高阶网络上的动力学：综述

Dynamics on higher-order networks:a review

高阶网络上的动力学：综述

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网络科学已发展成为研究复杂系统不可或缺的平台。但最近的研究已经发现了经典网络（即连边连接节点对的网络）在全面描述群体交互方面的局限性。因此，高阶网络（即一条连边可以连接两个以上节点的网络）已成为网络科学的新前沿。由于群体交互在社会、生物和技术系统中很常见，高阶网络最近在许多研究领域带来了重要的新发现。在此，我们综述了这些工作，特别关注出现在高阶网络上的动力学的新颖方面。我们涵盖了迄今为止研究过的各种动力学过程，包括不同的同步现象、传染过程、合作的演化和共识形成。我们还概述了未来研究的开放挑战和充满希望的方向。

关键词：高阶网络，同步，合作，动力学

1. 引言

复杂网络理论[1,2]为我们研究交互系统的结构和动力学提供了一个框架。事实上，网络科学已被证明在阐明源于物理、生物以及技术和社会科学中许多不同背景的复杂系统动力学方面非常高效[3,4]。为了识别和改进网络组分之间关联的概念，已经取得了许多关键进展。举例来说，考虑性质不同的网络连边的必要性导致了多层网络[5]的提出和详细分析。此外，时变网络[6,7]也得到了研究，其中交互并非在整个时间过程中持续存在，而是随时间产生或消失。毫无疑问，所有这些发展都帮助我们更好地感知了许多场景，但我们特别假设了二元或成对交互作为系统单元之间连接的主干。然而，为了完整解释许多复杂系统，需要进一步改进网络化系统的结构建模[8,9]。例如，群体交互主要出现在神经生物学[10,11]、社会系统[9,12]和生态学[13,14]中产生的系统中。网络框架本质上局限于通过成对交互进行解释，这仅足以模拟二元关系，因此更大的群体交互需要为网络化系统提供更好的公式化表述[15–17]。有观点认为，高阶结构，即超网络和单纯复形，是表征由三个或更多组分的群体交互所编码的许多社会、生物和其他场景组织的优秀框架[8,18]。

过去，对暴露于高阶交互的网络的分析关注不多。然而，近期大量进展表明，引入高阶架构可以显著提高我们对其动力学的理解和预测能力。因此，与这些高阶结构相关的研究已走到网络动力学研究的前沿。在一些关于高阶网络的重要研究中，Benson等人[19]的研究尤为引人注目，该研究调查了从各种社交网络到生物学等不同学科的数据集，并展示了其中出现的高阶结构的各种特征。此外，高阶连边预测问题被提出，因为已发现它与传统的二元连边预测本质上不同[20]。在处理不同连边预测算法时，文献[21]也研究了受高阶结构存在的网络中的这一连边预测问题。文献[22]也讨论了从观测数据推断高阶交互的逆问题，而文献[23]则通过贝叶斯方法从传统的二元交互网络数据中推断高阶交互。针对寻找高阶网络组分之间最重要关系的问题，提出了一种解析处理方法（统计验证的超图）[24]。通过度量“边PageRank”[25]，考虑社交网络中由三个或更多人组成的群体所编码的高阶交互，对关系强度进行了量化。事实证明，该度量在检测关系强度方面比传统方法有效得多。提出了一种用于高阶网络的向量中心性度量，旨在识别系统中最具影响力的节点[26]。

迄今为止，已经开发了不同的高阶网络模型[27]。基于“带风味的网络几何”（NGF）[31,32]概念，提出了对增长单纯复形模型[28–30]的详细分析。这些模型基于非优先或优先连接规则，产生指数或无标度广义度分布。提出并分析了一种“单纯形活动驱动模型”[33]，该模型同时捕捉了节点间交互的高阶结构和时间特性。引入了一种带有均匀马尔可夫链蒙特卡洛采样器的“单纯形配置模型”[34,35]，甚至适用于任意度和大小分布[36]。为了为建模异质、多元网络数据提供形式体系，提出了随机超网络的配置模型[37]和标注超图模型[38]，作为有向图的推广。另一方面，高阶网络设置被用于将结构可控性的形式体系推广到时变网络[39]，其中检查了合成和真实世界数据集，以说明控制相关系统所需的最短时间。通过高阶交互框架说明了三人或更多人的群体研究合作，并使用来自不同研究学科的合作数据在多层形式体系下进一步编码[40]。此外，针对多个社交数据集，研究了时变社交网络中高阶结构的异质动力学[41]。

由于人们认为高阶簇特别重要，文献[42]引入了高阶聚类系数的概念，该系数量化了高阶团（cliques）的闭合概率。该度量被用于检验模型和真实网络的聚类行为。带有分类边标签的超网络中的聚类问题，可以通过基于组合目标函数的过程来解决[43]。该机制的效率在带有时间戳数据的边标签社区检测和聚类中得到了验证。从社交网络的真实数据中检测到了单纯形社区，同时表明霍奇拉普拉斯算子（Hodge Laplacian）的谱对社区进行了编码[44]。针对具有异质节点度和超链接大小分布的超网络聚类，引入了一种随机生成模型[45]；利用合成数据和各种真实数据表明，该模型具有高度的可扩展性和效率。Tudisco 和 Higham [46] 最近提出了他们对一族谱中心性度量的研究，旨在识别超网络中的重要节点和超链接，这扩展了现有的二元交互概念。然而，Veldt 等人 [47] 构建的利用超网络度量“同质性（homophily）”的形式体系揭示，由于超网络在组合上的不可能性，同质性群体配置是无法实现的。

关于动力学过程，针对多重超网络，提出了超网络鲁棒性框架和高阶渗流过程分析[48–50]。类似于基于二元连接构建的网络中表示交互结构矩阵的最大特征值，提出了用于超网络动力学过程的“扩张特征值（expansion eigenvalue）”概念，并通过平均场方法进行了近似[51]。相当有趣的是，在生态群落的随机交互情况下，高阶物种交互的存在确实可以改变多样性与稳定性之间的传统关系[52]。例如，尽管二元交互导致对物种添加的敏感性，但四元交互导致对物种移除的敏感性。此外，二元交互与高阶交互的结合对物种数量产生了上下界。 Moreover，有证据表明高阶交互稳定了生态群落中的动力学[14]，其中物种间的交互受到其他物种的影响。在开放和封闭的生态群落中，高阶交互对竞争模型的动力学稳定化具有显著影响。高阶交互下的随机模型进一步有助于物种的持续共存（另见[13]及其中参考文献）。

在下一节（§2）中，我们简要回顾高阶交互中相关术语的基本定义。然后我们开始讨论在高阶网络化系统中出现的同步现象（见§3）。接着，在§4中，我们继续探索在高阶结构上演化的各种社会动力学。具体而言，我们分别在§4.1、§4.2和§4.3中研究传染动力学、共识形成和演化博弈动力学过程。第5节讨论随机游走和扩散的动力学。最后，§6对未来潜在研究进行了总结和讨论。

2. 基本概念

超链接（Hyperlink）：超链接是高阶网络的基本主干，它不像传统成对交互网络那样仅连接两个节点，而是可以连接任意数量的节点。

在图 1 中，描绘了维度从 1 到 3 的单纯形（图 1a）和超链接（图 1b）的示例，这些示例阐明了构建高阶网络通常所基于的高阶构建模块。

在下一节中，我们将重点阐述主要发现以及高阶交互带来的动力学过程中的新颖效应，这对于理解许多自然现象可能具有重要意义。然而，我们在此说明，我们并没有严格区分超网络上的动力学和单纯复形上的动力学；相反，我们总体上呈现了高阶网络上各种动力学的一个概览。

3. 同步

同步现象[53–58]是指相互作用的动态系统调整其运动的某些特性以趋于一致动态的过程，而这种交互模式对同步的产生起着决定性作用。同步被认为是复杂动态网络理论中最重要的现象之一，在众多物理、生物和技术系统中具有关键应用。因此，在过去二十年中，人们一直热衷于探索耦合系统中同步的各个方面。然而，直到最近，相关研究才开始转向高阶交互。

具体而言，在相位振荡器系统中，三体交互在超过临界耦合强度时，可产生无限多个多稳态同步吸引子[59]。文献[60]在多层网络框架上对三向交互进行建模时，考虑了由大量相互作用振荡器构成的单纯复形。其中观察到连续的去同步急剧转变，这是由包含无限多个稳定部分同步状态的多稳态所导致的。研究基于对Ott–Antonsen假设（ansatz）的变体进行降维，给出了相应的解析处理方法。此外，文献[61]分析了不同阶数（即1-、2-和3-单纯形）的高阶交互对异质Kuramoto相位振荡器中同步现象的协同效应。研究表明，这些单纯形结构的相互作用不仅能引发向同步或去同步的急剧转变，甚至在存在排斥性成对交互的情况下，也能稳定强同步状态。作者还在英国电网和猕猴脑网络的研究中阐明了这些现象。Gambuzza等人[62]最近提出了一个通用框架，用于研究受任意阶高阶交互影响的网络中同步的稳定性。作者证明了完全同步态作为一种不变解的存在，并给出了同步解存在的必要条件。通过引入典型的混沌Rössler系统以及与神经动力学相关的模型系统，阐明了该形式体系的普适性。此外，研究还在Rössler振荡器构成的单纯复形模型中探讨了簇同步现象。

文献[63]对建立在单纯结构（主要为1-和2-单纯形）之上的D（≥2）维Kuramoto动力学进行了分析。文献[64]提出了理论分析与广泛的数值模拟，解释了由奇数维和偶数维导致不同同步模式背后的机理。有趣的是，文中描述了以下现象：在正耦合强度下，任意维度均会出现向去同步的不连续转变；在零耦合强度下，奇数维度会出现不连续转变；而在负耦合强度下，所有奇数维D（连同D=2）均会呈现部分同步态。此外，文献[65]指出，如果单元之间的底层连接超越了二元交互，那么即使系统中全由“反叛者（contrarians）”组成而没有任何“顺从者”，D维Kuramoto振荡器的全局耦合系综也能实现集体同步。特别需要注意的是，这一结果在仅包含成对交互的传统网络中是不可能出现的。高阶Kuramoto动力学的一种极具启发性的表述形式，不仅考虑了节点上的振荡器交互，还将连边、三角形等高维单纯形纳入考量，从而允许描述投影在低维与高维面上的拓扑动力学[66]。研究表明，除了常规的连续同步相变外，若引入低维与高维动力学相位投影之间的自适应耦合，网络化系统还会呈现出爆炸性同步（explosive transition to synchrony）现象。

那么，与文献 [66] 中这两个同维动力学之间的自适应耦合不同，在这里，不同维度的信号是通过节点和连边动力学的序参量（即公式 (3.2) 和 (3.5)）进行耦合的。具体而言，文中考虑了两个分别名为“节点-连边”（NL）和“节点-连边-三角形”（NLT）的模型。前者描述为

文献 [68] 报道了在均匀四维单纯复形的 1-单纯形（即连边）和 2-单纯形（即三角形）面上构建的交互相互作用下，Kuramoto 相位振荡器系综中的同步现象。在仅存在二元交互的情况下，增加正耦合强度会导致向完全同步的连续转变，而负耦合则导致部分同步。需要在此提及的是，在无标度网络中，负耦合并未观察到同步。此外，引入高阶（2-单纯形）耦合会阻碍由成对交互诱导的同步，并在负成对耦合下导致出现向去同步急剧转变的滞后回线。同样，在最近的一项工作 [69] 中，作者假设在 Kuramoto 相位振荡器网络中依赖于赫布学习机制的自适应高阶（三向）交互形式体系，并表明这种耦合可以诱导向去同步的一阶转变。所提出的情景通过详细的平均场分析得到了进一步解释。在通过在线性单纯 Kuramoto 模型中包含线性和非线性受挫项以及单纯形上的权重而形成的广义 Sakaguchi–Kuramoto 模型中，也可以观察到同步的部分丧失 [70]。除了该受挫模型在连边上的计算结果外，该文在处理序参量和霍奇分解等度量时，还提出了一个精确的数学框架。

可以通过多阶拉普拉斯算子的一般形式体系 [71]，分析受任意阶高阶交互影响且基于任意复杂底层超网络结构（具有任意耦合函数）的振荡器系统中同步的稳定性。研究了不同的网络设置，包括同时处理吸引和排斥交互的设置 [72]。在该框架下研究了从合成到实证的数据集。嵌入在团复形中的高阶交互可以在 Kuramoto 模型中优化集体同步，前提是相对于成对交互，高阶连接的强度得到均衡增加 [73]。在使用主稳定性函数 (MSF) 框架并分析适当的组合拉普拉斯算子时，高阶网络中非线性混沌系统的同步动力学和图灵斑图的形成得到了研究 [74]。这些过程在具有超链接异质分布的一般超网络上进行了检验，且不局限于耦合函数的任何特定形式。通过同步分块对角化 (SBD) 方法，在包括多层网络、超网络和时变网络在内的广义网络中实现了从簇同步到嵌合体状态的不同同步模式 [75]。文献 [76] 还将 MSF 形式体系推广到超网络，以处理同步现象的线性稳定性，其中还检验了特殊类别的拉普拉斯型交互。被称为耦合映射格子的动力系统被扩展到高阶交互的情景，即耦合超图映射的概念 [77]。通过分析不同混沌离散动力系统的超网络拉普拉斯算子，在此类系统中研究了簇同步过程。最近，在文献 [78] 中，作者在导出同步出现的必要条件时，考虑了交互的 Hindmarsh–Rose 神经元模型中的三体交互以及二元耦合，并采用了线性稳定性分析。

4. 社会动力学

多样的社会过程一直是复杂性科学研究的主要领域。从观点、文化和语言动力学到群体行为、等级形成、人类动力学、合作演化和社会传播，广泛的情景列表都受到嵌入在社会网络中的个体之间点对点交互的显著影响。此类传染效应引导研究者从数学角度探索动力学。为此，网络科学已崭露头角，发挥着最为重要的作用。在过去十年中，我们从不同角度见证了网络上社会动力学研究的黄金时代。研究界长期以来一直关注导致多样涌现行为的个体间交互。然而，正如 Castellano 等人 [79] 和 Malmgren 等人 [80] 的综述所指出的，真实社会传染现象的许多重要方面需要比以往更复杂的方法来捕捉，这既涉及网络上的动力学，也涉及网络的动力学。在下文中，我们将梳理暴露于高阶交互下的社会动力学的不同研究类型。

4.1. 传染过程

为了考虑不同规模的群体交互，Iacopini 等人 [81] 构建了一个高阶单纯形社会传染模型。该模型同时包含了成对接触和高阶接触，从而结合了简单传染过程与复杂传染过程的本质。单纯形结构导致向持续流行状态（endemic state）的不连续转变，并出现双稳态（bistability），即流行状态与健康状态共存。前述情景已通过解析方法得到证明，并在随机 Erdős–Rényi 模型和实证高阶网络上进行了数值演示。随后，该模型被推广到时变网络框架 [82]，在该框架中，二元（成对）和高阶交互可以随时间形成和消失。通过微观马尔可夫链方法表明，相同数量的感染源可能产生也可能不产生持续流行状态，这实际上取决于底层网络的时间特性。该文章随后还研究了度异质性对时变高阶网络上单纯形传染的影响。在 de Arruda 等人 [83] 的研究中，社会传染动力学在超图上得到了进一步探讨。作者特别将临界规模动力学（critical-mass dynamics）融入了 Iacopini 等人 [81] 先前构建的模型中。文中展示了分析与数值结果，以表明连续转变和不连续转变的出现，以及双稳态区域和滞后现象。

除了证明具有可调聚类特性的标准网络生成算法能够产生多样的高阶结构（从而使得具有相同聚类和度分布特征的网络上的动力学可能不同）之外，Ritchie 等人 [84] 还提出了一种用于度量 4 阶结构的新指标。作者强调，在研究易感-感染-易感 (SIS) 和易感-感染-康复 (SIR) 动力学模型时，高阶结构差异（出现在具有相同聚类特性的网络中）会对疾病的流行率和流行阈值产生重要影响。

Landry 和 Restrepo [85] 通过基于超度的平均场分析，研究了具有高阶交互的网络上超图的 SIS 模型动力学。度相关与度不相关两种情况均被分析，结果表明，在关于度相关的某些假设下，二元交互的异质度分布能够抑制突发的一阶转变。除了推导双稳态和滞后现象的条件外，他们的文章还进一步讨论了与高阶治愈和“嬉皮士效应”相关的问题。

近年来，一种高阶模型被提出，以解决流行病建模中大多被忽视的若干问题。该研究 [86] 分析了在办公室和家庭等环境中产生的异质性，以及个体参与这些环境的时间异质性。受最小感染剂量影响的这种异质性暴露，在感染风险与感染接触者之间产生了一种普适的非线性关系，挑战了目前普遍认为这两者呈线性关系的假设。因此，系统会出现向疫情爆发的不连续转变，并伴随一个爆发状态与健康状态共存的双稳态区域的产生。

交互的单纯复形环境同样可能导致向地方病状态（endemic state）的不连续转变[87]。具体而言，此处观察到传染过程的两个不同方面：初始阶段由成对交互主导，而后期阶段则由高阶交互控制。研究在均匀混合极限下提供了理论分析以及严格的计算，以解释相关的双稳态区域。迄今为止，我们都已清楚，在基于成对交互构建的标准网络模型中，枢纽节点（hubs）在传染过程中扮演着至关重要的角色。然而，在高阶网络中，不仅个体，群体同样发挥着决定性作用。因此，为了探索群体集合对超图传染动力学的影响，并在考虑超度（hyperdegree）和超链接基数异质性的前提下，St-Onge 等人 [88] 构建了一个基于近似主方程的框架，用于分析随机高阶网络上的传染动力学。假设感染率是群体中感染个体数量的非线性函数，研究展示了具有影响力的群体如何主导传染的初始动力学过程以及最终的稳态。文献 [89] 提供了一种数学形式体系，基于超网络的加权图投影，来分析任意超网络上一般动力学过程的线性稳定性。具体而言，该研究探讨了社会传染与扩散动力学过程。此外，Li 等人 [90] 的研究调查了由 1-单纯形和 2-单纯形构成的高阶网络系统上两种相互竞争的 SIS 流行病动力学。严格的计算与平均场方程分析揭示了一系列由高阶交互引发的动力学特征。研究观察到，在较弱的三元感染强度下，流行病呈现绝对主导地位；而在较高的三元感染强度下，哪种流行病占据主导则取决于初始感染源，呈现出交替主导的现象。

4.2. 共识形成

对高阶网络化系统（主要是三体系统）上的共识动力学进行了分析和数值研究[91]，其中揭示，只有当交互函数为非线性时，多体交互的动力学效应才会显现。由于在此引入了非线性函数，涌现的动力学会导致状态偏离系统平均值，具体取决于底层网络和初始构型。Sahasrabuddhe 等人 [92] 进一步研究了任意阶高阶网络中的共识动力学，在建模交互时考虑了同质性（homophily）和同伴压力等多种社会过程。除了块超图（block hypergraphs）等超图模型外，分析也在真实世界网络上进行。在文献[93]中，作者构建了一个超图有界置信模型（bounded confidence model），并展示了一种名为“意见跳跃”（opinion jumping）的情景的出现，其中个体的意见可以从一个意见簇跳跃到另一个意见簇，这在二元连接中是观察不到的。此外，观察到回音室（echo chambers）在具有社区结构的超图上涌现。研究发现，大超链接在共识形成中比小超链接发挥更决定性的作用。除了计算演示外，这些情景还得到了数学处理。当单纯形之间低阶和高阶交互的权重不同时，可以通过广义霍奇拉普拉斯算子（generalized Hodge Laplacians）的概念来研究高阶网络化系统上的共识动力学[94]。利用霍奇分解，可以分析收敛性，随后借助代数拓扑技术研究单纯复形同调的作用。事实上，可以平衡低阶和高阶交互以优化共识动力学。

在上文中，我们已经讨论了时间高阶交互模式如何调节社会传染的离散动力学[82]。现在让我们详细阐述网络连接的时序性如何影响在高阶网络中发展的共识过程的连续动力学[95]。

节点动力学由以下方程组描述：

确切地说，在先行者 A（先行者 B）的情况下，首先在一定时间内所有 A 多数（B 多数）子群进行交互，然后是所有 B 多数（A 多数）子群，最后整个超网络进行交互。对于聚合情景，超网络保持静态，所有交互同时发生。

在 Horstmeyer 和 Kuehn [96] 中，作者提出并研究了一种高阶交互下的自适应选民模型，特别是在单纯复形上，该模型纳入了同伴压力这一重要社会因素的影响。在主要关注 2-单纯形框架的同时，采用了连接到意见一致节点的重连规则。同伴压力加速了向单一观点和双观点状态的转变。此外，这种高阶模型可以表现出多个时间尺度，其中 2-单纯形在活跃链接耗尽之前消失。在最近的一项工作 [97] 中，提出并分析了一个关于几种共识和同步过程的单纯复形上的广义动力学模型。在此检测到了许多发生在二元交互中的共识动力学行为，并且提出了由于该模型导致的稳态中多稳态的出现。

4.3. 演化博弈动力学

合作 [98–104] 是个体在群体中共同运作以获取共同利益的过程；它在包括微生物和人类社会在内的多种现实系统中均有观察。此前已有大量重要尝试，旨在探索受群体交互影响的种群中的演化博弈动力学（见 [103] 及其参考文献）。在演化博弈论中，高阶交互与成对交互在收益的推导上有所不同。如果一个人在高阶交互中的收益在某种程度上等同于与每个单独对手交互的收益之和，那么高阶交互与成对交互本质上是相同的。否则，如果个体在此邻域中的收益相对于所有成对交互收益之和是非线性的，那么高阶交互将导致不同的动力学过程。捕捉高阶交互的一种方法是采用一般的多人博弈，其中一名玩家的收益是他自身及所有邻居策略的函数（[105–111] 提供了关于多人博弈的出色且严格的解析结果）。当收益函数相对于合作邻居的数量呈非线性时，它就呈现出高阶效应。特别是，Perc 等人 [103] 的综述阐明了较大的群体规模如何有助于在基于二元交互形成的网络中维持合作，而二元交互往往不足以解释群体交互的所有本质。

鉴于此，Burgio 等人 [112] 在各种超网络上开展了研究，旨在更清晰地理解网络群体中合作的发展，他们在考察公共物品博弈（PGG）中合作的演化时发现，群体交互确实能够增强合作。生成超网络所采用的方法保留了二元投影，作者特别研究了由 Holme–Kim 模型和 Dorogovtsev–Mendes 模型形成的超网络。除了针对均匀交互的平均场近似外，还针对异质结构提出了入侵分析，解释了增加连接阶数如何导致更高的互惠性。所发展的互惠性具体归因于所采用的机制，即用二阶三角形替换部分一阶 3-团（3-cliques）。该文还讨论了合作与非合作状态如何根据交互结构的模式共存。

PGG 的演化动力学也在基于高阶交互构建的社会网络中得到了研究 [113]。研究表明，在没有超度-超度相关性的均匀超网络上，该博弈与充分混合状态下的复制子动力学一致。该文进一步引入了阶数和超度方面的异质性，并展示了这些特征如何影响演化博弈动力学。由于该高阶网络框架能够适当地描述群体结构，该研究实际上能够描绘出依赖于群体规模的协同因子如何在从背叛到合作的转变中导致临界标度现象。观察到分层超网络会阻碍结构化种群中的合作。该网络设置也被进一步应用于合作数据集。

为了提出自适应单纯形雪堆博弈 [114]，研究考虑了高阶群体（三人与两人）交互以及自适应机制。假设网络拓扑和系统状态存在自适应；这通过数学和数值处理探讨发现，即使在高阶结构框架下，平衡点的稳定性也保持不变。在超网络上提出并分析了一种群体选择困境的演化模型，其中在不同规模的群体中做出安全选项与风险选项之间的决策；该模型能够解释观点如何跟随模仿过程进行扩散 [115]。此外，最近提出了一项关于受高阶结构影响的种群中信号博弈不同形式战略交互的系统研究，即发送者-接收者博弈中诚实度的动力学演化 [116]。与仅存在二元交互的情况不同，即使在说谎的诱惑下，也观察到诚实的存在。此外，即使谎言有利于接收者而以发送者为代价，道德策略依然存在。基于充分混合环境的假设，在超环以及真实世界超网络中的种群内研究了该演化动力学。

最近采用了一种不同的方法来建模个体间高阶交互的演化博弈动力学，其中除了焦点玩家和一名邻居的策略外，来自间接交互的其他邻居的策略也会影响博弈动力学 [117]。研究了在 1-单纯形和 2-单纯形上进行的不同纳什均衡的多种社会困境，表明这种单纯形框架导致非主导策略的出现及其与主导策略的共存。此外，建立了关于高阶结构从主导背叛状态向合作状态的转变。

双策略（合作 (C) 和背叛 (D)）的双人博弈配置可由以下收益矩阵描述：

5. 随机游走与扩散

为了探索超越成对交互的网络上随机游走的动力学，文献[118]通过马尔可夫链定义了单纯复形上的一类随机游走。研究进一步建立了该链的平稳分布与霍奇拉普拉斯算子（Hodge Laplacian）调和函数之间的关系。在此背景下，详细讨论了从高阶同调群（homology groups）、单纯形取向的作用到高阶单纯形邻居的概念。同样，在 Parzanchevski 和 Rosenthal [119] 的研究中，作者也探讨了单纯复形上的随机游走概念。文献[120]提出了以异质高阶网络（超网络）上一族随机游走形式表现的扩散过程，并给出了关于该游走平稳分布的一般命题的解析处理。文中还提供了该分布与相关投影网络上传统随机游走对应分布的比较分析。为了研究所提出的随机游走动力学，研究涵盖了模型超网络和真实世界超网络。具体而言，解释了从节点排名和中心性度量到分类任务等方面的应用。

Schaub 等人 [121] 研究了单纯复形上的扩散过程，他们提出了一种归一化的霍奇拉普拉斯矩阵，并论证了它如何与单纯复形（具体而言是在连边上）的随机游走动力学相关联。该方法进一步被应用于开发连边流和轨迹数据的嵌入表示，以及推广适用于连边的个性化 PageRank。

Torres 和 Bianconi [124] 研究了与被称为“带风味的网络几何”（network geometry with flavour，如前所述）的单纯复形模型相关的高阶拉普拉斯算子的谱性质。研究表明，这些高阶的上拉普拉斯算子和下拉普拉斯算子可以具有有限的谱维数，且该维数取决于拉普拉斯算子的阶数。此外，这种高阶结构影响了其上发生的扩散动力学，其中谱维数对相关扩散过程的返回时间概率有着显著影响。此外，基于对两类模型族（即 NGF 和“短程三元闭包”（short-range triadic closure, STC））的研究，文献 [125] 揭示了网络几何与扩散动力学之间的关系。迄今为止，正如上文所讨论的，针对高阶交互的不同随机游走模型已经提出了许多推广形式。为了探索哪种模型和网络表示的组合最适合解决与多样超网络数据相关的不同研究问题，Eriksson 等人 [126] 推导出了超网络流的单部、二部和多层网络表示，这些表示在针对同一随机游走模型时具有相同的节点访问率。基于信息论和流的社区发现算法 Infomap 被用来研究不同的超网络模型和网络表示如何改变所检测社区的数量、规模及重叠情况。

6. 总结与未来展望

网络化系统中交互的变体本质上调控着其上发生的动力学过程。已有多种方式证明，从同步到传播动力学，复杂的交互结构在很大程度上决定了相关复杂系统的命运。然而，尽管底层过程在高阶结构上能得到更好的表征，现有文献主要处理的仍是成对网络化系统。直到最近，由于高阶网络在描述从社会过程到神经科学等众多复杂实例方面的潜在效力，其结构与动力学性质才成为一个快速发展的研究领域。在本综述文章中，我们梳理了近期研究超越二元交互的网络上各种动力学过程的努力。我们的考察阐明了，在考虑高阶连接时，对不同现象的影响可能有多么多样。

第 2 节简要讨论了高阶网络的基本概念。在第 3 节中，我们首先解释了同步现象如何受到系统中高阶连接存在的影响。第 4.1、4.2 和 4.3 节分别考察了从传染动力学、共识形成到合作演化的社会过程。第 5 节研究了高阶交互对随机游走和扩散动力学的影响。

尽管在分析高阶交互对动力学过程的作用方面已取得许多重要进展，我们仍希望提出一些值得关注的进一步研究方向。例如，时序高阶网络的理解仍有足够的研究空间。从其结构复杂性到时变高阶结构上不同动力学的分析，都高度值得关注。同样的情况也适用于相互依赖的网络框架，特别是结合高阶交互的多层/多重结构，对其考察应被视为一个有前景的研究方向。尽管在超越成对连接的网络同步方面已有重要尝试，但关于簇同步的详细分析仍然缺失。嵌合体状态（chimera state）这一特定方面迄今为止大多未被触及，而这些模式与多种神经元发展过程高度相似 [127]。因此，单纯形网络中嵌合体状态的研究将是未来研究的绝佳候选课题。此外，具有高阶交互的群集振子（swarmalator）系统集体行为的研究也可能非常有趣。而且，由于高阶系统中自适应性 [128] 带来的复杂性增加所产生的动力学情景，需要更加细致的研究。

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