北京
加法、减法谁更“膨胀”？半个多世纪以来，数学家一直在拼极限——同一个整数集合，把元素两两相加得到的和集，和两两相减得到的差集，扩张速度到底能差多远？7月31日，腾讯混元宣布，基于Hy3模型的科研智能体Hyra找到了一个关键构造，为这个悬而未决的开放问题画上句号。
先看问题本身。取一个至少包含两个元素的有限整数集合A，把里面任意两个数相加，收集所有不同的结果，得到“和集”A+A；类似地，把所有两两相减的不同结果归拢，得到“差集”A-A。因为重复结果只算一次，研究者自然要问：经过加法和减法，这个集合各会扩张多少？衡量方式也很直观——看两个集合的元素个数比。在和集这边，扩张倍数就是|A+A|/|A|；差集则是|A-A|/|A|。经典的不等式告诉我们，差集的扩张往往比和集更“野”，而一个复合指标C(A)=|A+A|/|A| ÷ |A-A|/|A|则被推至0到2之间。
真正让数学家着迷的是：这个2，到底是宽松的上界，还是能被无限逼近的最优指数？也就是问，能不能找到一系列集合，让C(A)无限逼近2。自1969年起，各路构造方法轮番登场：从1.0290起步，1973年提高到1.0598，2013年进一步达到1.1259。近一年来，多项AI辅助搜索把纪录推到1.1449——内部一项探索中，Codex（GPT-5.5）在人类引导下甚至摸到1.2851。但所有这些数值，离那个“2”依然隔着一条看似无法跨越的沟。
Hyra与Hy3的组合这次迈出了决定性的一步。它给出的不是某个单点数值，而是一族显式构造的有限整数集，满足一个简洁而有力的结论：无论你给定一个多接近2的目标，都能造出对应的集合，让C(A)超过它。这意味着2确实就是这个问题的上确界，最优值被彻底锁死。
过去，Georgiev、Gómez-Serrano、陶哲轩和Wagner等研究者曾依赖AlphaEvolve这类搜索算法优化候选集合。但这类方法靠显式枚举有限集合，规模一大，计算和内存就扛不住，也很难自然过渡到可证明的渐近构造。腾讯混元的路线则有所不同：先用Hyra在有限搜索中将最好结果从约1.14推向1.21，随即转向用自然语言提出数学构造和论证，并由LLM裁判为探索过程提供反馈。
大约24小时后，Hyra提出了论文的核心思路——利用十二进制数字结构搭配精巧的构造来约束差集，再借助循环群上的对称加法基与中国剩余定理，让和集以接近平方的速度扩张。官方独立检查并整理了完整证明，并同步给出了Lean 4形式化验证。论文预印本、显式构造和形式化证明现在已全部公开。
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