趣说趣味自然数，勾股数的前生今世，多彩绚丽，令人惊叹

设x、y是直角三角形的两条直角边长，z是斜边长，根据勾股定理，必有x+y=z.这里x、y、z，可以是任意实数，当然要满足如上等式. 如果x、y、限定必须是自然数，我们把满足勾股定理的这样一组数叫作一个勾股数组。

我们常见的勾股数有3、4、5；5,12,13；7,24,25；8,15,17；9、40、41。 如果a，b，c为一组勾股数，则na，nb，nc也是一组勾股数，其中n为自然数。例如3，4，5是一组勾股数，那么　6，8，10也是一组勾股数9，12，15也是一组勾股数。而普林顿322里面出现的较大的勾股数除去是常见的勾股数的倍数外，其他一些数据是怎么得来的呢？到底存在多少组勾股数呢?

探寻"勾股数"

在西方，提出求勾股数组式子的是毕达哥拉斯。他提出了如下求勾股数组的式子：

这组公式可以求出不少勾股数组，但是局限性很大。后来古希腊著名学者柏拉图（Platon，公元前427-前347）了类似式子。他们的式子均不能给出全部勾股数组.例如8、15、17三数不在式子之中，但却是一组匀股数组.

再后来，古希腊数学家丢番图（Diophantus，约250-约334）给出了如下一组公式：

利用这一组公式算得前面的几组勾股数组如下表：

他的功绩在于，这组公式能求出全部勾股数组.

和丢番图同时代的我国数学家刘徽（约225一约295），在数学上的主要成就是为《九章算术》做注解，于公元263年成书，名《九章算术注》.他曾用几何方法找到了如下求勾股数组的公式，就载于该书中：

这是迄今为止求勾股数组最完美的公式组之一。

美国哥伦比亚大学普林斯顿收藏馆收藏了一块很古怪的泥板，这款泥板是在巴比伦挖掘出来的，编号322，考古学家相信这块泥板是公元前18世纪的成品，泥板上有三列文字，没有人能解释，直至1945年，Neugebauer和Sachs经过细心考究，发现泥板上是三列数字，你知道这些数字间的关系吗？借助计算器进行探索。

对于古巴比伦人手稿，据考证，其年代远在中国商高和古希腊毕达哥拉斯之前，大致在公元前1900年到公元前1600年之间.手稿列出了以下15组勾股数：

其数之大和年代之早令人难以置信.如果是确实的，说明古巴比伦人的灿烂文化，在此方面先于他国.这或许是一个难以考证的千古之谜。

如何构造勾股数？

用现代数学知识，构造勾股数，就要寻找3个正整数，使它满足"两个数的平方和（或差）等于第三个数的平方"，即满足以下形式：

我们可以从乘法公式的变形入手。我们知道：

如何记忆呢？

规律一：在勾股数（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）、（9，40，41）中我们发现：在一组勾股数中，当最小边是奇数时，它的平方刚好是另外两个连续正整数的和。

我们还总结出来一个方便理解和记忆的方法：在一组勾股数中，若第一个数是奇数，则另外两个数，一个数是它的平方减1的一半，一个数是它的平方加1的一半。

这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。

规律二：在勾股数（6，8，10）、（8，15，17）、（10，24，26）中我们发现：

在一组勾股数中，当最小边是偶数时，它的平方刚好等于两个连续奇数，或者两个连续偶数的和的2倍。

规律二的补充记忆方法：

在一组勾股书中，当一个数是偶数时，则另外两个数，一个数是它的一半的平方减1，另一个数是它一半的平法加1.

中国关于"勾股数"的历史梳理

我国对于"勾股数"的探寻中，做出了重大贡献。很多数学著作都有不同程度的结论记载：如前面提到的最古老的《周髀算经》，标志着中国传统数学形成的《九章算术》（大约公元前1世纪），唐代《辑古算经》（约公元626年），宋元时期《测圆海镜》（1248年）、

《四元玉鉴》（1303年），清代《数理精蕴》（1723年）等。特别值得一提，清末《算表合壁》一书中记录了沈立民（浙江乌镇人，清代算学家、火器发明家）对勾股数的研究，列有"整数勾股弦表"，利用公式列出了弦长不超过1000的所有勾股数。