北京
“阿米巴每三分钟就分裂一次，种群应该增长，灭绝不可能是必然的。”这道题最常见的第一个回答，看似合乎直觉，却完全错误。在量化金融面试中，从高盛、摩根士丹利到城堡投资、双西格玛，这道关于单个阿米巴最终灭绝概率的题目反复出现，考的就是候选人是否跳脱直觉，认得出分支过程这个框架。
题目设定很简洁：初始仅一只阿米巴。每一分钟，它独立且等可能地做三件事之一——以各三分之一概率死亡并留下零后代、存活不变且不产生新细胞，或分裂成恰好两只阿米巴。两只子代阿米巴在下一分钟又各自面对同样的三种可能，完全独立，彼此互不干扰，这样无穷进行下去。问的是：整个种群最终在某时刻走向灭绝——即数量变为零——的概率是多少？这里“最终灭绝”指的不是固定时间窗口内灭绝，而是无限时间跨度下，种群清零的概率为正的可能性，以及这个概率的具体数值。而答案如我们将看到的，等于1。这意味着灭绝不仅是可能的，而是必然发生，永远存活的概率为零。
第二个常见错误比直觉派的答案更精致，也更隐蔽：“既然每次分裂的期望后代数正好是1，种群规模的期望恒定，那么种群是一个鞅，由鞅收敛定理，它会收敛到某个正极限。”这个推理错得微妙。一个非负鞅确实几乎必然收敛到一个非负极限，但收敛到零并不违反定理，而且从分支过程的递归结构看，最终灭绝正是那个必然的收敛结果。
正确解法只需要全概率公式、一个二次方程，以及对根的审慎选择。设灭绝概率为p，从第一分钟的三种情况入手：如果第一分钟阿米巴直接死亡（概率1/3），灭绝事件立即发生，条件概率为1；如果幸存但未分裂（概率1/3），状态不变，后续灭绝概率还是p；如果分裂成两只（概率1/3），两只后代各自独立灭绝的概率都是p，因此两只都灭绝的条件概率为p²。由此得到方程 p = 1/3 × 1 + 1/3 × p + 1/3 × p²。整理后 p² - 2p + 1 = 0，即(p - 1)(p - 1/2) = 0，有两个根 p=1 和 p=1/2。关键的一步是判断哪个根正确。
如果灭绝不是必然的，p就应取1/2，这意味着有1/2概率种群永不灭绝。但种群动态类似一个漂移为零的随机游走：即使种群规模一度很大，比如有1000只阿米巴，下一分钟部分死亡、部分留存、部分分裂，期望净增长为零。漂移为零的随机游走从任何正数出发，最终以概率1击中零，而“击中零”就等于灭绝。因此p=1才是分支过程在这个设定下的真实解，p=1/2对应的是一种虚构的、永远不会收敛到零的可能性，与零漂移随机游走的性质矛盾。
这正是这道面试题的魅力所在：它层层剥开直觉、数学工具误用，最终要求你意识到，即便个体平均繁衍能力刚好维持规模不变，随机波动的累积依然会把整个种群推入灭绝。确定性灭绝的结果在分支过程框架下是严格成立的，不需要复杂证明，只需要承认递归结构和正确选择方程根。
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