如果不是爱因斯坦，可能这位年轻人就被埋没了！

导读：本章摘自独立学者灵遁者量子力学科普书籍《见微知著》。此文旨在帮助大家认识我们身处的世界。世界是确定的，但世界的确定性不是我们能把我的。

玻色和爱因斯坦也发展了玻色—爱因斯坦统计，这是物理史上的美谈。

今天我们就来理解和认识一下什么叫玻色—爱因斯坦统计？为什么玻色子服从这样的统计？

这个理论开始于没错的错误。大概故事是这样的：有一次玻色在达卡大学讲课，课题是光电效应及紫外灾变，玻色打算向学生展示当时理论的不适之处，因为理论预测的结果跟实验不符。在讲课期间，玻色在应用理论时犯了错，意想不到的是居然得出一个跟实验一致的预测。（他后来将讲课内容改写成了一篇论文，叫《普朗克定律与光量子假说》。）

那错误是一个很简单的错──跟认为掷两枚硬币得两正面的概率是三分之一是一样的【实际概率为四分一】──任何对统计学有一点基础理解的人都知道有问题。

然而预测结果跟实验吻合，使玻色意识到事有蹊跷。他首次提出麦克斯韦-玻尔兹曼分布对微观粒子不会成立，这是因为由海森堡测不准原理【粒子的位置与动量不可同时被确定，位置的不确定性越小，则动量的不确定性越大，反之亦然。】所导致的变动此时会大得足够构成影响。故此他强调在每个体积为h3的相空间中找到粒子的概率，而舍弃粒子不同的位置和动量。

好几份物理学刊都没有为玻色发表论文。他们认为他所展现的是一个简单错误，这样玻色的发现被忽略了。灰心的他写了封信给爱因斯坦，爱因斯坦马上就同意他的观点。

爱因斯坦亲自写了一篇支持玻色理论的论文，递予《德国物理学刊》发表，并要求将这两篇论文一同发表，此时玻色的理论终于受到推崇。这是1924年的事。

玻色早前曾经把爱因斯坦的广义相对论论文从德语翻译成英语。有人说玻色把爱因斯坦当成他的“导师”。

玻色的“错误”能得出正确结果，这是因为光子们是不能被分辨出来的，也就是不能把任何两个同能量的光子当作两个能被明确识别的光子。

比方说，如果在另一个宇宙里，硬币表现得像光子及其他玻色子一样，掷出两正的概率的确是三分之一（正反=反正）。玻色的“错误”现在被称为玻色-爱因斯坦统计。

爱因斯坦采取了这个概念，并把它延伸到原子去。这为预测某个现象的存在铺好了路，这个现象就是现在的玻色-爱因斯坦凝聚，在这现象中一组高密度的玻色子（自旋为整数的粒子，以玻色命名）在超低温状态中会成为玻色-爱因斯坦凝聚态，于1995年被实验所证实。

玻色的贡献在于打破了麦克斯韦-玻尔兹曼分布，认为这个统计和分布不适用于微观粒子。

那么麦克斯韦-玻尔兹曼分布是一个什么理论呢？其实这个在经典物理学发展史中，有提到的，细心的朋友肯定还记得。

麦克斯韦—玻尔兹曼统计是描述独立定域粒子体系分布状况的统计规律。

所谓独立定域粒子体系指的是这样一个体系：粒子间相互没有任何作用，互不影响，并且各个不同的粒子之间都是可以互相区别的，在量子力学背景下只有定域分布粒子体系中的粒子是可以相互区分的，因此这种体系被称为独立定域粒子体系。

而在经典力学背景下，任何一个粒子的运动都是严格符合力学规律的，有着可确定的运动轨迹可以相互区分，因此所有经典粒子体系都是定域粒子体系，在近独立假设下，都符合麦克斯韦-玻尔兹曼统计。

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由于量子统计在数学处理上非常困难，因此在处理实际问题时经常引入一些近似条件，使费米-狄拉克统计和玻色-爱因斯坦统计退化成为经典的麦克斯韦—玻尔兹曼统计。

那么什么是麦克斯韦—玻尔兹曼分布？麦克斯韦-玻尔兹曼分布是一个概率分布，在物理学和化学中有应用。最常见的应用是统计力学的领域。

任何（宏观）物理系统的温度都是组成该系统的分子和原子的运动的结果。这些粒子有一个不同速度的范围，而任何单个粒子的速度都因与其它粒子的碰撞而不断变化。然而，对于大量粒子来说，处于一个特定的速度范围的粒子所占的比例却几乎不变，如此系统处于或接近处于平衡。

这里举一个例子，当水分子的运动速度为H时候，水温是20度。当速度上升为M时候，水温为80度。

麦克斯韦-玻尔兹曼分布具体说明了这个比例，对于任何速度范围，作为系统的温度的函数。它以詹姆斯·克拉克·麦克斯韦和路德维希·玻尔兹曼命名。

相片中的人物就是麦克斯韦，他是电磁学的集大成者。他也是统计物理学的奠基人。可以说是毫不逊色于牛顿的物理学家。

想看看这位牛气的物理大神给他未婚妻写的情诗吗？如下文：

你和我将长相厮守

在生机盎然的春潮里，

我的神灵已经

穿越如此广阔的寰宇？

我这就将我的整个生命

导入这生机盎然的春潮，

将真正使三个自我

穿越这世界的广袤

在这首诗中，麦克斯韦真挚地表达了自己的情爱。 1858年7月4日麦克斯韦与凯瑟琳·马丽·迪尤尔(后来改为克拉克·麦克斯韦姓即改为麦克斯韦的姓，他们结婚时，她34岁——在维多利亚时代已经是一个老处女了。 )正式结婚， 婚礼在阿伯丁举行。

麦克斯韦-玻尔兹曼分布形成了分子运动论的基础，它解释了许多基本的气体性质，包括压强和扩散。

麦克斯韦-玻尔兹曼分布通常指气体中分子的速率的分布，但它还可以指分子的速度、动量，以及动量的大小的分布，每一个都有不同的概率分布函数，而它们都是联系在一起的。

麦克斯韦-玻尔兹曼分布可以用统计力学来推导，就是前面提到的麦克斯韦-玻尔兹曼统计。它对应于由大量不相互作用的粒子所组成、以碰撞为主的系统中最有可能的速率分布，其中量子效应可以忽略。由于气体中分子的相互作用一般都是相当小的，因此麦克斯韦-玻尔兹曼分布提供了气体状态的非常好的近似。

在许多情况下（例如非弹性碰撞，比如水滴滴在地面上），这些条件不适用麦克斯韦-玻尔兹曼分布。例如，在电离层和空间等离子体的物理学中，特别对电子而言，重组和碰撞激发（也就是辐射过程）是重要的。如果在这个情况下应用麦克斯韦-玻尔兹曼分布，就会得到错误的结果。

另外一个不适用麦克斯韦-玻尔兹曼分布的情况，就是当气体的量子热波长与粒子之间的距离相比不够小时，由于有显著的量子效应也不能使用麦克斯韦-玻尔兹曼分布。另外，由于它是基于非相对论的假设，因此麦克斯韦-玻尔兹曼分布不能做出分子的速度大于光速的概率为零的预言。

所以在一些弹性碰撞【在理想情况下，物体碰撞后，形变能够恢复，不发热、发声，没有动能损失，这种碰撞称为弹性碰撞。又称完全弹性碰撞。】中要使用玻色—爱因斯坦统计，玻色—爱因斯坦分布。

因为真正的弹性碰撞只在分子、原子以及更小的微粒之间才会出现。所以说玻色的贡献是突破性的。真正深入到量子物理层次。不像麦克斯韦-玻尔兹曼分布那样还要考虑量子效应。

玻色-爱因斯坦统计是一种玻色子所依从的统计规律。根据量子力学，玻色子是自旋为整数的粒子，其本征波函数对称，在玻色子的某一个能级上，可以容纳无限个粒子。因而符合玻色-爱因斯坦统计分布的粒子，当他们处于某一分布

（“某一分布”指这样一种状态：即在能量

的能级上同时有

个粒子存在着。

不难想象，当从宏观观察体系能量一定的时候，从微观角度观察体系可能有很多种不同的分布状态，而且在这些不同的分布状态中，总有一些状态出现的几率特别的大，而其中出现几率最大的分布状态被称为最可几分布。这时体系总状态数为：

摘自独立学者灵遁者量子力学科普书籍《见微知著》