北京
上世纪30年代初，一群聪慧的大学生时常聚在布达佩斯讨论数学问题。这群年轻人里有一位性格古怪的天才——保罗·埃尔德什，日后他成了历史上发表论文最多的数学家。同席的还有数学家乔治·塞凯赖什和埃斯特·克莱因。一天，克莱因向朋友们抛出一道谜题：一个关于页面上散落点子的看似简单的问题。当时他们谁也没料到，这道题日后竟催生出现代数学中一个意义深远的分支，研究混沌中的秩序，还意外促成了一段延续一生的浪漫姻缘。 克莱因给朋友们的题目是这样的：你在纸上随意点下五个点，只要保证没有任何三个点落在同一条直线上。那么，这五个点里是否总能找出四个点，恰好构成一个没有凹陷、也没有边线交叉的四边形的四个顶点？用数学术语说，是否必然存在某个四点组，能形成一个凸四边形？ 如果只放四个点，那就比较容易看出，凸四边形并非必然出现——要看这四个点的具体位置。但五个点的情况就不同了。 你可以亲手试一试：随意摆五个点，确保任意三点不共线，然后去找那个“无凹痕”的四点图形。你甚至故意捣乱，试图让四个点无法围成凸四边形——但你每次都会失败。无论怎么摆，五个点里总有四个点能构成一个凸四边形。克莱因用一个漂亮的论证证明了这一点。 不妨设想这些点从纸面上鼓起来，变成一根根小木桩。你用一根橡皮筋把所有木桩围住，然后松手，让它绷紧贴在最外圈的木桩上。橡皮筋自然会勾勒出一条凸的边界，因为它不可能凭空凹进去。于是，最外层的点显然构成一个凸多边形；如果这个多边形已经包含了至少四个点，那目标就达成了。可如果它只包含了三个点——一个三角形——那么剩下的两个点一定有一个落在三角形内部。此时连接三角形三个顶点与该内部点，细心观察角度与位置关系，便能证明一定可以选出四个点，构成一个凸四边形。 这道看似简单的谜题，成了后来“幸福结局问题”的开端，也是组合几何中“拉姆齐理论”式思维的萌芽。而更有意思的是，就在这场数学讨论中，克莱因与塞凯赖什相恋并结为夫妻，相伴一生。因此这个几何问题后来被称为“幸福结局问题”——因为它给克莱因带来了数学上的洞察，也带来了人生的幸福。
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