数学家如何描述生活中的随机事件？

随机性是一个我们熟悉的概念，但是，给这样一个我们熟知的概念下正式的定义却又出奇的困难。我们认为，随机过程是一种以无法预测的方式随时间的推移而发展的过程。从烟囱中冒出的烟雾就是一个很好的例子。虽然没有任何可以准确预测烟流形状的办法，但我们可以用数学语言——概率论——对随机性加以描述，从而预测出烟流更可能会形成怎样的形状。

烟雾的形成就是一个固有的随机过程的例子，且有证据表明自然在最基础的层面上就是随机的。描述着微观尺度的物理行为的量子力学认为，在基础层面上，自然是随机的。这与19世纪的那些物理学定律非常不 同，比如牛顿运动定律。牛顿的物理定律是决定性的：假如你是在每个特定的时刻都能精确地描述出世界上所有的事物的上帝，那么你就具备了预测整个未来的能力。

但根据量子力学，情况可并非如此。试想你有一个分束器（一种将光束分成两束的装置）；一半的光线能穿过分束器的表面，另一半的光线则从表面反射回来。那么如果向分束器发送一个单光子光束又会发生什么呢？答案是我们无法确定。即使你无所不知，了解与光子和这一实验有关的所有内容，也无法预测光子的路径。唯一可以说的是，光子有1/2的概率被反射，1/2的概率继续直线传播。

○ 分束器。| 图片来源：Wikipedia

信息不足

大多数我们用到概率论的时候，不是为了处理一个基本的随机过程。相反，通常是因为我们不具备预测过程结果所需的全部信息。因此从某种意义上来说，我们只能靠猜，猜测结果会是什么、以及不同结果的发生概率有多大。我们作出这些“猜测”、或对其进行解读的方式取决于我们采纳的是概率概念中的哪种诠释。

第一种诠释是主观的——它将概率理解为在事件发生前，对某一特定结果出现的可能性的一种猜测。这种解释被称为贝叶斯定理，是以英国统计学家托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）命名的，他根据已拥有的证据提出了一种计算概率的方法。

贝叶斯定理特别的地方在于，它让我们根据最新的证据，不断更新我们对于产生某一结果的可能性的信念。其中一个例子就是，在选举过程中，不同候选人在未来赢得选举的百分比概率的变化。之前人们普遍认为，希拉里·克林顿会赢得2016年的美国总统大选：民意测验刚开始时，统计估算出她的获胜概率为85％。随着关于民意调查信息的不断公开，这一信念（概率）在被不断地更新，直到最后变为0％，明确地标志着她的失败。

○ 贝叶斯定理。

另一种对概率的诠释是客观的——即我们对一个相同的实验进行多次重复的实验，并记录结果的发生频率。这个频率被认为是该结果发生的概率，被称为概率的频率论解释。

统计学家经常争论两者孰是孰非：支持第一种解释的人（贝叶斯定理）和那些支持频率论的人究竟谁才是对的。（例如，如何用频率论来解读希拉里赢得选举的概率？她根本无法重复参与选举啊！）

不可知论的统计学

作为数学家，我们试图置身于这些争论之外。我们有幸能将这些问题抛到一边，而只关心数学上的随机理论——这是个很好的理论！从数学角度来看，它绝不存在任何争议，并且我们有一个关于如何使用概率的确切理论。

○ 骰子。

例如，假设我有一个六面的骰子，并假设这个骰子是公平随机的，那么我们可以说投掷出任何特定数字的概率都是1/6。如果我想扔出的数为偶数，即2、4、6，那么就可以将这三个结果的概率加在一起，因为它们的存在是相互排它的：

P（偶数）= P（2或4或6）= 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2。

假如我们有两个骰子，想要算出扔出两个6的概率，那么我们就可以将个体结果的概率相乘，因为这两个结果是各自独立的：

P（两个6）= P（6和6）= 1/6×1/6 = 1/36。

无论你遵从哪一种统计学，描述概率的数学都是完全明确的。但是，在理解概率时，我们需要考虑两个重要的概念——即对称性和普遍性。这两个概念我们今后着重探讨。

翻译：佐佑

原文链接：https://plus.maths.org/content/maths-randomness；本文整理自Martin Hairer教授于2017年9月在海德堡桂冠论坛（HLF）的演讲。

本文经授权转载自原理微信公众号，版权由原作者所有。

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概率论与数理统计（第三版）

ISBN 9787030320230

（本期编辑：王芳）

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