一个10*10的正方形，最多可以放多少个直径为1的圆？为啥不是100个？

硬塞进去

不行啊

Q： 一个 10*10 的正方形里，最多可以放多少个直径为 1 的圆？

各圆互不重叠

A：

可以放106个，你可能会觉得，一个框只能放一个怎么突破100个呢？

试着突破定势思维。

想想一个硬币最多可以和几个硬币相邻？

六个，如果一个格子占一个才几个？

四个，所以有大量的空间被浪费了。

这样，就一共有105个了。

然后聪明的你发现还有点空隙，能不能利用起来呢？

当然是可以的。

这样安排就又多了个10排的，神奇的又插了一个进去。

那么，还能不能再用什么神奇的方法再搞一个进去呢？

不可能了...

但是如何在数学上证明不能放下107个圆呢？有两种思路

• 1、把正方形看做一个框，把圆看成光滑的小球，然后你取一个球，使劲压，看看能不能压进去。

当然现实中是没有绝对光滑小球的，实际没法做这个实验。

但数学上可以定义小球与小球，小球与方框之间的势能，然后用各种算法降低势能，看看最小值能不能降到零即可。

• 2、取n个小球，然后放进一个方框，方框使劲收缩，收缩到无法再收缩为止。

最终结果就是最优平面圆堆积，这种方法比上一种要复杂一些。

但是数学家一般喜欢研究第二个，因为至少对于正方形等圆嵌入来说，解决了第二个也就解决了第一个。对于矩形才会用第一种方法。

但这个思路说得轻巧，可数学上怎么定义使劲收缩呢？

Talk is cheap, Show me the code!

https://bura.brunel.ac.uk/bitstream/2438/7455/1/FulltextThesis.pdf

这本书整理了这方面的研究成果，第72页讨论了圆塞入正方形，后面还有更难的不相等图形塞进不规则边框。

书中没给结果，算法都是伪代码，不用完全看懂公式也能复现。

运算时间要有心理准备，一次差不多要跑半个小时。

计算结果表明106个直径为1的圆能放进边长9.996960840529825的正方形

但是如果要放置107个直径为1的圆就要边长10.09975184413619的正方形

所以确实10*10的正方形只能塞下106个直径为1的圆。

注意有轻微的形变，比如右下那个没对齐，上边框第五个圆脱离了边框，但是只有0.4%，整体上和原来差不多。

最后，附上全部的绘图代码：

t1=Flatten[Table[{i,j},{i,1,19,2},{j,1,19,2}],1];
Append[Circle/@t1,
{EdgeForm[Dashed],RGBColor[0,0,0,0],Rectangle[{0,0},{20,20}]}
]//Graphics
f10=Circle/@Table[{i,#},{i,1,19,2}]&;
f9=Circle/@Table[{i,#},{i,2,18,2}]&;
Join[
Table[{f10[1+(i-1)Sqrt[3]]},{i,1,11,2}],
Table[{f9[1+i Sqrt[3]]},{i,1,10,2}],
{EdgeForm[Dashed],RGBColor[0,0,0,0],Rectangle[{0,0},{20,20}]}
]//Graphics
Join[
Table[{f10[1+(i-1)Sqrt[3]]},{i,1,5,2}],
Table[{f9[1+i Sqrt[3]]},{i,1,4,2}],
Table[{f10[4Sqrt[3]+3+(i-1)Sqrt[3]]},{i,1,5,2}],
Table[{f9[4Sqrt[3]+3+i Sqrt[3]]},{i,1,4,2}],
{f10[19]},
{EdgeForm[Dashed],RGBColor[0,0,0,0],Rectangle[{0,0},{20,20}]}
]//Graphics
pts={
{-8.99696,-8.99696},{-8.99696,-5.39534},{-8.99696,-1.93124},{-8.99696,0.0687576},{-8.99696,3.53286},
{-8.99696,6.99696},{-8.99696,8.99696},{-8.03644,-7.23071},{-7.99696,-3.66329},{-7.99696,1.80081},
{-7.99696,5.26491},{-7.,-5.50556},{-6.99713,-8.97132},{-6.99696,-1.93124},{-6.99696,0.0687576},
{-6.99696,3.53286},{-6.99696,6.99696},{-6.99696,8.99696},{-6.,-7.23761},{-6.,-3.77351},{-5.99696,1.80081},
{-5.99696,5.26491},{-5.,-5.50556},{-5.,-2.04146},{-5.,-0.0414576},{-4.99729,-8.99696},{-4.99696,3.53286},
{-4.99696,6.99696},{-4.99696,8.99696},{-4.,-7.23961},{-4.,-3.77351},{-4.,1.69059},{-3.99696,5.26491},
{-3.,-5.50556},{-3.,-2.04146},{-3.,-0.0414576},{-3.,3.42264},{-2.99746,-8.97113},{-2.99696,6.99696},
{-2.99696,8.99696},{-2.,-7.23761},{-2.,-3.77351},{-2.,1.69059},{-2.,5.15469},{-1.,-5.50556},{-1.,-2.04146},
{-1.,-0.0414576},{-1.,3.42264},{-1.,6.88675},{-1.,8.88675},{-0.997623,-8.99696},{0.,-7.23961},{0.,-3.77351},
{0.,1.69059},{0.,5.15469},{0.996961,6.99696},{0.996961,8.99696},{1.,-5.50556},{1.,-2.04146},{1.,-0.0414576},
{1.,3.42264},{1.00221,-8.97093},{1.99696,5.26491},{2.,-7.23761},{2.,-3.77351},{2.,1.69059},{2.99696,3.53286},
{2.99696,6.99696},{2.99696,8.99696},{3.,-5.50556},{3.,-2.04146},{3.,-0.0414576},{3.00204,-8.99696},
{3.99696,1.80081},{3.99696,5.26491},{4.,-7.23961},{4.,-3.77351},{4.99696,-1.93124},{4.99696,0.0687576},
{4.99696,3.53286},{4.99696,6.99696},{4.99696,8.99696},{5.,-5.50556},{5.00187,-8.97074},{5.99696,-3.66329},
{5.99696,1.80081},{5.99696,5.26491},{6.,-7.23761},{6.99696,-5.39534},{6.99696,-1.93124},{6.99696,0.0687576},
{6.99696,3.53286},{6.99696,6.99696},{6.99696,8.99696},{7.00169,-8.99696},{7.99696,-7.12739},{7.99696,-3.66329},
{7.99696,1.80081},{7.99696,5.26491},{8.99696,-8.85945},{8.99696,-5.39534},{8.99696,-1.93124},{8.99696,0.0687576},
{8.99696,3.53286},{8.99696,6.99696},{8.99696,8.99696}
};
Echo[m = Max@First@Transpose@pts + 1, "Min: "];
Append[
Circle /@ pts,
{EdgeForm[Dashed], RGBColor[0, 0, 0, 0], Rectangle[{-m, -m}, {m, m}]}
] // Graphics