶体结构中发现了这种对称。哈佛大学物理学家彼得·卢（Peter Lu）最近的发现表明，创造这些图案的中世纪工匠对几何的理解比最初认为的要深刻。

图5：土耳其布尔萨奥斯曼绿色清真寺苏丹小屋（公元1424年）

图6：位于印度阿格拉的I'timad al-Daula陵墓（公元1622年）

2非周期和非周期密铺

在线性方向上不重复的图案被称为非周期性图案。Heinz Voderberg在20世纪30年代设计的密铺（图7）展示了一种螺旋对称性。图8中形如狮身人面像的密铺图案具有自相似的分形特征，因为每块狮身人面像可以被分成4个较小的狮身人面像。

图7：Voderberg的螺旋密铺

图8：狮身人面像密铺——1分4的自相似

在20世纪70年代，人们发现了一些新的密铺，这些密铺不仅是非周期性的，而且不能被重新排列成周期性的。这种"非周期性"密铺的一个例子是由罗杰·彭罗斯发现的，由两种菱形组成（图9）。这些"彭罗斯菱形"的拼合方式是由形成非周期性图案的弧线决定的（图10）。虽然这个图案不是周期性的，但它是高度结构化的，包含准周期性的五重旋转对称性。

图9：彭罗斯菱形

图10：彭罗斯非周期性平铺

非周期对称性已经融入到现代建筑设计中。澳洲皇家墨尔本理工学院的斯托雷大厅（图11-12）建于20世纪90年代，利用基于彭罗斯非周期菱形的对称性。这个创新的设计和将大厅与周围19世纪的墨尔本社区相融合的设计，为这座现代建筑赢得了很多建筑奖项。

图11：澳洲皇家墨尔本理工学院的斯托雷大厅

图12：澳洲皇家墨尔本理工学院的斯托雷大厅内部礼堂

3 中世纪的Girih密铺

公元10-15世纪的复杂的非周期性密铺的例子在世界各地都可以找到。伊朗伊斯法罕的达卜伊玛目清真寺（Darb-i Imam，公元1453年，图13-14）提供了这类装饰的优秀范例。最近的发现提供了耐人寻味的见解，工匠们如何以保持非周期性准晶体的错综复杂的对称性的方式来装饰清真寺。

图13：伊朗伊斯法罕达卜伊玛目清真寺的门户

图14：伊朗伊斯法罕达卜伊玛目清真寺中的马赛克彩绘作品

图15是一套由十边形、五边形、六边形、蝴蝶结形和菱形组成的girih密铺，展示了创建复杂图案的方法。girih密铺本身不是最终图案的一部分，而是在girih密铺上的线条装饰决定了最终的设计。girih密铺可以被认为是决定实际图案位置的模板。如图16-17展示了拆解图案的过程。

图15：girih密铺的5种组成部分

图16：阿富汗Gazargah的Khwaja Abdullah Ansari的帖木儿神殿（公元1425-1429年）

图17：伊拉克巴格达Abbasid Al-Mustansiriyya Madrasa（公元1227-1234年）的露台

References

[1] Richard Ettinghausen, Oleg Grabar, Marilyn Jenkins-Madina, Islamic Art and Architecture 650–1250 Yale Univ. Press, New Haven, CT, 2001.

[2] Peter J. Lu and Paul J. Steinhardt, Decagonal and Quasi-crystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture. Science. Vol. 315, pp. 1106-1110, 2007.

[3] Peter J. Lu and Paul J. Steinhardt, Supporting Online Material for Decagonal and Quasi-crystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture. Retrieved on April 15, 2007 from

http://www.sciencemag.org/cgi/content/full/315/5815/1106/DC1.

[4] Alpay Ozdural, Mathematics and Art: Connections between Theory and Practice in the Medieval Islamic World, Historia Mathematica. Vol. 27, pp. 171-201, 2000.

[5] Raymond F. Tennant, Islamic Constructions: The Geometry Needed By Craftsmen, BRIDGES/ISAMA International Conference Proceedings, pp. 459-463, 2003.

[6] Raymond F. Tennant, Islamic Tilings of the Alhambra Palace: Teaching the Beauty of Mathematics, Teachers, Learners and Curriculum, Vol. 2, pp. 21-25, 2004.

[7] Raymond F. Tennant, Medieval Islamic Architecture, Quasicrystals, and Penrose and Girih Tiles: Questions from the Classroom

青山不改，绿水长流，在下告退。

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