北大团队破解两大物理猜想，CLE-LQG桥梁被数学四大顶刊证实！

8月14日，数学四大顶刊之一的《Journal of the American Mathematical Society》的“Articles in press”栏目更新了一篇重要文章。这篇由北京大学孙鑫、吴保君、蔡格非与加州大学圣迭戈分校Morris Ang合作完成的论文，题为“Integrability of Conformal Loop Ensemble: Imaginary DOZZ Formula and Beyond”，一举证明了共形场论中两个存在多年的物理学猜想。值得注意的是，四位作者中有三位来自北京大学——一位是北大数院07级出身的博雅特聘教授，一位是博士后，另一位则是在读博士生。下面我们来了解这项成果究竟解决了什么问题。

两个沉睡多年的猜想

要理解这项工作的意义，得先回到二维临界现象的世界。在二维临界渗流中，n个点位于同一簇的概率的标度极限，被认为由共形场论（CFT）所支配。2010年，Delfino和Viti对一个经过适当归一化的三点概率的精确值做出了一个卓越的预测。这个预测以Schomerus、Zamolodchikov以及Kostov-Petkova提出的虚DOZZ公式来表达——该公式将最小模型CFT的结构常数推广到了连续参数情形。

随后，类似的猜想被推广至随机簇模型和O(n)圈模型的标度极限，将某些三点可观测量也用虚DOZZ公式表示。由于这些模型的标度极限可由共形环系综（CLE）描述，这些猜想本质上可以表述为关于CLE可观测量的精确命题。2015年，Ikhlef、Jacobsen和Saleur又提出了关于CLE嵌套圈统计的另一个猜想。

这两个猜想在领域内悬而未决多年，直到这篇论文的出现。研究团队严格证明了Delfino和Viti关于渗流的猜想，以及Ikhlef、Jacobsen和Saleur关于CLE嵌套圈统计的猜想。更关键的是，他们建立的证明框架具有足够的灵活性，可以精确求解具有自然几何解释的CLE可观测量三点函数——作为示例，文章还求解了对应于三个点位于同一条圈上的情形，其答案表现为虚DOZZ公式的一个变体。

什么是CLE和LQG？

对于非专业读者来说，这些概念或许有些陌生，但我们可以借助一些直观的类比来理解。

共形环系综（CLE），简单来说，描述的是一张二维橡胶膜上随机出现的环状结构的集合。想象一下，在一张均匀拉伸的橡胶膜上，随机地出现了一圈一圈的环形纹路，这些环的分布满足某种数学上的对称性（共形不变性）。CLE的核心价值在于，它提供了一种用随机几何的语言来描述二维临界系统（如渗流模型、伊辛模型）宏观行为的数学框架。它就像统计物理和共形场论之间的一座桥梁，让物理学家能够用几何的眼光审视那些复杂的相变现象。

刘维尔量子引力（LQG） 则是二维量子引力的一个候选理论。在经典广义相对论中，时空是光滑的流形；但在量子尺度上，时空本身也会发生剧烈的量子涨落，像一块随机起伏的毯子。LQG用概率测度来描述这种起伏——时空几何不再是固定的，而是由随机函数（高斯自由场）决定，其面积、长度等具有分形特性。如果说CLE描述的是“随机曲线”，那么LQG描述的就是“随机曲面”。

搭建桥梁的关键一步

这项研究的核心突破，在于建立了CLE与LQG之间的深刻联系。证明的灵感来源于一个关键发现：在重新参数化之后，虚DOZZ公式恰好是刘维尔CFT三点函数的倒数。这个看似简单的代数关系，背后隐藏着深刻的几何含义。

基于此，研究团队将CLE与球面上的LQG耦合起来，通过概率论的方法，将CLE中那些难以直接计算的几何量（如环的长度、环之间的相互位置关系），转化为LQG框架下可以精确求解的物理量。这种“概率方法搭桥”的策略，让原本需要高度复杂的共形场论计算才能触及的问题，变得可以用随机几何的语言来系统处理。

从技术层面看，这项工作巧妙结合了概率论中的随机度规和共形焊接技术，将几何问题转化为解析函数方程。它证明了CLE和LQG之间的对应关系不是偶然的，而是可以严格证明的数学定理。

学术价值：概率、几何与代数的交汇

这项成果的深远影响，体现在数学和物理两个维度。

从数学角度看，它完善了共形场论的数学基础，为随机几何与代数结构的融合开辟了新方向。概率论方法在解决几何分析问题中的强大威力再次得到印证，推动了“随机共形几何”这一分支的发展。论文本身也被发表在数学四大顶刊之一的JAMS上，足以说明其数学分量。

从物理角度看，它为二维量子引力的严格定义提供了数学证明。二维量子引力中的“面积-长度”涨落的统计规律，与弦论中的“世界面”模型存在直接对应。此外，这项工作与统计物理中的临界现象（如渗流、聚合物）深度关联，有望统一描述二维系统的普适性。潜在的延伸方向还包括量子计算中的拓扑纠缠、黑洞信息问题等前沿领域。

文章最初版早在2021年7月便上传在预印本平台arXiv上，经历了多次完善和修改直至V4版。如今，距离最初版上传五年过后，文章终于被期刊正式接受。这背后是团队多年的坚持与打磨。

作者群像：从北大走出的新一代

这篇文章的作者阵容也颇具看点。孙鑫，北大数院07级的一员，高中时数学几乎都是满分，本科毕业后赴麻省理工学院读博，师从概率论领域的大牛Scott Sheffield。2023年回国加入北京大学，目前为北京国际数学研究中心的博雅特聘教授。他获得过洛勒·戴维逊奖、达摩院青橙奖、ICBS前沿科学奖等荣誉，今年还受邀在国际数学家大会上作了45分钟报告。

吴保君，2018年本科毕业于山东大学泰山学堂，被巴黎高等师范学院录取，此后取得巴黎萨克雷大学的硕士学位和艾克斯-马赛大学的博士学位。目前在北京国际数学研究中心从事博士后研究，合作导师正是孙鑫。

蔡格非，高中毕业于绍兴第一中学，物理竞赛全国决赛金牌入选国家集训队，保送进入北京大学。他提前一年本科毕业，目前是北京大学北京国际数学研究中心的四年级博士研究生，接受孙鑫和李欣意的联合指导。从时间线来看，该研究最初版完成时，蔡格非刚读完大二——而除了这篇文章，他今年与合作者另有二篇文章分别发表在《Annals of Probability》和《Advances in Mathematics》等著名期刊上。博士在读期间发表“数学四大”，蔡格非的实力可见一斑。

数学和物理在最深处似乎正走向统一。这项成果表明，在最根本的层面上，概率、几何与代数可能只是同一枚硬币的不同面。你认为这种统一是偶然还是必然？