本文由微信公众号环球科学ScientificAmerican授权转载。
数学家新发现了一种可以不重叠、无间隙地铺满平面的五边形，这是第15种可以镶嵌平面的五边形，也是近30年来的首个新发现。
图中所有的五边形都是全等的，作图者给五边形填上三种颜色，表明它们以每三个组成一组方式镶嵌满了整个平面。图：凯西•曼（Casey Mann）
在图形镶嵌的领域中，没有什么比这个发现更令人称奇的了，而在瓷砖产业——我打赌他们也会对此有着浓厚兴趣。
在数学中，如果你可以只用一种图形没有重叠、没有间隙地铺满一个平面，那么这种图形就被称为可以“镶嵌”这个平面。
显然，任意一种三角形以及任意一种四边形都可以镶嵌平面（不信你可以自己试一试）。不过，当考虑到五边形，事情就变得有趣起来。正五边形是无法镶嵌平面的（正五边形是五边、五角都相等的图形，就像秋葵的横截面或者五角大楼），但一些特殊的不规则五边形却可以。
德国数学家卡尔•莱因哈特（Karl Reinhardt）于1918年发现了五种可以镶嵌平面的五边形，从那时起，寻找可以镶嵌平面的五边形并将它们分类就成为了一个数学世纪难题。
（他发现的并不是五个具体的五边形，而是五种可以各用一个方程描写的五边形类。感兴趣的读者可以在如下网址中具体了解这五个方程：http://www.mathpuzzle.com/tilepent.html。为了简化问题，我们只谈凸五边形，即五个角都是凸出来的五边形。）
很多人都认为莱因哈特已经把所有可以镶嵌平面的五边形都找出来了，但事实并非如此：1968年，R•B•克什纳（R. B. Kershner）又发现了三种；1975年，理查德•詹姆斯（Richard James）将纪录刷新到了9种；
同年，一位默默无闻的数学先驱也加入其中——马乔里•赖斯（Marjorie Rice），圣地亚哥一位50多岁的家庭主妇。她从《科学美国人》杂志中获知了詹姆斯的发现，作为一名业余数学家，赖斯发明了自己的数学符号和方法，并在接下来的几年内发现了另外四种可以镶嵌的五边形。1985年，罗尔夫•施泰因（Rolf Stein）发现了第14种。似乎这样的五边形还会越来越多。
不过，在那之后五边形追踪行动似乎陷入了低谷，直到上月，华盛顿大学的凯西•曼（Casey Mann）、詹尼弗•麦克劳德（Jennifer McLoud）与大卫•冯•达尔尤（David Von Derau）再次将人们的目光吸引到了五边形镶嵌问题上。他们发现了下图这个“小美人”：
图：凯西•曼
“我们利用计算机穷举法检验了一个基数很大但有限的五边形集合，”凯西说，“我们对这个小家伙的发现感到非常高兴而又有些意外。”
大多数数学家对五边形镶嵌仍感兴趣，因为五边形是镶嵌问题中唯一没有被研究透彻的图形。
上文已经提到过，所有三角形与四边形都可以镶嵌平面。1963年，数学家证明有且只有三种凸六边形可以镶嵌平面，而边数大于6的凸多边形都无法镶嵌平面。然而，对可镶嵌五边形的分类仍然是不完备的。
“可镶嵌凸五边形的分类难题很容易描述，连小孩都可以理解，但100年以来一直没有出现完美的解答，”凯西说，“这个难题也有着丰富的历史，它与著名的‘希尔伯特23问’中的第18个问题有关。”
五边形镶嵌的潜在应用价值也给对它进行的研究注入了一些活力。“我们在自然界看到的很多结构——从水晶到病毒——都是由一些小的基本单元构成的，这些基本单元被几何学与力学支配着，从而统一起来形成一个大的结构。”他补充道。
“我很难肯定地预测是否还会在新的五边形被发现，不过至今还没有证据表明没有其他五边形了，所有我们可能还能找到几种。但是随着计算机穷举的继续，收集的数据会越来越多，我们有望做出最后的预测。”
不过就目前而言，你可以选择的五边形瓷砖就只有以下这15种：
迄今发现的15种可镶嵌五边形。
（撰文：Alex Bellos 翻译：李轩）
本文来源：网易科技报道
责任编辑：
王晓易_NE0011
