天津
不少家长跟我吐槽，孩子平时数学小测看着还不错，一碰到带双重根号、既有平方根又有立方根的方程，直接就懵圈。硬去两边平方，越算式子越复杂，算到后面一堆高次项，越做越乱，最后算出来答案还全错。
就拿这道江西省竞赛题来说，班级模拟考试几乎全军覆没。很多同学上来就直接平方，完全忽略平方根本身自带的取值限制，立方根又不受正负约束，两个性质混在一起，稍不留神就踩坑。其实这道题根本不用死算，学会换元这个小技巧，几步就能把难题化简成简单方程。孩子不是计算能力不行，是没掌握这类题型的做题套路，见到根号就只会平方，不懂换元转化。家长也可以收藏下来，拿给家里的初中生练一练，看看自家孩子会不会踩坑。
拿到题目，第一步先看定义域。平方根里面的式子必须大于等于0，也就是 3m-4\ge0，得到 m\ge \dfrac43。立方根没有正负限制，所以只需要守住这一个前提，最后解出来的根，一定要回头检验，不满足定义域的直接舍去，这是很多学生最容易漏掉的一步。
观察式子，\sqrt{3m-4} 和 5‑3m，里面都有 3m，特别适合换元法。我们设 t=\sqrt{3m‑4}，那么 t\ge0，两边平方：t^2=3m‑4，变形得到 3m=t^2+4。
接下来代入立方根内部：5‑3m=5-(t^2+4)=1‑t^2。
原方程就改写为：\boldsymbol{t+\sqrt[3]{1-t^2}=1}
接下来移项，把t挪到等式右边：\sqrt[3]{1-t^2}=1-t。
两边同时做三次方，去掉立方根号：
1-t^2=(1-t)^3
把右边完全展开：(1‑t)^3=1‑3t+3t^2‑t^3
等式整理：
1-t^2=1‑3t+3t^2‑t^3
左右两边消掉1，全部移到左边：
t^3‑4t^2+3t=0
提取公因式t：t(t^2‑4t+3)=0，继续因式分解：t(t‑1)(t‑3)=0
得到三个解：t=0，t=1，t=3，记住我们的条件 t\ge0，三个数值全部符合范围，现在分别回代求m。
第一种：t=0
\sqrt{3m‑4}=0，3m‑4=0，解得 \boldsymbol{m=\dfrac43}
第二种：t=1
\sqrt{3m‑4}=1，平方得 3m‑4=1，解得 \boldsymbol{m=\dfrac53}
第三种：t=3
\sqrt{3m‑4}=3，平方得 3m‑4=9，解得 \boldsymbol{m=\dfrac{13}{3}}
千万不要算完就结束！根式方程一定要检验，把三个m代入原方程验算。
1、m=\dfrac43：\sqrt{0}+\sqrt[3]{5‑4}=0+1=1，等式成立。
2、m=\dfrac53：\sqrt{5‑4}+\sqrt[3]{5‑5}=1+0=1，等式成立。
3、m=\dfrac{13}{3}：\sqrt{13‑4}+\sqrt[3]{5‑13}=3+\sqrt[3]{‑8}=3‑2=1，等式成立。
三个根全部有效，本题答案：\boldsymbol{m=\dfrac43、m=\dfrac53、m=\dfrac{13}{3}}。
很多学生做这道题，要么不敢换元，一味硬平方；要么解完直接写答案，忘记验算；还有的分不清平方根、立方根的取值规则，白白丢分。初中遇到同时含有平方根、立方根的方程，优先观察内部代数式，有相同部分就大胆换元，把复杂根号换掉，题目难度直接下降一大截。
平时刷题，不要只追求算出结果，做完多复盘，搞懂题型套路，考试遇到同类题才不会慌。家长可以转发给家里上初中的孩子，让孩子完整做一遍。
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