郭永钦：明清赋税核算技术变革与赋税折亩数字的制造

本文作者郭永钦博士

摘要

明清时期随着物料折银与赋税定额化，在赋税数据征收实务中，需要经常处理长数位乘除法的程式化计算。随着算盘的广泛应用，“商归之争”的珠算技术革新，“流法”等简捷计算技术应运而生，对赋税数据文本的单位、有效数位等数据形态产生了深远影响。本文利用现存的稀见明清古算书、吏员手册等文献，首先以数学史视角复原长尾数数据的乘除技术，提出赋税数据文献可以反推折算顺序的规律。其次以此为据，考察《赋役全书》中，“米、粮折银”时，税额的产生、制作过程。指出在同地不同时期的田亩折银时，存在从原额比例折算成“人造每亩折率”的情形。而认识到该规律的产生背景，有助于我们重新审视赋税数据背后的制度史因素。

关键词

“流法”；赋税；每亩折率；《赋役全书》

一、赋税核算技术的演变

元明之后，算盘开始大规模地在全国范围流行。这一时段，珠算史上一直存在的“商归之争”终以“归”胜“商”败完结。然而学界少有将此事与同时代的赋役统计制度变革联系起来。本文主要在此角度上，参考古代算书和地方税收册籍，复原地丁税的折算技术，考察明清折银数据背后的制度背景。

算盘与算筹

所谓“商归之争”，是指15世纪以后，两大珠算体系，即“商除·头乘”和“归除·留头乘”算法，最终以后者成为主流。原因是归除对心算能力要求降低，“只需根据口诀拨珠而自得商数，熟练后动作机械，计算速度之快，商算难以企及”。朱永茂将商、归计算方法优缺点归纳如下：

“商”之于“归”：与现代笔算除法类似，只需乘法九九表即可，易学计算精确，对算盘具体式样亦并无要求。缺陷是商数要另置珠位，不能改变被除数，运算速度较慢。由于使用“立商”法，多位数运算速度较慢。“归”之于“商”：被除数可以调整，以口诀形式处理除数位数较少时，速度迅速。缺点是学习成本较高，“归除”、“撞归”口诀较九九表复杂很多，且往往一个算盘并不够用，需要添加算盘或依靠算手记忆。

商除法源于宋以前筹算，分步求商和余数。一般分筹算和珠算两类，各算位推算数字相对精确，但效率较低，在算盘上并不利于快速计算。元以后补充了“撞归”“起一”两种口诀后，商除法迅速没落，以致朱世杰在《算学启蒙》中认为归除虽非“正术”，但简便易学。明清时期，这一大趋势亦然，程大位在《算法纂要》及清梅瑴成增删《算法统宗》时，都大幅删减商除算例，这种情况持续到1949年前，一般珠算课程都多采用归除法。

朱永茂参与编著的《珠算教程》

即便如此，算手在处理土地和税银折算时，往往会面临较长尾数的乘除法，超过了算盘档13位档位的限制，造成运算不便。笔者主要参考明代《算法统宗》、清代《简捷易明算法》、《数度衍》、《会计全书》等资料，认为在田亩赋税折算中，都引入过“流法”，另外在考成的计算中则引入“虚分数”。这两种计算的思路都非常相似，即首先编制流数口诀表，然后以加法或者减法取代除法运算，实质都是“流法”运算。

华印椿认为流法用于处理大数的乘除，在清以前的古算书中并未出现，至清初方中通《数度衍》、沈士桂《新纂简捷易明算法》中才首见。笔者认为，应用流法处理大数乘除运算最重要的产生渊源很可能与赋役钱粮计算有关，因此笔者在明代嘉靖年间《海瑞集》中就找到了“流法”证据，因此华氏说法尚可提前到明代物料折银时，这种技术就已经开始流行。因下文将对比乘与除法计算的差别，故先简要介绍明代物料折银时，“流法”的运算程序。

海瑞像

明嘉靖年间，海瑞在任职浙省淳安县知县时，在《量田则例》后附上了各田、地、山、塘折绢的“流数口诀”。为便于分析，笔者将其转化为阿拉伯数字制表如下（见表1），各流数对应上排数为原文口诀，下排为各折率的流数的真实倍数。对照上下排可知，口诀中后退一位为“退”，否则为“留”，零数位则为“空”，所选“流”的基数就是“田、地、山、塘”折绢率。《量田则例》结尾时，有以下一段话：

算法只载秋粮田一件，官田、地、山、塘条件甚多，可就此推类算之，不能尽载也。查得嘉靖三十年户部移咨各省清查税量，淳安县官田地山塘有新收、抄没、石峡、儒学等项，名目甚多，起科自一升二合五勺至四斗五升五合，参差不一。小民不能稽查，奸人缘此作弊。若量出成照三十年事例，不论官民田地山塘一例出夏绢，一例出秋粮，事体诚归一无弊也。

至于流数表中，具体口诀应该怎样使用，《海瑞集》中并无任何说明，笔者试举上表万历方志中田亩折绢总数为例，说明这一算法产生的钱粮尾数的特点。若按《海瑞集》所载“流数法”复原出算法如下（参见图1），如我们要计算万历田亩原额269 222.040 5（亩）×7.817 4（寸/亩），则只需要将原亩数从最后一位依次按照流法表对应的流数向前相加，即（5-0-4-0-2-2-2-9-6-2），这样，在一个县内，亩折绢比例都相同，因此对应于各户不同的亩数，只需按照这个程序（以“田绢折流”数为标准）加总一遍即可，不需要计算乘法，具体操作按照表1所示。所得结果与计算机所得乘法准确结果2 104 616.379 404 7（寸）完全一致。因为若用流数乘法运算，并不会造成有效算位的取舍，造成误差。

表1 淳安县田、地、山、塘折绢流数表

海瑞著《海瑞集》

图1 《海瑞集》“流乘法”

入清以后，浙江省仍流行着同样的算法，《新纂简捷易明算法》是在原来康熙二十年（1681）所编《算法大全统鉴》基础上编写，并于康熙四十三年成书。在这一时段，《浙江赋役全书》的体例、内容也逐渐成型。有关沈士桂的具体信息，尚未见其他文献记载。仅在此书序中透露了他“名重京省，言会计者，莫不首屈一指，入官者莫不虚左仰望”。

该书几乎少有人注意，而作者作为算手，具有丰富的实际经验，向读者传授记账、计算税赋、考成、兑换、丈田、考成等实用技术。全书布局结构为四卷，卷一包含简单的单位换算、垛法、因乘、九归等算法与口诀，其后着重讲解运算技术。全书结尾处单列了钱粮计算实务，如“纂《全书》法”“分派颜料法”“考成法”“钱粮置簿规式”等。“纂《全书》法”特别记载了编纂《赋役全书》时流法的作用，这在各古算书中尚属首见。我们得以一窥清初时期赋役全书清算方法之概貌：

纂《全书》，定例则法数多长共享归除，繁而易错，盘未能即楚。今立此归除流去，尤较归除简便，不用法诀，不劳心力极大归除□而且准，归除一盘流法可以十盘矣。

沈士桂著《新纂简捷易明算法》

由上可知，编纂《赋役全书》时，针对折率“数长”、归除时共享相同的除数特点，就在原有归法的基础上新发明了流法，运算效率是归法的10倍。例题部分记录了清初浙江各府地丁钱粮银额数据，其中仅湖州府的情况与清初册载数目相差不大。惟因沈士桂对湖州府特别标注是“故银”区别于其他的“征银”，可能与他真实看过该府数目有关，但其余各府数额找不到更坚实的证据。笔者推测这有可能是沈士桂虚构的一个算例，如果我们观察十万、万位数目，则可以看到数字以43、41、39等等差数列递减，应是为说明算法而特意假设的。

华印椿在《中国珠算史稿》中引用过这一算例，笔者经校对沈士桂原书后，遗憾地发现，由于对“算位”概念的理解偏差，华氏所抄的总额征银、杭州府、嘉兴府、处州府四个数字中三个都是错的，因此华氏所复原算法虽提供了一种思路，但不可能解释赋税分配的折算技术。以下将重新复原这一“流除法”，结果与沈士桂所举各数均完全吻合。

表2 《新纂简捷易明算法》载浙江分府地丁银额

华印椿

对于沈士桂的“流除法”，余宁旺曾与方中通《数度衍》中所载记录对比，认为略有不同，即方中通的“流除法”是按照先编除数的倒数的1—9倍数，然后“以加代除”，而沈士桂则是直接将除数编1—9倍数，“以减代除”，编者认为沈士桂的算法并不方便，不如用倒数倍数“以加代除”的好。但这两种算法原理并无实质区别。沈士桂“纂《全书》法”部分计算的是总闰银数按照各府额征地丁银数的分摊，以下两种方案则比较了除法计算重复次数：

方案一：用分府额征数之和，得省总额征，由“总闰银/省总额征=额征1两所征闰银”，再以之分别乘以各府额征数，得各府分摊的闰银数。共计1次计算除法，11次计算乘法。

方案二：用分府额征数，分别除以总额征数，得分府均摊比例，再用这个比例乘以总闰银数，得各府分摊闰银数。共计11次除法（除数都一样是总额征数，即重复计算除法），11次乘法。

方中通著《数度衍》

从现代会计知识来看，其实以上两种计算结果并无二致。但在清初，在早已弃用“商除法”的情况下，使用算盘计算闰银按府分摊：

87 026.482 568 211 695 7/3 691 123.226 168 978 818 7=0.023 577 235 772 357 723 577

这一过程，若无成型的运算技术，运用“归除法”将相当困难，故沈士桂使用的方案一，将大大减少除法运算过程，提高运算速度与精确性。

第一步将总闰银均摊到浙江省总额征总地丁银上，“以减代除”，直接对除数编1—9倍，求得额征1两地丁银所征闰银数：

表3《新纂简捷易明算法》载浙江省闰银流数表

《明清赋役全书》

以上面流数表的各个流数就相当于1/36 911 232 261 689 788 187（去掉小数点）作“流乘法”的各个数位，随后我们将被除数87 026.482 568 211 695 7（去掉小数点）置于表头，然后按照流表中的数字，依次从最高位逐步减去“最大、最接近”的流数（如被除数与第一位“73 822 464 523 379 576 374”就最接近，故首位商2），即得商数结果（下图左边纵列）0.023 577 235……这样就成功地用减法运算，避开了长尾数的重复除法，这种求得各府分摊之闰银数目，原理方法与前述《海瑞集》《数度衍》本质上都是一致的。

图2 《新纂简捷易明算法》载“流除法”

往往商用计算不必对长尾数锱铢必较，但对于政府预、结算来说则是另一回事。赋役类计算需“总撒一致”，便于验算正误，更为重要的是，在“一条鞭法”“摊丁入亩”后，在涉及人丁、谷物、丝绢、贡物等折银时，实际可能产生长尾数情形，其中主要分两大类：一类是以本实收取本色类物品为准，后因某些原因（如需要改折银、绢之类），将计量单位统一换算成银额而进行的折算，该类折算的长尾数产生多是由于乘法的作用，原本比较规整的数目（如实际上缴整谷数、户口调查的人数），因需要乘以一个特定的比率，导致了长尾数的产生。另一种类型是将一定规整的总额（如需要上缴的总贡物数等）摊派到具体的分项目上，形成除不尽的长尾数。两类长尾数字产生原因略有差异，最后在赋役册书上的四柱加减杂糅计算，导致验算数据“总撒源流”难以厘清，不同类型、项目的数目均统统混为银两数，而掩盖了其本来面目。这一点，沈士桂亦有明确认识：

若先以县分流之，合对府总，府总合对司总，尾数定然不符。有错字者须细详之。

《宁波府鄞县赋役全书》

这样的按不同行政层级间核算时尾数不同的问题，浙江《会计全书》也有记载：

将各府额银合对，司总为法，以闰银为实，除之，算至未尽尾数方准，仍将每两该闰若干之数为法，以府额为实，相乘，或有县分先以府额算之，得数核对司总，然后以县额算之，得数核对府总，其数乃准。若先以县分数算之，合成府总，核对司总，尾数定然不符，宜细参之。

在古算书中，被乘数、被除数的术语是“实”，而乘数、除数的术语是“法”。上面两段话虽详略不一，但都说明了先以县分配运算后，再到府及司总加总时，尾数验算不符（即前文中“方案二”）。这是一条重要的经验性规律，这对我们下文讨论按“省、府、州县”不同行政层级的分配方案上，或者某类物料从“积步、折亩、折粮、折银”等按顺序作除法运算时，识别折算的先后顺序非常有用。换句话说，从前面乘、除法的运算过程中可以看出，长尾数的乘、除法并不必然是可逆运算。这一点方中通在介绍“流法”时也专门指出：“法数有定者，方可用此，然止乘可用，除则不尽也。”

方中通之父方以智像

以现代数学知识理解其背后原理并不难。流法针对乘法而言，是按照倍数编写，并不会对有效数位截位造成计算上的误差，不同于“商除”“归除”法，始终保持着有效数位的精确性。“流除”法在第一步就需要编制流数表，采取倒数就会对有效数位截位并固定下来，如果之后的计算都在最长截位的有效数位以内的话，也不会造成误差，但是如果超过最长有效数位的话，显然最后在加总验算时，尾数就会有问题。

清代抄本《会计全书》中，记载了浙江衙门在采取预、结算时的一些数据和方法，其中也提及除了田赋计算之外，钱粮考成时也可用流法计算：

按流法即乘法之类，俱从末一位流起。盖钱粮各数，不拘多少，总不外一至九数，如三百六十日考成，遇数内有九，即改作二于下位加五，遇一即将一除去于下位加二及挨次各加七七七七也，余仿此不用归法，而用流法者，取其便捷也。又遇退位须下一位，即算法内所逢如须隔位之法也。

清末浙江巡抚衙门

清末杭州西湖

我们将上面这段运算口诀，翻译成现代数学用语，则“遇数内有九”之后的句意是指按照9/360=0.025（改作二于下位加五），后句下位加2挨次加7 777则是指1/360=0.002 777 7，笔者按《会计全书》所记歌诀制成1至9流数所对应各日数考成表，对应上排为歌诀，下排为计算机计算精确数，相同有效数位用下划线表示，可以清楚地看到下划线之后为有效尾数之外的截断。

表4 按日考成流除数表

由上可见，不光钱粮核算如此，钱粮考成也摒除原有归除法，而采用流法。由于考成计算主要是按照36、39、54、72几个数字作为除数，因此用流法较为简便。这几个数字对应考成的实际意义在于分别以一年（360）、半年（540）、两年（720）的不同，也对应了州县、府及省级所涉官员的考成日数，而一般的省份也有采用“三归九除法”计算：

以三百六十日除，遇闰按三百九十日除，按三归九除法……每日应征数为实，以官在任几个月几日为法，乘之得见应征银若干，再将应征银数为实，以额银为法，归除之得已未完数目。

从表4可以看出，《会计全书》中，有“退”字表示小数后面两位为零，从第三位起算，无“退”则小数后一位为零，再从第二位起算。原口诀并不采取四舍五入，而统一用“舍法”，这点也是各个《赋役全书》折算时共有规律。字面上所示加下划线的有效数字虽略有出入，很可能只是为了照顾韵脚而进行数位取舍（如“不息”“及”“不煞”），显然该口诀是按照“流法”的思想编制的，可操作性极高。按照360日计算考成，则分别将1至9各数除以360，制成口诀表。

《清代税收税务档案史料汇编》

《会计全书》继承了《海瑞集》《数度衍》《简捷易明算法》所载流数计算方法。除方中通《数度衍》外，其他几部书均流传于浙江。而在北方，“流法”用于田亩赋税的计算也有实物证据，如光绪十二年（1886）正月山东益都县《裕恕堂屡年纳粮底札》为收粮税账册抄本，在首页有如下记载：

官亩赋役数：上地六五，中地五八三八，下地五一八一，下下地四四九七。

大亩一亩流成官亩：三亩二分四厘，上地用六五乘，中地用五八三八乘，下地用五一八一。

大亩流官亩法：一退三二四。二退六四八。三退九七二。四作一二九六。五作一六二。六作一九四四。七作二二六八。八作二五九二。九作二九一六。

若无之前对于流法的讨论，这些数字可能晦涩难明。这里明确提到了用“流法”换算田亩问题。流数“一退三二四”显然是根据大亩和官亩的比例1:3.24制定的，之后分别按2、3、4等按倍数类推，然后对应于不同的上、中、下地再分别乘以折算率（如上地为六五），具体方法类同前文《海瑞集》中的流乘法，如此可以利用口诀和算盘实现快速折算，兹不再展开。

光绪十二年正月《裕恕堂屡年纳粮底札》

这一传统虽难见于官方文书，但直至当代，在计算器发明之前都广泛流行。“业务计算的同志，习惯用推算定位法，一般都不用公式定位法，故乘率可不用小数表示，只写有效数字即可”，公社各大队计算粮油征购入库分配比例，按“归一法，求出乘率，以乘代除”，如按照生猪换算大米时，将折率按照1至9的倍数制表，然后再按照各位数分别累加，即“流法”中的变乘为加法。口诀为“固定三五作常数，熟记三五九倍数。逐个倍数盘上累，空盘前加为最优”。“这类百分比的特点是除数只有一个，而被除数很多……即先算出1占总数的百分比，然后乘以各个分子，就可以算出结果。因为这个方法是以乘为主，所以叫做‘以乘代除’”。

之所以笔者大费笔墨探讨赋役制度与计算技术变革的相辅相成的关系，无非是想以此作为审视传统赋役文本数据的新视角，反思为何尽管清廷屡屡要求要截取尾数，而地方赋役全书文本仍然少做删截的原因。盖因对于《赋役全书》官定各税额后，保留了具体细目，既便于在变动时核对，同时长尾数计算本身也突破了自身技术难题，对算手来说并不成为一个问题。由掌握某特定技术形成某类固有阶层后，也较少变革。单独编制《赋役全书》难度较大，一般应是集体编制，参与人员较多，这在清末征收纳粮的算手情形也大抵如此：

在征收旺季，各柜都非常忙碌，当日收缴的钱，要汇总，练习生们几个算盘凑在一起，有人报帐，算盘紧跟，几个算盘出数一致，方为正确，然后点钱封好，送交库房。工作紧张而忙碌，练习生们没有工资，因学作练习生的多为殷实之家的子弟，不专靠工资养家糊口，为赚个“公门”里的好名声，特别是乡区怕受人欺侮。练习生们只是到年底，根据钱粮尾数，四不舍而五入，只收多，而不收少。历来官家说了算，房师和练习生根据资历和能力，进行分红，数字也很为可观。

余宁旺主编《中国珠算大全》

此外，需要说明的是，亩数本身也是一个计算结果，由原来丈量的积步数折算而来。实际测量中，由长度乘积成面积比较容易，除法折算亩数却不太容易。从现存的鱼鳞图册所见，传统积步折亩一般按照240步（也有因地按220、230等）为一亩的比例折算，故而直接利用归除法（“二四归除”，除数为24时固定口诀）比较简单而无需使用流法。但也有特例，如乾隆以后的《田亩算法》记载了清代将积步转化为亩数的方法：

丈量之法，用部颁铜尺，长五尺、阔五尺为一步，即一弓也。每步目方五尺计，积二十五尺，以五尺计之，步下五寸为一分，一寸为二厘，以二百四十步为一亩减半又减半，再用六归判（此积亩算诀，可省二归四除之繁，以□步数列于盘上，减一半，又减一半，再用六归之也），十倍于此为一弓（按照乾隆十五年部定铜尺校准）。

这句口诀的意思是一般田亩折算都用“二归四除”，另一种即先作两次对半（即除以4），再用六除之，再按十倍折弓，这是简化后的“归除法”。可见对于将积步换算亩数（直接除以240），在今天来说如此简单的计算，即使在清中后期，对普通算手而言也有一定技术门槛。这种办法，直到上个世纪，一些有经验的农村土地丈量工作者在土地包产到户时都还在使用。有人指出：“好多年轻人采用公制算法，既要买卷尺，又要两人拉。这样既加大了开支费用，又浪费了劳力和时间。如‘二四飞归’计算地积，只要记熟七句口诀，做一木制五尺步弓，拿上一架算盘和笔记本就可以了。”优点是一人就可操作、用步弓不用杆、口诀较少。具体操作方法是：手持把手沿直线摇步弓，使前脚着地后旋转180度，不断反复，最后按长宽相乘除以240，配合飞归口诀，即可以求出折算田亩面积。

《田亩算法》

二、《赋役全书》的款项折算——以每亩折率为例

在《赋役全书》地丁税统计部分，按每亩征银率作为沟通地理要素（田地山荡）与经济要素（征粮、银）的中心枢纽，一切地丁税核算款项均围绕其展开。不仅如此，每亩征银率也是赋税征缴方面官方与民间最直接的纽带。在本节中，主要是以第一节中所提出的乘除运算规律为例，以展示如何从赋税数据发掘其背后的制度史因素。

《清实录》中最早出现《赋役全书》的记载史料是顺治元年十一月，山东道监察御史宁承勋上奏所言：“祈敕部于《赋役全书》外，无艺之征。尽行裁革。如恩诏内有全免者，有半免者。有免三分之一者。著定书册，刊布海内。令州县有司遵照规条户给易知由单，庶愚民尽晓而永遵良规矣。”奏折中也显示相应的证据，民间征税的主要依据易知由单的每亩征银率完全抄自《赋役全书》。张鑫敏指出，清廷按照《赋役全书》为标准修纂赤历后，再以之为凭造易知单，以此将官定的每亩征银率数字公布民间知晓，并“随康熙年间黄册、赤历册、易知由单的停止攒造，《赋役全书》和奏销册逐渐成为赋税文书中仅存的人丁数字载体”。

《清实录》

清代幕友所写的《钱谷金针》中提到了《赋役全书》与地方实征册中关系最大的一组数字为每亩征银率，这批数字就是地方与中央在征税办法上达成的统一标准：

查核征册除弊法，注上则田若干，假如征册内第一户名下完粮0.353石，完银0.488两。即以此粮数为实，以银数为法，除之便可知上则田1石额征银0.723 404两，再吊《赋役全书》查明上中下则田，每石征银若干，以田为实，以额征银数为法乘之，如此查核各户上中下则之田，丝毫不爽，如有不符者即系浮开，逐一细查，则浮征飞洒之弊可除矣。

按原书所载的以银数除以粮数的计算精确结果为：0.353/0.488= 0.723 361（石/两），实际并不与所载数字（0.723 404）相同，仅前三位至“厘”准确。《赋役全书》中比率主要用于计算和验算，防止地方官员舞弊之用。这种现象让人不得不产生两个问题，这些比率数字是怎么产生的，随着时间又发生过怎样的变动？

《钱谷金针》

沈士桂记载了清初浙江省的按照不同每亩征银率，将总需纳银数直接分摊到田、地、荡的不同比例计算办法，其中每亩征银率、总亩数皆为已知定数。如果按照《赋役全书》中各亩三则九等的记录，“等数差分”之法可以方便解决该问题：

假如有田、地、荡共12 000亩，纳银1 000两，田每亩0.14两，地每亩0.09两，荡每亩0.06两，问各该若干？

答曰：田2 000亩，纳银280两；地4 000亩，纳银360两；荡6 000亩，纳银360两。

法将总物12 000亩，以三等归之，得4 000亩，约中为地。以地每亩0.09两因之，得银360两。将总物总银减去地亩地银余田、荡8 000亩，余银640两，用二等差分法算合问。

这显然是将总需纳银数摊派到各县，按照原有每亩征银率的除法运算。而浙省顺治、康熙两代《宣平县赋役全书》尚存，我们可以通过此数据再来看这一问题。顺治本“田亩”数字漫漶不清，然“山亩”数据是通过总派银得出而非每亩征银率，故采取“塘亩”数来看，塘征银数具体产生途径与田征银数完全相同，故可以此类比。

表5 顺治、康熙《宣平县赋役全书》塘之每亩征银率

一张乾隆年间宣平县的卖田红契

我们看到，宣平县塘数的折算办法中，无论顺序、征银或征米，计算值与册载值都完全一样，总征银产生背景与沈士桂所言不同，并非按总征数分摊而来。但下文看到，明代休宁县《赋役全书》显示的折银、粮情况，则比清宣平县复杂得多，这也显示了明清在折银前后文本记录上的差异。

泰昌年间，徽州府正尝试从非定额税向定额税的转型，若定额后，直接按照匀分三年带征的方式进行，并颁易知粮单实行。而在“一则起科”进行划一的赋税折亩之前，徽州地区不仅各种类型的田折率不同，即便在一县之内（如歙县），不同的乡的折率都不同，“一则起科”实际上统一了以县为单位的各种田、地、山、塘诸类型的折率，而这一折率均是以征粮石数为标准的。

陈锋著《中国财政经济史论》

这一思想是按照每田载粮，将田折成粮数，再折成总收银数，并以此摊算到田亩上，故总银数和总粮数的含义并不相同。田按照米、麦过渡到征银时，不同折银率基本都是按照总收银数摊算到田亩上的计算产物，并不以实际折率来的，这实际和沈士桂描述的情形比较类似。最后汇总田、地、山、荡的折银率（即各县县后载的《县简明科则》），实际上反映的是明代以来米麦分折，并转化为条鞭折银的事实。

对比泰昌《徽州赋役全书》和万历九年《休宁县志》，我们可以发现，其中每亩征科麦0.021 4石和科米0.053 5石在县志中有记载。对应的是一到四等正地，上、中、下、下下田几种类型，与地、山、塘等不同。对土地类型的区分除每亩征麦、米率不同外，还有一个体现是丈量土地面积后，积步数（每亩折步数）不同，如上田190、中田220、下田260、上地200、中地250、下地350、塘260，这些比例与休宁县鱼鳞图册中呈现的换算比例完全一致。

顺治四年休宁鱼鳞图册

《徽州赋役全书》中统计由田纳粮（麦、米）和银时，一共记载了四种每亩折率，分为每亩田载麦的征麦、征银数，以及每亩田载米的征米、征银数。这不由引起我们的困惑，徽州府的田究竟是先折银再折粮呢，或是先折粮再折银，还是同时折粮、银呢？粮、银每亩征银率的产生中，哪些是实际征收时需要参照的“真实每亩折率”，哪些是只在赋役册书中才存在的人工制造出的“虚假性每亩折率”？这些都是赋役制度史上的重要课题，但光看这些数字，并无辅助或说明性的文字帮我们回答上述疑问，笔者转而从数据文本的推算过程入手来验证“制度”。实际上，前人研究很少注意《赋役全书》中这些由田折算粮、银的折率有何不同。笔者取休宁县为例，以前文总结的长尾数乘除法结果不可逆性规律来破解以上谜团。

这一思路是：首先以《赋役全书》中实际存在的册载每亩折率（每亩载麦、米、银）作为标准，与实际田亩数相乘，将结果与册载总征麦、米、银比较（乘法推算）（表6）；再将《赋役全书》册载麦、米、银为标准，除以实际田数，将结果与册载每亩折率比较（即除法推算）（表7）。这两次计算，所参与的变量田亩数、折率和总数都是完全一样的，不同的只是乘、除法运算顺序。在尽量保证长的计算尾数情况下，我们认为计算值与册载值匹配程度越高，则表示古人按此顺序计算可能性越大，从而说明数字在实际中产生的先后顺序。参见以下表6和表7。

表6 休宁《赋役全书》乘法计算结果与册载值的比较表

表7 休宁《赋役全书》除法计算结果与册载值的比较表

朱世杰著《算学启蒙》

笔者用下划线标注了计算值与册载值中相同的位数。从前表我们看出，册载人丁银的乘积值与准确值并无差别（A1），故原有按丁征银率可以视作真实折算比例。若视田征麦、征米折粮率为实征采用之真实“折率”的话，册载值尾数(A2)、(A4)完全可以由计算值省略尾数得出，与之相反，凡折银处（A3）、(A5)则册载数字中出现了较多的误差，与真实乘积形式出入很大。而原有折麦、米比率0.021 4、0.053 5尾数精确到“勺”，并非长尾数，更使我们确信实际征收“钱粮”时，是按“粮”而不是按“钱”来折算田税，这也印证了前文“序”中提到明代该处尚未完全折银化的事实。我们再看表7便明白了原有休宁县征麦、米每亩折率的来源：这两个数字(B3)、(B5)的册载数全部可以由总银数除以田亩数获得，仅最末一位取舍稍有出入。按上节所述，明清时期具有较多尾数计算时，如果采用“流法”乘积结果准确无误，而除后的结果是在“某一有效数位”之后即开始出现误差，即乘、除运算并非可逆。这就已回答了之前的问题：休宁县在明末的条鞭折银化的浪潮中，实际是按照三步走的，即先将田亩换算总需征粮，由总征粮折银，再由总银摊算田亩，计算出每亩折银率。

在泰昌《徽州赋役全书》中，各县最末有一份清单，统计《各县简明科则》，其中休宁县部分为“田每亩征科银0.064 570 841 4两”，这个数字出自休宁县“田”下统计项，显然为征麦、米折银率0.006 938 618 3(B3)与0.057 632 223 1(B5)之和。顺治年间，田的具体科麦、米比率消失，取而代之是每亩科银“0.068 280 557 133 9两”的继承，这个数字杂糅了原来明末的麦、米折银率，但又有微调。顺治年间的人丁计算，与明代完全相同，计算实征人丁银时，需减去优免人丁，（63 795-2 908）×0.118 488 995=7 214.439 438 565两，丁折银率并没有变化。

《北京图书馆古籍珍本丛刊》

利用以上规律，可以为我们解读赋役册籍数据时，直接从文本推定不同名目下的实际征收形式。如《甘肃赋役全书》载碾伯县共征：“本色大草84 412.592 800 552 96束，每束重18斤，折七斤小草217 060.952 915 71束”，我们按“本色大草束×18/7=折七斤小草束”公式，折算出计算值为217 060.952 915 707束，刚好符合原载之尾数数位（否则若我们以七斤小草217 060.952 915 71束，若按相反顺序反推，本色大草则为84 412.592 800 553 88束，与册载的尾数差异非常大）。

我们通过推算，知道折的七斤小草必定是从原有定额的本色大草束推算而来，即必定按照“亩数→粮→七斤小草”之顺序。《甘肃赋役全书》中各项类似折算均载42.288 371 428 571 42这个长尾数比例，以及《四川省赋役全书》所载各丁条银折率，可能都类似于流法的思想，保留着中间过程，便于核算复查。

之所以按上文顺序折银，是因为明代传统是由田地征收税粮，由总粮数折总银数，应是实际操作起来非常方便，直接以地方单位粮折银率换算即可，这样再摊到每亩应征银率，后世则可据此征收。而如前述之《海瑞集》中算法，直接运用流法计算的如先折“米流”、田、地、山、塘“绢流”，后折银。这也是没有一开始就直接折银，而到了清代《浙江赋役全书》中则仅保留了每亩征银率，“米、绢”则完全消失，这一过程则湮没于历史长河中。可见从明到清，每亩征银率随征收对象的变化，发生了实质性的变化，而我们知道，即便在整个清代，不同年代呈现每亩征银率也在不停变化，那么这些变化之间是否存在着什么共有的规律？这就是本节开头的第二个问题。

程大位著《算法统宗》

《算盘与〈算法统宗〉》（版画，作者：班苓、陈伟忠）

程大位像

乾隆《瑞安县志》、嘉庆《瑞安县志》和《瑞安县赋役全书》中存在着不少每亩征银率变化的记录，恰好可以和清初康熙之后的《瑞安县赋役全书》时间上对接，我们以中则田亩数为例，罗列如下：

中则田地98 510.836 57亩

每亩原征银0.072 5两，该银7 142.035 651 325两。每亩原征米0.009 8石，该米965.406 198 386石，康熙二年为酌议改征等事案内题准军储银1 823.129 766 408 94两，改征米1 823.129 766 408 94石。

康熙《赋役全书》版本为：

康熙二年为酌议改征等事案内题准军储银2 430.853 403 201 32两，改征米2 430.853 403 201 32石，每亩实征银0.047 824两，该银4 711.182 248 123 68两。

上面我们可以看出来，这里一共出现过若干每亩征银率，其中最初的每亩征银率0.072 5（两/亩）是由万历原额决定，后来在顺治年间改征军储银，均由米按1:1改征而来。两个版本《赋役全书》纂修时的微小差异显示，早出的康熙版本中，特别记载了在康熙改折军储银后，生成了一个新的“人造每亩征银率”0.047 824（两/亩），而这个每亩征银率没有任何现实征收含义，纯粹是数字上的比例关系，我们可以复原出计算公式如下：

新每亩征银率（两/亩）=原额（亩）×原每亩征银率（两/亩）-军储银（两）/原额（亩）

嘉庆《瑞安县志》中的《仙岩图》

此后各类赋税记录中，新每亩征银率中这个改折军储银的“人造数字”彻底消失（见表8：“顺治军储银改制后”中田一栏），从中看不出其产生的遗迹。而对于二者的差异，可以用康熙版本数据证明如下：

0.047 824=98 510.836 57×0.072 5-2 430.853 403 201 32/98 510.836 57

结论是，改制后的折率情况与康熙版本描述的状况是一样的，而与嘉庆《瑞安县赋役全书》不同。符合上式展示规律之地，并不仅限于瑞安一县，在全国各处康熙年间的《赋役全书》中对于当年军储银改制事件后每亩征银率调整情况，基本都有记录。类型也不仅限于中则田，表8是其他瑞安县各类型田不同时代的册载数据：

表8 《瑞安县赋役全书》各类田每亩征银率变化表

乾隆《温州府志》

《瑞安县赋役全书》载：“新增中则田地：雍正十三年报明丈竣等事的每亩科银率为0.049 026两。”显然这一改用的新每亩征银率沿用的是康熙十年后的，与方志记载并不相同，而乾隆《温州府志》中，也沿用了“顺治十三年—康熙十年新颁定则”每亩征银率。但此后的嘉庆《瑞安县志》，又更新为“雍正九年”每亩征银率，可见地方志中所记载的每亩征银率变更情形时的规律，总是存在着比较长的时间延迟现象。尽管这些数目差异的确切原因已不得而知，但无论如何，各个时代折算比例时，“上、中、中中、下、下下”五种田的类型分配比例时，总是完全相同的（有效数在第四到五位小数），因此结论是：康熙之后出现过的林林总总的长尾数亩率，都是按照最初“上、中、中中、下、下下”五种田的分配率（21.72%，21.22%，20.26%，19.26%，17.51%），延续万历原额的比例不断折算。仅顺治三年—十二年的折率情形则并不在此条规律之内，只有两位小数，故此数很可能是在清初征税时的真实每亩折银率，而不是后来通过折算比例“人为制造”的。

该县不同类型的田原额每亩折银率皆出自万历原额，而在顺治十八年后，有弃置、蠲荒额出现，原额亩率为康熙二年军储改制前每亩征银两数；顺治三年—十二年皆沿明旧；顺治十三年后颁新则未定，直至康熙十年才最终确定。雍正九年丈量后丁随田科征。另外，在康熙、嘉庆版本比较起来，差别明显的还有关于康熙十年的起科时间的问题，根据嘉庆版《赋役全书》记载，温州府申报各年展界复业，开垦田地及起科亩数如下（按：复业/起科时间）：“康熙九年/十二年，十年/十七年，十六年/十九年，二十三年/二十六年，二十四年/二十七年，二十六年/二十九年……五十六年/五十九年，雍正七年/本年，乾隆二年/乾隆五年等。”一般而言，在新开垦田后三年起科，但雍正七年则首报开垦，当年起科。

有关每亩折银率问题，过去研究多注重不同地区之间的差异性，但几乎无人涉及处于不同时代同一地区中涌现的“人造每亩折银率”。这些数字不断被方志代代翻抄，造成了认识上的混乱。

华印椿著《中国珠算史稿》

郭声波指出，四川每亩折银率主要分为“定亩折税”和“折亩定税”两大类，雍正清丈之后则全部统一为前者了，甚至到土地改革时期都未改变。张鑫敏曾对四川省“丁”部分的计算过程详细推导，并比较出了“‘新旧承粮花户’与‘选编人丁’关系”，两数情况较复杂，有符合（雍正六年）和不相符（之后版本）等情况。笔者亦以《四川省赋役全书》中成都县作为例子，将这一思路延续到对整个“丁条粮银”数字的复原，其中A-F为原载每亩折粮石数，为抽象出《赋役全书》体例与结构，节省篇幅，尽量省略其中所涉具体数目，换成相应的单位作为标记，中括号中内容为笔者所加注释。如征银则为两，人丁则为丁，粮为石，田、地、山、塘等为亩：

《四川省赋役全书》成都县丁粮额办数据结构：

（全书原载亩粮自康熙六年奉文清查起至雍正七年征输止）

上田A、中田B、下田C、上地D、中地E、下地F，【A至F为每亩载粮石】

每粮1石征粮银1.152 029 083两，【粮银率①】

每粮1石征条粮银0.361 222 1两，【条银率②】

每粮1.482 950 9石载丁1丁，每丁粮银0.361 222 1两，

原载税粮石，原载人丁丁，原载丁条银两，【总丁数=各类型“亩数×丁银率③”之和，丁银率③=0.361 222 1/1.482 950 9，每粮1石征条粮银=每丁粮银】

（恩准部覆丁、条、粮合并积算，按亩征银清查田地，至光绪二十年止，今自光绪二十一年起，至光绪三十年征输止，除籍田亩不征丁粮外，垦输）

上田、中田、下田、上地、中地、下地各亩，

每亩应征丁条粮银各为αA、αB、αC、αD、αE、αF两【每1石征丁条粮银（α）=1.756 83=粮银率①+条银率②+丁银率③=0.243 58+0.361 222 1+1.152 029 083】

应征丁条粮银【各地亩与以上各亩率之积的总和】

现征丁条粮银4 066.748 282 329 965 1两

而“应征丁条粮银”则具体在原对应亩率的基础上，还需要再乘以一个系数（α），这个丁条粮银折率，为丁、条、粮三项折率之和，并且不分具体田亩类型，统一乘到所有每亩折率（A-F）上。很显然，这个系数的产生是由三个性质来源不同的部分加总而成，最后摊算到地亩征银上。在这个过程中，条银的作用极其重要，直接影响了“丁银”和“地银”两个项目。

图3 《四川省赋役全书》中成都县“丁条粮银”折率的产生

“摊丁入亩”改革的完成者雍正皇帝像

在清代摊丁入亩之后，从全国范围看，广泛所称的“地丁银”并不能单纯理解为“地银”与“丁银”的加总，而从前文来看，赋税数据之间乘除时的不可逆行可以推断出，各地亩折银的数字渊源过程是按“地（亩）->粮（石）->银（两）”的过程折算。但是在甘肃则在粮之后出现了大小草：“地（亩）->粮（石）->大小草”。云、贵、川以及广西部分地方，“丁条粮银”的概念替代了“地丁银”，这些“丁条粮银”的来源则复杂得多，经历了“地（亩）->粮（石）->人丁、条银->银（两）”过程。到了清末又增加了鸦片税、厘金等税种，诸如光绪年间“巴县每征地丁条粮1两，加征津贴、捐输都要14两，原超14倍”。地丁银的概念在全国不同地方有不同的呈现形式，本身代表的性质也不尽相同。可见此时的成分非常混杂，性质、重要性已发生了很大变化。

总而言之，本文基于民间的大量算书、手册所涉及的赋役数字核算办法，来考察钱粮征解政务操作上的技术流播，并以其中的尾数取舍规律反推数字背后的制度背景。若从此角度入手，即可破除许多对传统税收数据的误解，如黄仁宇认为：“税收体制的缺陷在于税收明细表的复杂性，税率可以多达小数点以后的12—14位数字，这是很荒唐的，在明代以前从来没有出现过这样的事情。”而经本文分析，这样的长尾数对于实际的折算、验算非常重要，有其存在的必要性，并非为“缺陷”。而古算书类文献以往既不受经济史、也不受数学史重视。我们发现其在民间流行之广泛，部分内容可补正史空白。

黄仁宇

正如刘志伟曾指出：“在形成定额化之前，是难以形成统一的政府预算的，而恰恰当其定额化后，地方政府预算编制成为可能。”明清之际税收定额化的趋势出现后，政府预算所涉及的力役、各类本色物料和银之间的复杂折算技术，并不同于以往商用记账的短位乘除，呈现了新的变革。同时，官厅内部以及民间计算需求迅猛发展，亦对珠算技术流行起到了推波助澜的作用。

[原文载于《清华大学学报》（哲学社会科学版）2019年第4期，作者：郭永钦，广东外语外贸大学中国计量经济史研究中心]

编辑：若水