拉马努金的圆周率公式，为什么让数学家们感到震惊？

算圆周率到小数点后7位，有人吭哧吭哧算4000万项，有人却只需要5步。一百多年前，一个印度穷小子随手写下的公式，把k=0代进去就能直接出结果，连剑桥最顶尖的数学家都看懵了。

上回咱们说到，1706年英国数学家梅钦搞出了一个算圆周率的新公式。

说白了它还是用反正切函数的泰勒级数来算，但效率高得离谱。

之前用莱布尼茨级数，你熬几个通宵算4000万项，才能得到3.1415926的精度。

换成梅钦公式，前5项算完，直接就能拿到一模一样的结果。

就这效率，直接把同行都干服了，之后整整快两百年，所有人都觉得这就是算圆周率的天花板，不可能再有更快的了。

结果到了1914年，剑桥的数学家突然收到一封从印度寄来的信。

信里密密麻麻列了一堆算圆周率的公式，其中一条看得人后背发麻：你啥都不用多做，把k=0代进去，直接就能跳出3.1415926，连中间步骤都省了。

写这封信的印度普通青年，就是后来名震数学史的拉马努金。

没人敢信这是个没受过正规高等数学教育的人搞出来的。

有人问他是怎么想出来的，他半开玩笑说，是自己睡觉的时候，湿婆大神托梦告诉他的。

但拉马努金这辈子，真的经常在梦里见到各种从没见过的数学公式，醒了就随手记下来，全是能颠覆学界的硬货。

也正因为这封信，他直接被破格请到了剑桥大学。

后来大家才慢慢搞明白，他这个神级公式的底层逻辑，是椭圆函数和模形式。

这俩东西在数学圈出了名的抽象难啃，普通人光听名字都头大。

但说穿了原理其实很简单：有些函数的傅里叶级数，在特定奇异点上收敛速度快到离谱，拉马努金就是掐准了这个特性，搭出了这个开挂的圆周率计算公式。

之前咱们讲过好多次傅里叶级数，这里就不啰嗦了。

之前也提过，椭圆函数是双周期函数，打个比方，地球绕着太阳转，就是最典型的周期运动。

你算一个周期内的积分，本质就是求这个函数的定积分，黎曼-斯图尔杰斯积分就是专门为这类函数设计的。

它能把看起来根本算不完的无穷积分，直接转成闭合积分，轻轻松松算出精确数值。

椭圆函数属于超函数，性质和咱们熟悉的三角函数特别像，常规运算全能做。

但三角函数有个所有人都背过的铁律：sin²α+cos²α=1，椭圆函数根本没有这种简单关系，因为它本质是复数函数。

它还有个更牛的特性：对于复数α，函数f(z) = 1/(z·a+1) 的收敛范围，是除了z=0之外的整个复平面。

而黎曼-斯图尔杰斯积分，就是专门用来算这类特殊函数的。

对着复数α算积分∫_0^1 f(z, a) dz，直接就能把无穷积分转成闭合积分出结果，放到椭圆函数身上，计算难度低到像做小学算术。

别以为这东西是花架子，1994年数学家怀尔斯就是靠椭圆函数这类双周期函数，把悬了358年的费马大定理给证明了，轰动了整个全球科学界。

早在1827年，挪威天才数学家阿贝尔研究椭圆积分的时候就发现，死磕积分本身没用，它的反函数才是真正的宝藏。

顺着这个思路，他直接推导出了椭圆积分的两个反函数。

这俩就是人类最早发现的椭圆函数，后来被数学家雅可比命名为sn函数和cn函数。

到1847年，德国数学家爱森斯坦脑洞大开：能不能搞出一个能覆盖整个格子平面的函数？

他顺着思路推出来的一整套级数，就是后来大名鼎鼎的爱森斯坦级数，现在是朗兰兹纲领的核心工具。

整个数学史上公认的三大天才级数，另外两个是阿基米德的抛物螺线和牛顿的主微积分。

就连高斯都公开说过，翻遍整个人类数学史，只有阿基米德、牛顿和爱森斯坦三个人，称得上是划时代的天才。

这三大神级级数全是19世纪中叶的产物，拉马努金那个开挂的圆周率公式，本质上也是站在这些巨人的肩膀上搞出来的。

可哪怕如此，拉马努金的公式还是拖到1987年，才由加拿大的鲍文兄弟靠着模形式理论完成了完整证明。

他们后来复盘才发现，这个公式为啥效率高到离谱，核心就是用了爱森斯坦级数在根号负58点的傅里叶展开。

直到今天，无数数学家翻遍所有史料，还是想不通：一个没受过系统高等数学训练、远在印度的普通青年，全靠自己的直觉，怎么就能凭空摸透这些最前沿的数学规律，写出这种神级公式？

说他是被神点过脑袋的天才，真的一点都不夸张。

今天的内容就到这了，我是史雅若，咱们下期正说微积分再见。