勾股定理的证明方法1
做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b，所以面积相等.即a的平方加b的平方，加4乘以二分之一ab等于c的平方，加4乘以二分之一ab，整理得a的平方加b的平方等于c的平方。
勾股定理的证明方法2
以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于二分之一ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.
∵RtΔHAE≌RtΔEBF,
∴∠AHE=∠BEF.
∵∠AEH+∠AHE=90o,
∴∠AEH+∠BEF=90o.
∴∠HEF=180o―90o=90o.
∴四边形EFGH是一个边长为c的
正方形.它的面积等于c2.
∵RtΔGDH≌RtΔHAE,
∴∠HGD=∠EHA.
∵∠HGD+∠GHD=90o,
∴∠EHA+∠GHD=90o.
又∵∠GHE=90o,
∴∠DHA=90o+90o=180o.
∴ABCD是一个边长为a+b的正方形，它的面积等于a+b的平方。
∴a加b的平方等于4乘二分之一ab，加上c的平方。.
∴a的平方加b的平方等于c的平方。
勾股定理的证明方法3
以a、b为直角边（ba），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于二分之一ab。把这四个直角三角形拼成如图所示形状。
∵RtΔDAH≌RtΔABE,
∴∠HDA=∠EAB.
∵∠HAD+∠HAD=90o，
∴∠EAB+∠HAD=90o，
∴ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.
∵EF=FG=GH=HE=b―a,
∠HEF=90o.
∴EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于b减a的平方。
∴4乘二分之一ab加上，b减a的平方等于c的平方。
∴a^2+b^2=c^2(说明a^2为a的平方)。
勾股定理的证明方法4
以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于二分之一ab。把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.
∵RtΔEAD≌RtΔCBE,
∴∠ADE=∠BEC.
∵∠AED+∠ADE=90o,
∴∠AED+∠BEC=90o.
∴∠DEC=180o―90o=90o.
∴ΔDEC是一个等腰直角三角形，
它的面积等于二分之一c^2.
又∵∠DAE=90o,∠EBC=90o,
∴AD∥BC.
∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于1/2(a+b)^2.
∴1/2(a+b)^2=2x1/2ab+1/2c^2..
∴a^2+b^2=c^2.
勾股定理的证明方法5
做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.
∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,
∴∠EGF=∠BED，
∵∠EGF+∠GEF=90°，
∴∠BED+∠GEF=90°，
∴∠BEG=180o―90o=90o.
又∵AB=BE=EG=GA=c，
∴ABEG是一个边长为c的正方形.
∴∠ABC+∠CBE=90o.
∵RtΔABC≌RtΔEBD,
∴∠ABC=∠EBD.
∴∠EBD+∠CBE=90o.
即∠CBD=90o.
又∵∠BDE=90o，∠BCP=90o，
BC=BD=a.
∴BDPC是一个边长为a的正方形.
同理，HPFG是一个边长为b的正方形.
设多边形GHCBE的面积为S，则
a^2+b^2=S+2x1/2xab
c^2=S+2x1/2xab
勾股定理的证明方法6
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（ba），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.
过点Q作QP∥BC，交AC于点P.
过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点
F作FN⊥PQ，垂足为N.
∵∠BCA=90o，QP∥BC，
∴∠MPC=90o，
∵BM⊥PQ，
∴∠BMP=90o，
∴BCPM是一个矩形，即∠MBC=90o.
∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90o，
∠ABC+∠MBA=∠MBC=90o，
∴∠QBM=∠ABC，
又∵∠BMP=90o，∠BCA=90o，BQ=BA=c，
∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.
同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.
从而将问题转化为【证法4】
勾股定理的证明方法7
做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD.过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L.
∵AF=AC，AB=AD，
∠FAB=∠GAD，
∴ΔFAB≌ΔGAD，
∵ΔFAB的面积等于1/2乘a^2，
ΔGAD的面积等于矩形ADLM
的面积的一半，
∴矩形ADLM的面积=a^2.
同理可证，矩形MLEB的面积=b^2.
∵正方形ADEB的面积
=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积
∴c^2=a^2+b^2，即a^2+b^2=c^2.
勾股定理的证明方法8
如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.
在ΔADC和ΔACB中，
∵∠ADC=∠ACB=90o，
∠CAD=∠BAC，
∴ΔADC∽ΔACB.
AD∶AC=AC∶AB，
即AC^2=AD·AB.
同理可证，ΔCDB∽ΔACB，从而有BC^2=BD·AB.
∴AC^2+BC^2=(AD+DB)·AB=AB^2，即a^2+b^2=c^2.
勾股定理的证明方法9
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（ba），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R.过B作BP⊥AF，垂足为P.过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.
∵∠BAD=90o，∠PAC=90o，
∴∠DAH=∠BAC.
又∵∠DHA=90o，∠BCA=90o，
AD=AB=c，
∴RtΔDHA≌RtΔBCA.
∴DH=BC=a，AH=AC=b.
由作法可知，PBCA是一个矩形，
所以RtΔAPB≌RtΔBCA.即PB=
CA=b，AP=a，从而PH=b―a.
∵RtΔDGT≌RtΔBCA,
RtΔDHA≌RtΔBCA.
∴RtΔDGT≌RtΔDHA.
∴DH=DG=a，∠GDT=∠HDA.
又∵∠DGT=90o，∠DHF=90o，
∠GDH=∠GDT+∠TDH=∠HDA+∠TDH=90o，
∴DGFH是一个边长为a的正方形.
∴GF=FH=a.TF⊥AF，TF=GT―GF=b―a.
∴TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP=b，高FP=a+（b―a）.
用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为
勾股定理的证明方法10
设直角三角形两直角边的长分别为a、b（ba），斜边的长为c.做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.
∵∠TBE=∠ABH=90o，
∴∠TBH=∠ABE.
又∵∠BTH=∠BEA=90o，
BT=BE=b，
∴RtΔHBT≌RtΔABE.
∴HT=AE=a.
∴GH=GT―HT=b―a.
又∵∠GHF+∠BHT=90o，
∠DBC+∠BHT=∠TBH+∠BHT=90o，
∴∠GHF=∠DBC.
∵DB=EB―ED=b―a，
∠HGF=∠BDC=90o，
勾股定理的证明方法11
在RtΔABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c.如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD=BE=BC=a.因为∠BCA=90o，点C在⊙B上，所以AC是⊙B的切线.由切割线定理，得
AC^2=AE·AD
=(AB+BE)(AB-BD)
=(c+a)(c-a)
=c^2-a^2,
即b^2=c^2-a^2,
∴a^2+b^2=c^2
勾股定理的证明方法12
在RtΔABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c（如图）.过点A作AD∥CB，过点B作BD∥CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆.根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有
AB·DC=AD·BC+AC·BD，
∵AB=DC=c，AD=BC=a，
AC=BD=b，
∴AB^2=BC^2+AC^2，即c^2=a^2+b^2，
勾股定理的证明方法13
在RtΔABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c.作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r.
∵AE=AF，BF=BD，CD=CE，
勾股定理的证明方法14
勾股定理的证明方法15
勾股定理的证明方法16
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