火箭残骸撞月，留下多大吻痕

引言

北京时间 2026 年 8 月 5 日，一枚在太空中漂泊了 19 个月的 SpaceX 猎鹰 9 号二级火箭残骸，以每秒 2.4 公里的速度撞击月球西侧的爱因斯坦环形山附近（图 1）[1]。这枚残骸重约 4 吨、全长 12 米，来自一次商业探月发射任务——它曾将两款月球着陆器送入奔月轨道，但载荷分离后，其燃料彻底耗尽，既无法受控返回地球烧毁，也无力进入安全的深空墓地轨道，最终在地球、月球和太阳的多重引力扰动下，长期在地月空间漂流，直至撞向月球。研究人员推算，这次撞击形成了一个直径约 30 米的撞击坑。不过，目前尚无探测器拍下撞击现场，该陨坑的精确信息有待后续绕月卫星拍摄高清影像后确认。

图 1: 猎鹰火箭残骸撞击月表（AI 生成）

那么，一个关键的科学问题是：火箭残骸撞击月球表面形成的撞击坑尺寸，究竟与哪些因素相关？在我们的日常生活中，撞击坑其实并不陌生。比如制作蛋糕时，鸡蛋落入面粉中就会留下一个小坑（图 2）。生活经验告诉我们，这个坑的大小，与鸡蛋下落的高度（即撞击时的动能）、鸡蛋的大小以及面粉的软硬干湿都有关系。撞击坑的形成过程，与火箭残骸撞击月壤在物理上具有相似性。由此可以合理推测：月球撞击坑的尺寸，很可能与撞击释放的能量、撞击体的质量，以及月表土壤的性质密切相关。

图 2: 鸡蛋落入面粉时形成的撞击坑

本文采用量纲分析，结合小球撞击砂子（或白砂糖）的实验数据，建立撞击坑尺寸与撞击能量等关键因素的定量关系，并据此推算此次 SpaceX 猎鹰 9 号残骸撞击月球所形成撞击坑的直径。

实验

为探究撞击坑尺寸的主要影响因素及其定量规律，研究人员进行了如图 3 所示的模拟实验[2]。

图 3: 撞击坑形成模拟实验装置图

实验过程中，先将砂子或白砂糖填入容器，用铲刀刮平表面，再将质量与尺寸各异的小球自不同高度释放，待其撞击颗粒材料表面后，测量所形成的撞击坑直径（图 4）。

图 4: 某次模拟实验形成的撞击坑

实验选用的砂子和白砂糖密度分别为 1.6 g/cm 和 1.0 g/cm 。所有工况均重复多次，取测量均值作为最终结果，详细实验数据见附录。

模型

鉴于撞击坑形成过程较为复杂，难以单纯从物理或数学原理出发直接推导出坑径与撞击能量等相关因素之间的显式函数关系，本文借助量纲分析方法[3]构建该关系的函数形式，并利用实验数据对模型参数进行标定。

量纲分析是物理学与工程学中常用的分析工具，旨在探究各物理量之间的内在联系。该方法依据物理量的量纲信息，遵循量纲齐次法则来构建数学模型。所谓量纲齐次法则，是指在任何数学模型或物理规律的数学表达式中，所有相加项必须具有相同的量纲，或均为无量纲形式（图 5）。量纲分析的核心内容为著名的 定理，该定理指出：若某一物理问题涉及 个变量，其中基本量的个数为 ，那么必然存在 个相互独立的无量纲量，且这些无量纲量之间构成确定的函数关系。

图 5: 量纲分析的基本原理

首先需要确定问题中所涉及的基本物理量，即要确定图 3 所示的实验中，撞击坑直径 与哪些因素相关。实验过程中，小球从高度 自由释放，重力势能转化为撞击时的动能，该动能进一步传递至颗粒材料（砂子或白砂糖），使其飞溅并最终形成撞击坑。显然，撞击坑直径 的大小与小球在撞击过程中损失的能量 密切相关。此外，颗粒材料密度 越小，受撞击时越易飞溅，形成的撞击坑直径 就会越大。因此，撞击坑直径 与被撞击颗粒材料的密度 也相关。同样，重力加速度 越小（如月球环境），颗粒材料被撞击时也更容易飞溅。因此撞击坑直径 与重力加速度 也存在关联。此外，直觉告诉我们，撞击坑直径 可能还与小球直径 相关。综合以上分析，撞击坑直径 可以表示成如下函数：

接下来需要确定各物理量的量纲，并据此导出相关的无量纲量。如果用 M、L、T 分别表示质量、长度和时间的量纲，则当前问题所涉及的 5 个物理量的量纲分别为： = ML2T-2， = ML-3， = LT-2， = = L。这 5 个物理量中只有 3 个独立量纲，根据 定理，可构造的无量纲量数目为 5 - 3 = 2。可以取 ， 和 为基本量，且作为本问题的单位系统。则自变量 的量纲可以表示为这 3 个基本量的量纲的幂次组合：

容易解得 = 1， = 1， = 4。同样，因变量 的量纲也可以表示为 3 个基本量的量纲的幂次组合：

显然有 = = 0， = 1。由此，可确定出与问题相关的 2 个无量纲量：

根据 定理，上述两个无量纲量之间形成确定的函数关系。因此，问题的模型可表示为以下无量纲关系：

上式表明无量纲量 是 的函数，但函数 的具体形式需要通过实验数据来确定。在处理实验数据时，通常可以把无量纲函数关系假设为幂次关系：

其中 和 为常数。上式也可以整理成对数关系，即

上式表明， 和 可能存在线性关系，其中 = 为小球下落前的重力势能。

最后，需借助实验数据确定无量纲函数关系，即标定方程中的参数 和 。令 = ， = ，然后将实验数据转化成二维直角坐标系中的点，并将它们绘制在图 6 中。散点图显示， 和 之间呈现明显的线性趋势。通过对 和 进行线性回归，得到 = 0.24 和 = -0.2505（或 = 0.7784），相应的拟合直线如图 6 所示。数据点与拟合曲线的吻合程度较好，表明该线性关系可靠。

图 6: 无量纲能量与无量纲撞击坑直径线性拟合

值得注意的是，拟合得到的斜率 = 0.24 非常接近于 1/4。如果 = 1/4，则撞击坑直径 将完全与小球直径 无关：

由此可见，我们先前认为“撞击坑直径 可能还与小球直径 相关”的直觉并不成立。这种直觉的本质，实际上仍然归结为能量越大、坑径越大。因为在实验中，小球的重力势能表达式中包含了质量，而相同材质的小球直径越大，质量越大，相同高度具有的重力势能也越大。但实际上，小球直径大小与撞击能量的大小并没有必然关系。为验证这一点，将斜率固定为 = 1/4，此时对数关系中仅剩 需要确定。重新拟合实验数据得 = -0.2915（或 = 0.7471），新的拟合直线如图 7 中实线所示。从图中不难看出，新的拟合直线与之前的拟合直线（图 7 中的虚线）几乎重合。这一结果进一步表明，撞击坑直径 与小球直径 无关。

图 7: 无量纲能量与撞击坑直径的关系

利用上述模型，给定撞击能量和颗粒材料密度，即可估算小球撞击形成的坑径。将砂子密度（ = 1.6 g/cm ）和白砂糖密度（ = 1.0 g/cm ） 分别代入，可以得到撞击坑直径 随释放能量 的变化关系，相应的函数曲线见图 8。可以看到，模型预测曲线与实验数据点吻合良好。

图 8: 撞击坑直径与小球能量的关系

接下来，我们将上式应用到此次 SpaceX 猎鹰 9 号残骸撞击月球的事件中。研究人员估算，这枚残骸重约 = 4000 kg，撞击速度约为 = 2400 m/s。动能为

这大约相当于 2.74 吨 TNT 炸药爆炸释放的能量（一吨 TNT 炸药爆炸释放的能量约为 4.2 10 J）。月球表面重力加速度约为 = 1.625 m/s ，月球土壤（月壤）表层松散密度约为 = 1500 kg/m 。将这些参数代入模型可得

该结果与新闻报道中其他科学家估计的 20-30 米范围接近，但略偏高。一方面，火箭为中空结构，部分动能会在撞击过程中消耗于箭体自身的变形、破碎和摩擦，而非全部用于冲击月壤形成撞击坑；另一方面，月壤并非纯粹的松散颗粒材料，与实验所用砂子或白砂糖的力学性质存在差异。因此，实际撞击坑尺寸可能略小于本文计算值。

结论

本文围绕SpaceX猎鹰9号火箭残骸撞击月球事件，通过量纲分析建立了撞击坑尺寸与撞击能量、月壤密度及重力加速度之间的函数关系。基于小球撞击砂子（或白砂糖）的模拟实验数据，确定了该函数的具体形式。实验结果表明，撞击坑直径主要由撞击能量、靶体密度和重力加速度决定，而与撞击体自身的几何尺寸无直接关联。将该模型应用于此次撞月事件，代入残骸质量、撞击速度、月壤密度及月球重力加速度等参数，计算得到撞击坑直径约为 34.8 米，与相关报道的估计范围基本接近。值得注意的是，火箭的中空结构以及月壤与实验介质在力学性质上的差异，均可能导致实际坑径略小于本文计算值。

值得一提的是，本文所采用的量纲分析方法无需复杂的数值模拟或高精度实验数据，仅依靠物理量的量纲信息和相对简单的模拟实验，便能快速估算复杂撞击事件的关键参数。这种方法可推广至其他天体表面的人工或自然撞击事件评估，在缺乏详细地质参数的情况下，为初步评估撞击效应提供了一种快速而有效的途径。

附录

参考资料

Ashley Strickland. A spacex rocket collided with the moon. here’s what to know, 2026.: https://edition.cnn.com/2026/08/04/science/spacex-rocket-moon-impact

GD Severn and JP Bolender. A note on the gyromagnetic properties of the hydrogens. American Journal of Physics, 81(11):873–874, 2013.

Qing-Ming Tan. Dimensional analysis: with case studies in mechanics. Springer Science & Business Media, 2011.

Colin S Miranda and David R Dowling. Mach number scaling of impact craters in unconsolidated granular materials. Icarus, 325:84–93, 2019.

文章转载自"数学模型"公众号