业余数学家之王费马：从微积分基石、概率论诞生到延续 350 年的数论传奇

1637 年，法国图卢兹的一个夜晚。

房间里烛火摇曳，安静得只能听见羽毛笔划过纸张的沙沙声。一位法官伏案沉浸在自己的业余爱好里，正在阅读古希腊数学家丢番图《算术》的拉丁译本。

他读得很慢，因为总停下来，与作者展开一场跨越千年的对话。几乎每一页的边缘都会留下新的演算、补充，甚至推翻原书结论的批注。对他来说，书从来只是思考的起点。

一个关于整数的问题忽然抓住了他的目光：如何把一个平方数拆解为另外两个平方数之和？

他停下笔，念头一转：三次方呢？四次方呢？更高的 次方呢？沉默片刻，灵感乍现，他在那页留白地方，写下了一段后来震动数学史的话：

我已经发现这个命题一个真正奇妙的证明，可惜这里空白太小，写不下。

没有写下思路，没有多一丁点解释。

这位名叫皮埃尔·德·费马的法官大概没有意识到，一句随手写下的话，将困扰后来的数学家整整三个半世纪。直到 1994 年，英国数学家安德鲁·怀尔斯爵士才借助费马时代根本不存在的现代数学工具，为它补上一份超过百页的完整证明。

而后人把这个命题称为费马大定理。

那个巧妙证明究竟是什么样子，没人能再复原，而这段悬案，构成了世人对费马最深的记忆。但对这位"业余数学家之王"而言，费马大定理远不是他唯一的勋章：从解析几何到微积分，从数论到概率论，他在多个领域展现出的洞察力，早已奠定了在数学史上难以替代的位置。

费马于 1601 年出生在法国南部小镇博蒙-德-洛马涅的一座 15 世纪府邸中（这一出生年份长期存在争议：现代档案考证显示，1601 年受洗的其实是他早夭的同名异母兄长，费马本人更可能生于 1607 年前后；本文暂且沿用史料中更广为流传的 1601 年吧）。这座府邸如今已改建为费马纪念馆。

他的父亲多米尼克·费马是一位富有的皮革商，曾三次出任博蒙-德-洛马涅的行政官；母亲克莱尔·德·隆出身当地望族。家中还有一位兄弟、两位姐妹，费马在这里度过了童年。

此后的一生，他很少离开法国南部，但他的思想，却抵达了整个数学世界。

1623 年，费马进入奥尔良大学学习法律，三年后取得民法学士学位。按照原本的人生轨迹，他本会安稳地做一名司法官员度过一生——但真正让后世记住他的，从来不是这门主业。

毕业后，他来到波尔多，在这里开始了第一次数学探索，也结识了第一批志同道合的学者朋友。1629 年，他完成了一项极具挑战性的工作——重构古希腊数学家阿波罗尼奥斯已失传的著作《平面轨迹》，并把手稿赠送给当地一位数学家。

这件事很能说明费马的治学方式：他不是凭空创造新理论，而是不断阅读古典文献，与古人展开跨越千年的对话，再借助新的代数工具，把古希腊几何推向新的阶段。统计学家安德斯·哈尔德后来一语道破：

费马数学研究的基础，在于将古典希腊著作与韦达开创的新代数方法有机融合。

这句话几乎概括了费马一生的数学道路。

波尔多时期，他开始与法国数学家让·德·博格朗保持密切联系，并写下一篇关于求极值的重要论文，寄给同样热爱数学的埃蒂安·德斯帕涅。

这些交流大多没有正式发表——在学术期刊尚未诞生的 17 世纪，欧洲数学界更像一个靠私人信件维系的网络，许多学者只在信中公布结论，却把证明过程锁在抽屉里。费马把这种习惯发挥到了极致：只亮结论、不给过程的作风，即为他赢得了极高声望，也埋下了不少争议。

另一位对他影响深远的人，是法国代数学家弗朗索瓦·韦达。韦达第一次让代数拥有了真正意义上的现代符号语言，费马则把这种新代数思想与古希腊几何结合起来——后来解析几何、微积分乃至现代分析的发展，都能看到这条思想脉络的延伸。

1630 年，费马出资购得图卢兹高等法院参议官(即法官一职)；次年 5 月正式宣誓就职，此后几乎终生服务于司法系统。凭借这一高级法官身份，他按当时法国的制度，把名字从"皮埃尔·费马"改为带贵族称谓的"皮埃尔·德·费马"——数学史因此记住了这个更为熟悉的名字。

宣誓就职不到一个月后，1631 年 6 月 1 日，他迎娶了路易丝·德·隆，两人共育有八名子女，五人长大成人。

和许多近代科学家不同，费马几乎没有颠沛流离的人生：稳定的职业、尊贵的社会地位、安稳的家庭，也不靠数学谋生。这让他留下了数学史上一种罕见的双重身份——职业法官与业余数学家。而正是他这个业余爱好，最终却改变了整个数学的发展方向。

除了法律和数学，费马还是一位令人惊叹的人文学者。他熟练掌握法语、拉丁语、奥克语、古典希腊语、意大利语和西班牙语六种语言，创作过多语种诗歌，也常帮学者校勘古希腊文献中的疑难字句。

这些看似与数学无关的能力，塑造了他独特的研究方式：他能直接阅读古希腊数学原典，不必依赖后人转述；能比较不同语言版本间的细微差异；也能在读欧几里得、阿波罗尼奥斯和丢番图时，更准确地理解字句背后的数学思想。

于是一种罕见的气质出现在他身上：白天，他是严谨细致的高级法律官员；夜晚，他穿越两千年的知识长河，与古希腊数学家隔空对话，在书页边缘写下一行又一行简短却惊人的结论——大多数没有给出具体证明，更多时候只是一封信、一页批注，甚至一句看似漫不经心的话。谁也没有想到，这些零散的文字，后来竟成为牛顿、莱布尼茨、帕斯卡乃至整个现代数学的起点。

unsetunset铺就微积分的基石unsetunset

17 世纪，天文学家已能预测行星运行，工程师能设计复杂机械，炮兵知道如何计算弹道——可如果有人问一个如今看来简单的问题：怎样找到一条曲线的最高点？怎样画出曲线在某一点的切线？数学家却反而束手无策。

现在，我们几乎会下意识地写下 ，求出极值，再用导数算出切线斜率。可在费马生活的年代，导数这个概念还不存在，更别说微积分。当时的数学更擅长处理已经完成的静态几何图形，却缺一种能描述"变化本身"的语言——这正是费马想要填补的空白。

大约 1629 年前后，费马开始琢磨一个大胆的问题：能否完全绕开复杂的几何作图，只靠代数计算，就找出一条曲线的极值与切线？

他提出了一套后来被称为拟等法的方法，思路与现代微积分相似得令人吃惊。设想判断一座山峰是不是最高点：不必跳到很远的地方，只要向左右各迈出极小一步——如果两侧都在下降，脚下大概就是山顶。费马用的正是类似的思想：给变量加上一个极小的量，比较变化前后的两个表达式，视为"几乎相等"（拟等），再舍去比主要变化小得多的高阶项，便能找到极值。

这套方法没有现代极限的严格定义，也没有无穷小的完备理论，却已经精准抓住了微分思想最核心的直觉，与现代导数计算之间的相似性令人吃惊。

费马没有止步于极值。他很快把同样的方法用于另一个更困难的问题：如何求曲线在某一点的切线？这是 17 世纪数学最重要的问题之一，因为切线不只是一条几何直线，还意味着能刻画物体运动的瞬时方向——后来牛顿正是借此建立运动学，莱布尼茨则把它发展成完整的微分计算。

而费马已经率先给出了系统方法。1636 年，他的手稿《求最大值与最小值以及曲线切线的方法》开始以传抄本形式在欧洲数学界流传，比笛卡尔出版《几何学》还早一年；后来的研究普遍认为，笛卡尔写作《几何学》时已吸收了费马的部分成果。直到 1679 年，这份手稿才以《平面与立体轨迹引论》为题，收入费马遗作集《数学论文集》正式出版，从私人传抄本变成了真正流传后世的经典。

拟等法解决的是"怎样计算变化"，另一项工作回答的则是"怎样描述图形"。17 世纪以前，几何与代数几乎是两个平行世界：欧几里得留下图形，韦达留下符号。费马开始把两者真正连接起来。

我们早已习惯用坐标描述曲线，比如 既是一条代数方程，也是一幅几何抛物线——但这种思维在当时还是全新的观念。费马率先意识到，平面上每一个点都对应一组数，一条曲线完全可以由一个代数方程唯一决定，这正是解析几何最核心的思想。历史通常把解析几何归功于笛卡尔，但费马几乎在同一时期独立建立了这套理论，而且完成得更早，只是没有及时正式出版，传播不及笛卡尔广泛——数学史也因此留下了一段持续数百年的优先权讨论。

解决了极值、切线之后，费马又追问第三个问题：曲线下的面积该怎样计算？这正是今天 所处理的问题，但在 17 世纪，这是一块无法用初等几何计算的未知区域。

他想到一种极具创造力的方法：不直接计算面积，而是把曲线切成越来越细的小块，再把这些面积转化为等比数列的求和问题——一个几何问题，被他改写成了纯代数问题。这是费马一贯的思维方式：遇到难题，换一种语言重新表达。凭借这种方法，他成为已知第一位求出一般幂函数定积分的数学家，也为牛顿与莱布尼茨各自建立微积分基本定理提供了重要启发——他们完成了整个理论体系，费马则率先点亮了第一盏灯。

拟等法还带来了自然的延伸：既然能找到极值、处理面积，那一个物体的重心究竟在哪里？费马进一步推导出计算各种平面和立体图形质心的方法，并把研究推广到面积与体积的求积。这些问题今天分属积分学、几何学和力学，在 17 世纪却还彼此分离。费马隐约意识到它们服从同一种思想：连续变化可以通过局部分析理解，而整体量又能由无数局部累积而成——后来整个微积分的发展，几乎都围绕着这一思想展开。

遗憾的是，费马虽提出了求切线与极值的重要方法，却没有把它整理拓展为通用的微积分体系——作为图卢兹高等法院的高级法官，他大部分时间处理法律事务，研究更多散落在书信、草稿和私人交流中，很少整理成完整著作公开发表。这也让后来围绕研究优先权的争论不断出现：17 世纪欧洲学术界盛行先公布结论、暂不公开证明以保留优先权的风气，费马也沿袭了这种做法，因此与笛卡尔、约翰·沃利斯等同代学者多次发生成果归属之争。

如果他的著作能更早出版，微积分的发展史或许会是另一番面貌。牛顿后来坦率承认，自己关于微积分的早期思考，直接源于费马求解切线的方法。

unsetunset真正让费马名垂千古的，不是那句写在页边的话unsetunset

提起费马，大多数人首先想到的仍是那个著名命题：

2 \text{ 时无正整数解}) "> 时 无 正 整 数 解

但费马的贡献远不止于此。17 世纪，数论尚未成为独立的数学分支——它以整数及其性质为研究对象，既没有天文学、工程学那样的直接应用背景，也不具备几何学的直观图形。费马致力于探索整数内在的规律与代数性质，后来高斯将数论称作"数学的皇后"，而在高斯之前，费马的研究早已为这门学科的独立奠定了基础。

他感兴趣的问题几乎遍及整个数论世界。他研究佩尔方程 ，探索这类方程为何有时拥有无限多个整数解；他研究完全数——一个数恰好等于它所有真因数之和，例如 ；他也研究古希腊时代便令人着迷的相亲数，例如 220 与 284：220 的真因数之和等于 284，284 的真因数之和又恰好回到 220，因此被古人赋予"友谊"的寓意。这些问题看似彼此无关，但费马寻找的从来不是一个个孤立答案，而是隐藏在整数背后的共同规律。

正是在研究完全数性质的过程中，费马发现了后来以他命名的费马小定理，今天通常写成：

其中 是素数，且 。

费马发现，任何不是 倍数的整数，经过 次幂运算后，都会在模 意义下重新回到 1。这种循环规律后来成为现代数论最基础的工具之一，从素性测试到公钥密码都能看到它的身影——当然，这些应用距离费马还有几百年，他研究它，只是因为问题足够吸引人。

相比具体定理，费马留给后人更重要的礼物，或许是一种系统性的证明方法：无穷递降法。证明一个命题，通常靠不断构造新的对象；费马却反过来想：假设一个反例真的存在，是否一定还能构造出一个更小的反例？如果能，新反例又能产生更小的反例，如此无限进行下去，就会得到一个无限下降的正整数序列——但正整数不可能无限下降，所以最初的反例根本不存在。这种证明方式带着近乎哲学的力量：不直接攻克结论，而是让错误假设自己走向崩溃。b

借助无穷递降法，费马完成了一项经典证明：费马直角三角形定理——不存在边长全为整数、面积又是完全平方数的直角三角形。在证明过程中，他顺便证明了 时费马大定理成立，即 不存在正整数解。这是费马大定理历史上第一个被完整证明的特殊情形，后来数百年的研究，也大多沿着"先解决特殊指数，再尝试一般情况"的路线推进。

费马还提出了双平方定理，回答了哪些整数能写成两个平方数之和（例如 ）这一古老问题，后来成为代数数论的重要起点。他也提出了多边形数定理：把小石子排成规则图案，三个能组成三角形数，四个能组成正方形数，继续推广还能得到五边形数、六边形数……费马大胆猜想，任何正整数都可以表示为至多三个三角形数、四个正方形数、五个五边形数……的和。不同形状之间竟隐藏着同一种整数结构，这一猜想后来被陆续证明，成为组合数论的重要组成部分。

费马最大的传奇，终究还是来自那本《算术》。1670 年，费马去世五年后，他的长子整理出版了父亲收藏的《算术》，书中收录了一系列费马留下的边注，其中最著名的一条标题为 Observatio Domini Petri de Fermat——正是后来闻名世界的费马大定理。遗憾的是，除了那句"我有一个绝妙证明"，再没有留下任何证明；更耐人寻味的是，费马在与法国神父兼数学家马兰·梅森的大量通信中，似乎也从未提及这个命题。一个持续数百年的疑问因此诞生：费马真的证明过它吗？

随着时间推移，越来越多人怀疑答案是否定的：费马留下的多数算术定理，证明手稿都极少保存；更重要的是，其中不少问题难度惊人，即便用今天的工具依然十分困难。包括卡尔·弗里德里希·高斯在内，许多数学家都对费马"已经证明所有定理"的说法保持怀疑——他们怀疑的不是费马的天赋，而是 17 世纪的数学工具能否完成那样的证明。

事实证明，高斯的谨慎不无道理。直到 1994 年，怀尔斯才终于完成证明，依赖的已不是 17 世纪的数论，而是椭圆曲线、模形式以及谷山—志村猜想等现代成果。那个困扰世界三百五十多年的页边批注，终于画上句号。

费马也不是从不犯错。在写给皮埃尔·德·卡卡维的信中，他曾断言所有形如 的费马数都是素数——前几个例子的确如此，似乎印证了这个猜想。

然而一个多世纪后，莱昂哈德·欧拉发现第五个费马数

其实是合数： 。这个反例推翻了费马的断言。后来，安杰伊·申策尔、瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基等数学家也曾指出费马在部分数论判断上的失误，安德烈·韦伊则在《数论》中对这些历史细节做了细致考证。

这些失误并没有削弱费马的地位，反而提醒后人：数学从不是一串永远正确的结论，而是一场允许犯错、允许修正、也允许后人接力完成的漫长探索——费马，正是这场探索最早、也最勇敢的开路者之一。

unsetunset赌博催生了一门全新的数学unsetunset 1654 年：概率论的发展

17 世纪的欧洲，赌博在各阶层中十分盛行，赌桌上的问题也因此成了数学家思考随机现象的契机——其中最著名的，是所谓的点数分配问题，又称分赌注问题。

设想两人进行一场比赛，约定谁先赢满一定局数就拿走全部赌金，可比赛未结束，两人却不得不中途离场。赌金究竟该怎样公平分配？按已赢局数分，还是平分？直觉给出的方案看似都有道理，可仔细推敲，没有一种能真正令人信服。

1654 年，法籍贵族骑士德·梅雷向布莱兹·帕斯卡请教了这个难题，还带去了另一个困扰他许久的疑问。帕斯卡随后写信与费马展开探讨，接下来的几个月里，两人通过一系列密集的信件讨论，没有面对面的交流，没有共同署名的论文，只有一封又一封书信在巴黎与法国南部之间往返。可正是在这些信件里，一种全新的数学思想开始成形。

1. 分赌注问题：算清所有可能

面对赌局，过去的人习惯依赖经验或运气，费马和帕斯卡却提供了一种全新思路：不要去猜结果，而是数清楚所有可能发生的情况。

以比赛中途中断为例：假设某一方只需再赢 2 局就能拿走全部赌注，那么无论比赛是否继续，所有可能的胜负顺序在数量上都是有限且可列举的：

1. 列出所有演变：把未来所有可能的胜负组合完整列出。

2. 统计获胜次数：分别计算双方在这些组合中最终获胜的次数。

3. 按比例分配：按双方各自获胜情况占总组合的比例，划分这笔赌资。

这种方法后来被称为等可能分析——重要的不再是已经发生了什么，而是所有可能发生什么。把"可能性"变成可以精准计算的对象，两人为概率计算找到了严密的数学基础。

2. 骰子问题：直觉与计算的冲突

骑士德·梅雷还向帕斯卡请教了另一个问题，源于他在赌场里的真实经历。他长期玩两种游戏：

• 游戏一（单骰）：掷一枚骰子 4 次，只要至少出现一次 6 点就算获胜。

• 游戏二（双骰）：掷一对骰子 24 次，只要至少出现一次双 6 就算获胜。

德·梅雷自己算过：单骰出现 6 点的概率是 ，掷 4 次期望是 ；双骰出现双 6 的概率是 ，掷 24 次期望同样是 。按这种直觉，两种游戏胜率应该一样，可现实却完全不同：游戏一他总能稳定盈利，游戏二却长期亏损。难道是赌场作弊？

费马与帕斯卡没有跑去现场观察，而是直接进行算术推演，换个角度计算"一次都没出现"的概率：

• 游戏一（单骰 4 次）：单次不出 6 点的概率是 ，连续 4 次都不出现的概率是 ，因此至少出现一次 6 点的概率为

• 游戏二（双骰 24 次）：单次不出双 6 的概率是 ，连续 24 次都不出现的概率是 ，因此至少出现一次双 6 的概率为

答案揭晓：游戏一胜率略高于一半（51.8%），玩家长期占优；游戏二胜率不到一半（49.1%），长期必输。两种游戏看似相似，规则却并不对等——玩家长期输钱，不是因为运气不好，而是概率不能简单按线性相加。

3. 从赌桌走向现代科学

这些关于赌局的讨论，很快应用在更多领域。18 世纪，保险公司用概率计算风险，政府用它估算人口与税收，天文学家用它分析观测误差；19 世纪，物理学家把概率引入热力学，解释无数微观粒子的运动；20 世纪至今，量子力学、信息论、金融工程，乃至人工智能，都把概率变成了自己的基础语言。

数学史通常把费马和帕斯卡在 1654 年的通信，视为现代概率论的起点。完整的概率公理体系要等两个半世纪后才由柯尔莫哥洛夫最终建立，但最关键的一步，已经在这些书信中迈出。

unsetunset一个法官留给世界的遗产unsetunset

1665 年 1 月 12 日，法国南部的冬天依旧寒冷。这位白天审理案件、夜晚研究数学的法官，走到了人生的尽头。

他没有出版过系统的数学专著，没有建立自己的学派，不曾像牛顿那样主持皇家学会，也不曾像欧拉那样留下几十卷著作。费马所留下的大多只是书信、草稿、边注，以及朋友间传阅的手稿——但数学史很快发现，这些零散的文字，几乎每一页都通向未来。

费马墓碑

费马安葬在卡斯特尔的让·饶勒斯广场，墓碑铭文简短：

1665 年 1 月 13 日，敕令法庭参议官皮埃尔·德·费马安葬于此。

（后人在墓碑旁立的纪念牌上写道：“他是一位声名显赫的数学家，因提出定理 而闻名于世。”）

墓碑与纪念牌记下了那条著名的定理，但我们如今知道，费马真正留下的远不止这一个公式。

几个世纪以来，法国一直以各种方式纪念这位数学家。图卢兹历史最悠久、声誉最高的中学之一，以他的名字命名——皮埃尔·德·费马中学。

法国雕塑家泰奥菲勒·巴罗创作的大理石雕像《向皮埃尔·德·费马致敬》，至今仍陈列于图卢兹市政厅；市政厅的昂利-马丁厅也保存着费马的半身雕像。在他的故乡博蒙-德-洛马涅，矗立着费马纪念碑，那座他出生的 15 世纪府邸，也早已改建为费马纪念馆。法国上加龙省档案馆里，还保存着一纸特殊的档案——1660 年 3 月 4 日费马亲笔签署的遗嘱。

费马亲手所留遗嘱

这些纪念并非因为费马的主业，是因他在数学上的重要贡献，决定了在历史中的位置。

费马去世后，影响远未结束。1670 年，长子整理出版了丢番图《算术》的新版，把父亲留下的批注一并收入；同一时期，费马遗作集《数学论文集》也陆续问世——许多此前只存在于私人通信和传抄本中的成果，终于得以公开。数学界这才逐渐意识到：那个长期居住在法国南部、几乎从未离开司法岗位的人，竟然在解析几何、微积分、数论、概率论以及光学等多个领域，都留下了足以改变历史的工作。

后来的历史给予费马极高的评价：人们普遍认为，费马与勒内·笛卡尔共同代表了 17 世纪上半叶数学发展的最高水平。两人都推动了解析几何的发展，不同的是，笛卡尔善于系统建构理论，费马则更像一位直觉异常敏锐的发现者，总能率先看到别人尚未注意到的方向。

1996 年，金融史学家彼得·伯恩斯坦在《与天为敌》中这样评价费马：

费马是一位具备罕见洞察力的数学家。他独立发明了解析几何，推动了早期微积分的发展，探讨过地球的重量，并深耕于光的折射与光学研究。在与布莱兹·帕斯卡漫长而深入的书信往来中，他为概率论做出了卓越贡献。然而，费马最璀璨的皇冠明珠，依然在于数论。

这段评价几乎覆盖了费马一生最重要的贡献，也提醒人们：他从来不是某一个定理的作者，而是真正改变了多个学科走向的人。

20 世纪，法国数学家安德烈·韦伊重新研究费马的数论工作时，格外惊讶。他特别分析了费马处理亏格为 1 的曲线的方法——这正是现代椭圆曲线理论的核心对象，并评价道：

费马关于亏格为 1 的曲线的处理方法展现出惊人的连贯性，至今仍是此类曲线现代理论的基础。

他把费马的方法分成两部分：一是后来称作递升法的方法，二是费马独创并闻名后世的无穷递降法，并指出：

费马真正的创新，在于极大拓展了这些方法的适用范围，使他实际上达到了系统运用标准三次曲线上有理点群结构才能取得的效果。

简单来说，费马虽生活在现代代数几何诞生之前，却凭惊人的直觉，已经在使用后来才会出现的思想——许多现代数学家读费马时，都会觉得他似乎比当时时代快了几百年。当然，前面提到的费马数误判也说明：再伟大的数学家也并非永远正确，而这丝毫无损他的伟大，只是看见了一位真实的人会凭直觉猜想，会犯错，也会把尚未完成的问题交给未来。

费马最大的贡献或许并不是某一个定理，而是一种思考方式：

• 在解析几何中，他把图形化为方程；

• 在拟等法中，他抓住连续变化最细微的瞬间；

• 在概率论中，他把偶然变成可以计算的对象；

• 在光学中，他相信自然遵循最优原则；

• 在数论中，他坚信整数拥有尚未揭开的秩序。

这些工作看似彼此独立，却始终围绕着同一个信念：世界并非杂乱无章，只要找到正确的语言，那些藏得最深的规律，终究能够被数学表达出来。

来源：遇见数学

编辑：夜凌Ryelin

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