第32讲：《反常积分敛散性的判定》内容小结、课件与典型例题与练习

一、定义法计算反常积分和判定敛散性的思路与方法

由以上反常积分敛散性的定义和计算公式可知，反常积分的计算和敛散性的判定在被积函数原函数可计算的情况下，完全可以借助定积分的方法来做，即反常积分计算，一般将其转换为定积分计算，然后求极限.

(1)判定反常积分类型（无穷区间上的广义积分、瑕积分），如果是两类融合，即无穷区间上包含了无穷间断点，则基于积分对积分区间的可加性，拆分区间为两类积分分别计算，使得讨论的每个积分仅仅为一种类型；

(2)求原函数，或转换积分为[a,t]，[t,b]上的定积分，或者直接换元直接转换为定积分，利用定积分方法计算积分值.当然中间过程也可以直接代入积分限，只不过代瑕点，或无穷大求函数值的过程是求极限值的过程.

【注】特别注意，在应用定积分方法判定和计算反常积分时，如果不是直接换元转换为了定积分，则记得不是直接代无穷大计算积分值，或者直接代瑕点变量值计算积分值，而是对定积分的结果取极限来得到结果.

(3)求极限：对积分结果求自变量趋于无穷大（无穷区间上的反常积分），或趋于瑕点（瑕积分）的极限来计算积分值或判定积分的敛散性.

二、反常积分敛散性的判定的基本思路与注意事项

高等数学课程中反常积分敛散性的判定一般首先考虑定义法，即定积分求极限的方法来判定；在定义法无法得到结论的情况下，其判定方法一般对照正项常值级数敛散性判定的比较审敛法与相类似的结论：p-积分与q-积分

(1)无穷区间上的反常积分收敛性判定方法的比较审敛法，基于p-积分的结论

(2)无界函数的反常积分收敛性判定方法的比较审敛法，基于 q- 积分的结论

【注1】对于同时包含两类反常积分的积分，需要借助积分对积分区间的可加性，转换为两类反常积分计算积分值或判定积分的收敛性，只有所有反常积分都收敛，原积分才收敛。

【注2】课件中的比较审敛法与极限审敛法虽然是以 p- 积分与 q- 积分比较形式给出，它们也可以换成其他收敛或发散的积分来进行比较：判定收敛比较收敛的积分，判定发散比较发散的积分。其中瑕积分（无界函数的反常积分）一般通过变换可以转换为第一类反常积分讨论，所以一般重点讨论第一类反常积分的判定方法。

【注3】反常积分的敛散性的判定和绝对收敛、条件收敛的定义与判定可以对照常值级数敛散性的判定与相关结论，尤其第一类反常积分（无穷限的反常积分）判定敛散性的比较审敛法与极限审敛法与常值级数相应判别法具有形式上完全一致的结论。只不过一个是 p- 积分，一个是 p- 级数。

【注4】其中判定反常积分敛散性的定义法（积分计算法）、比较审敛法与极限审敛法是判定反常积分敛散性的基本方法，也是高等数学课程学习必须掌握的方法。而柯西原理、狄利克雷判别法与阿贝尔判别法属于提高内容，一般在说明其方法名称，明确其条件的情况下也可以直接应用于判定反常积分的收敛性。

【注5】关于反常积分敛散性判定的基本思路、方法与步骤详细的讨论视频教学可以参见“第五届全国大学生数学竞赛初赛非数学竞赛试题解析”在线课堂中填空题第2题“一元函数反常积分敛散性判定的一般思路与方法”中的五个教学与学习视频！

• 第1节：无穷限反常积分敛散性判定的定义法

• 第2节：无穷限反常积分敛散性判定的比较法

• 第3节：无界函数的反常积分敛散性判定的定义法

• 第4节：无界函数的反常积分敛散性判定的比较法

• 第5节：反常积分敛散性判定的基本方法与步骤实例分析

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