自然 · 通讯：网络不只是“小世界”，社群结构让最短路径变得“选择困难”

导语

复杂拓扑结构的网络可用于描述大量自然系统与社会系统。近期关于路径多重性的研究表明，真实世界网络中节点对之间的最短路径数量存在显著异质性，但其生成机制仍不清楚。该研究指出，社群结构是影响路径多重性的关键因素。为此，研究引入相对路径多重性指标，并发现社群结构与路径多重性的相关性显著强于其他网络指标。通过边重连实验，研究验证了二者之间的紧密联系，并将其机制解释为界面驱动效应，即社群边界结构会显著增加等长最短路径数量。在此基础上，研究提出基于部落结构的网络模型，能够较好复现真实网络中的路径多重性特征，并为网络设计与优化提供参考。

关键词：复杂网络；路径多重性；最短路径；社群结构；纠结世界（hesitant-world）；相对路径多重性指数（relative path multiplicity index, RPMI）；目标导向边重连（target-oriented edge rewiring）；部落无标度模型

彭晨丨作者

论文题目：Community structure unveils the path multiplicity in complex networks 发表时间：2026年3月6日 论文地址：https://www.nature.com/articles/s41467-026-70369-4 论文期刊：Nature Communications

从“小世界”到“纠结世界”：

网络中的路径不止一条

复杂网络是理解自然、社会与技术系统的重要语言。无论是社交关系、生物系统、交通网络，还是通信网络，它们都可以被抽象为由节点和边组成的结构。在过去几十年里，网络科学最经典的发现之一是“小世界效应”：即便网络规模很大，任意两个节点之间通常也只需要很少几步即可相互到达。另一个重要概念是无标度结构，它强调少数高度连接的节点在网络中扮演枢纽角色。

然而，这篇文章提出了一个容易被忽视的问题：当两个节点之间存在最短连接时，这条“最短路”是否只有一条？传统研究往往关注最短路径有多长，也就是从一个节点到另一个节点需要经过多少步；或者关注哪些节点、哪些边在最短路径中更为频繁地出现，从而得到介数中心性（betweenness centrality）等指标。但研究者指出，除了“路径长度”之外，另一个同样重要的维度是“路径数量”：在两个节点之间，是否存在多条同样短的路径？这就是路径多重性的核心含义。

更具体地说，路径多重性指的是一对节点之间等长最短路径的数量。近期研究已经发现，在许多真实世界网络中，路径多重性呈现出强烈异质性：大多数节点对之间可能只有少数最短路径，但少数节点对之间却可能拥有大量等长最短路径。文章举例指出，在一个只有242个节点的猕猴脑网络中，某些节点对之间的最短路径数量最高可达到649条，平均值也达到11.07。这意味着，我们生活的网络世界不只是“小世界”，还可能是一个“纠结世界”（hesitant-world）：到达目标并不难，难的是有太多同样短的选择。

这种“纠结”并不是一个比喻，而是具有功能结果的结构特征。多条等长最短路径可能增强网络的鲁棒性，因为当一条路径失效时，信息、资源或交通仍可沿其他路径传播。但与此同时，它也可能造成流量集中在某些桥接节点或公共通道上，形成拥堵或脆弱点。在传播过程中，多条并行路径可能加快信息或疾病扩散；在导航和决策过程中，过多“最优选择”也可能带来类似心理学中“选择过载”（choice overload）的效应，使代理、算法或个体在路径选择上变得更加复杂。

路径多重性：

如何衡量网络中的“选择数量”

为了系统研究这一问题，研究者首先定义了几个关键指标。对于一个简单无向图，任意两个节点之间的最短路径长度可以被记为两者之间的最短距离；而连接这两个节点的最短路径数量，则被定义为路径多重性数量（path multiplicity amount, PMA）。如果把所有节点对之间的PMA组织成矩阵，就得到路径多重性矩阵（path multiplicity matrix, PMM）。

进一步地，研究者用路径多重性指数（path multiplicity index, PMI）衡量整个网络的平均路径多重性。直观理解，PMI越高，说明网络中任意两点之间平均存在更多条同样短的路径，网络也就越具有“纠结世界”的特征。

图 1. 影响路径多重性的潜在因素。a. 散点图展示了140个真实世界网络中，路径多重性与经典网络指标之间的相关关系。b. 示例简单网络最初是一个链式网络，初始 PMI 值为1。随着边密度增加，网络逐渐变为完全连接网络，相应的 PMI 值最终又回到1。c. 图中展示了三类经典网络模型中，PMI 随边密度 p 变化的情况。

不过，PMI本身会受到网络规模和边密度影响。一个网络节点更多、边更多，可能天然就会产生更多最短路径。因此，如果直接比较不同真实网络的PMI，很容易把规模和密度的影响误认为网络内部结构的影响。为了解决这个问题，研究者提出了相对路径多重性指数（relative path multiplicity index, RPMI）。其核心思想是：将真实网络的PMI与一个具有相同节点规模和边密度的Erdős–Rényi随机网络（ER random network）的PMI相比。这样，RPMI就像一个“校准后的指标”，用于衡量真实网络相对于随机基线多出了多少路径多重性。

这个设计把问题从“哪个网络最短路径更多”推进到“在排除规模和密度之后，什么结构因素让某些网络拥有异常多的最短路径”。也正是在这个基础上，研究者开始寻找路径多重性的结构来源。

140个真实网络：

社群数量最能解释路径多重性

研究者分析了140个真实世界网络，并将RPMI与多个经典网络指标进行比较。这些指标包括社群数量（community number）、平均度（average degree）、平均最短路径长度（average shortest path length）、全局效率（global efficiency）、网络直径（diameter）、同配性系数（assortativity coefficient）、聚类系数（clustering coefficient）和k-shell指数（k-shell index）。

为了避免单一相关指标带来的偏差，研究者采用了三种互补的相关分析方法：皮尔逊相关用于评估线性关系，斯皮尔曼相关用于评估秩次上的单调关系，象限计数比（quadrant count ratio, QCR）则通过中位数划分来观察变量是否在高—高或低—低象限中共同出现。这样的组合能够从线性、单调和粗粒度一致性三个层面检验关系是否稳健。

图 2. 140个真实世界网络中，相对路径多重性与经典网络指标之间的相关关系。

结果非常明确：在所有指标中，社群数量与RPMI的关系最突出。研究报告，社群数量与RPMI的斯皮尔曼相关达到0.8497，QCR达到0.9857，说明大多数网络都呈现出一种高度一致的趋势：社群数量多的网络，往往具有更高的相对路径多重性。相比之下，其他指标虽然也有一定关系，例如平均最短路径长度、网络直径和全局效率与RPMI存在较高的秩相关，但它们在QCR和分布重叠上都不如社群数量稳定。

这一结果可以从图1和图2中直观看出。图1显示，原始PMI与多个经典网络指标的散点关系较为分散，没有明显趋势；而图2在使用RPMI之后，社群数量与路径多重性之间出现了非常清晰的对应关系。研究者还通过小提琴图展示不同RPMI水平下各网络指标的分布，如果两个分布重叠越少，说明该指标越能区分高RPMI与低RPMI网络。结果显示，社群数量对应的分布重叠最窄，进一步支持社群结构在路径多重性形成中的关键作用。

为了让这一结论更具可视化说服力，研究者展示了16个真实网络。其中8个具有较高RPMI，另外8个具有较低RPMI。高RPMI网络往往呈现出明显的模块化结构，拥有较多社群；低RPMI网络则社群数量较少，结构更紧密或更少分裂。这说明，路径多重性并不简单由网络大小决定，而与网络如何被组织成多个社群密切相关。

图 3. 基于 RPMI 值的真实网络可视化。a. 八个具有较高 RPMI 值的真实世界网络。b. 八个具有较低 RPMI 值的真实世界网络。

值得注意的是，社群检测算法本身可能影响社群数量，因此研究者进一步测试了多种经典社群检测算法，包括Leading Eigenvector、Walktrap、Leiden、Label Propagation、Infomap和Louvain方法。尽管不同算法得到的社群数量并不完全相同，但RPMI与社群数量之间的斯皮尔曼相关始终高于0.8，QCR也都高于0.9。也就是说，这一结论并不依赖某一种特定社群检测算法，而具有较强稳健性。

目标导向边重连：

社群结构不是偶然相关，而可能具有因果作用

仅有相关性还不足以说明社群结构真的塑造了路径多重性。因此，研究者进一步设计了目标导向边重连实验（target-oriented edge rewiring）。这一方法的基本思想是，在保持网络节点数和边密度不变的前提下，有意识地改变网络的边连接方式，并观察目标指标与相关指标如何共同变化。这样可以更接近“因果检验”：如果我们主动增加路径多重性，社群数量是否也会上升？反过来，如果我们主动增加社群数量，路径多重性是否也会上升？

研究者在三类经典模型网络上进行了实验：ER随机网络、Newman-Watts小世界网络（NW small-world network）和Barabási-Albert无标度网络（BA scale-free network），每类网络均设定为1000个节点。首先，研究者通过贪婪原则重连边，使网络的PMI逐步增加，同时观察社群数量变化。结果显示，当PMI上升时，社群数量也整体呈上升趋势。例如在ER随机网络中，PMI从3.90增加到21.65，而检测到的社群数量从4个增加到14个。

图4. 三类模型网络中的目标导向边重连。a. 通过目标导向边重连逐步优化 PMI 时，社群数量 n₍c₎ 的变化。随着 PMI 增加，被检测到的社群数量 n₍c₎ 总体上也趋于增加。b. 通过目标导向边重连逐步优化社群数量 n₍c₎ 时，PMI 值的变化。在这一情境下，边重连的目标是增加 n₍c₎，结果表现出 PMI 值上升的趋势。

随后，研究者反向操作：以增加社群数量为目标进行边重连，再观察PMI变化。结果同样显示，随着社群数量增加，PMI也显著上升。图4展示了这一过程：无论是在ER、NW还是BA模型网络中，只要通过边重连增强社群结构，路径多重性就随之增加；反过来，优化路径多重性也会推动社群数量增加。

界面驱动效应：

为什么社群会放大最短路径数量

那么，为什么社群结构会制造出大量等长最短路径？研究者提出，这一现象可以由界面驱动效应（interface-driven effect）加以解释。

在一个具有多个社群的网络中，社群内部通常连接较密，而社群之间依赖少量跨社群边连接。这些跨社群边及其端点节点构成了社群之间的连接“界面”，即不同模块之间进行路径衔接的关键通道。当一个节点要到达另一个社群中的节点时，路径往往需要穿过这些接口。如果网络中存在多个功能相近、长度相等的边界节点和桥接边，那么从源节点到目标节点的最短路径就可能通过不同组合实现。

这种组合效应会迅速放大最短路径数量。简单说，如果从社群A内部到边界有几种同样短的走法，从社群A到社群B有几条同样短的跨社群连接，而从社群B边界到目标节点又有几种同样短的走法，那么这些局部选择会彼此相乘，最终产生大量全局等长最短路径。因此，社群结构并不是简单地把网络分成若干块，而是在模块边界处创造了大量可以组合的最短路径方案。

这一机制也解释了为什么路径多重性并不等同于聚类系数或平均度。一个网络可以有很高的局部聚类，但如果缺少多个社群之间的边界组合，它未必会产生大量跨模块等长最短路径。相反，一个由多个社群构成、并通过有限但多样的界面连接在一起的网络，更容易表现出“纠结世界”特征。

部落无标度模型：

让模型网络也拥有真实网络的“纠结”

在识别出社群结构的重要性之后，研究者进一步提出了一种新的生成模型：部落无标度模型（Tribal Scale-Free model, TSF）。这个模型的设计目标是再现真实网络中的层级性、模块性和路径多重性。

TSF模型的生成过程可以概括为四个阶段。首先，给定一个总网络规模和社群数量，将所有节点随机分配到不同“部落”（tribes）中。其次，在每个社群内部生成一个无标度子网络，使每个社群内部具有类似真实网络的度分布结构。再次，通过受控数量的跨社群边将不同社群连接起来，保证整个网络形成一个连通整体。最后，将社群内部边和社群之间边合并，得到完整的TSF网络。

这个模型的关键在于，它不是把网络看成均匀随机连接的整体，而是先生成多个内部具有无标度特征的社群，再通过有限的跨社群连接将它们组织起来。这正好对应真实网络中的“模块内部复杂、模块之间有限连接”的结构特征。

研究者将TSF模型与三类经典模型进行比较：ER随机网络、NW小世界网络和BA无标度网络。比较对象包括路径多重性分布、最大PMA值和整体PMI值。结果显示，TSF模型明显优于其他模型，能够更好再现真实网络中的“纠结世界”特征。

图5. 验证所提出的 TSF 模型的有效性。a. 将真实网络的 PMA 分布、最大 PMA 值和 PMI 值，与四类典型模型网络的合成结果进行比较。b. 展示代表性真实世界网络的 Φ(G) 与相应模型网络 G₍TSF₎、G₍ER₎、G₍NW₎ 和 G₍BA₎ 的 Φ(G) 之间的散点图。

上图给出了典型案例。例如在Bio-SC-LC网络中，真实网络的PMI为21.50，最大PMA值为7189；对应的TSF模型PMI为21.46，最大PMA值为7201，几乎高度接近真实网络。相比之下，ER、NW和BA模型的PMI分别只有4.99、6.79和8.42，最大PMA值也明显偏低。这说明，经典随机网络、小世界网络和无标度网络虽然能够捕捉某些网络性质，但难以充分解释真实网络中的路径多重性；而引入社群组织的TSF模型更接近真实网络结构。

结语：

网络中的“选择困难”，来自结构本身

这篇文章将我们对复杂网络的理解从“多远能到达”推进到“有多少种同样短的方式可以到达”。它指出，真实世界网络不仅具有小世界效应，也具有“纠结世界”特征：在许多情况下，最短路径不是唯一的，而是大量并存的。

更重要的是，研究者发现这种现象并非偶然，也不是简单由网络规模、密度或平均度决定。真正关键的是社群结构。一个网络被划分为越多社群，并通过边界节点和跨社群边相互连接，就越可能产生大量组合式的等长最短路径。通过RPMI、相关分析、目标导向边重连和TSF生成模型，研究从统计观察、模拟验证到模型再现，逐步建立了社群结构与路径多重性之间的逻辑链条。

如果说“小世界”告诉我们复杂网络中节点之间距离很近，那么“纠结世界”则提醒我们：距离近并不意味着路径简单。真实网络的复杂性不仅体现在它能把远处连接起来，也体现在它为同一个目标提供了多少条看似同样合理的路线。路径多重性让我们看到，网络结构不仅决定可达性，也决定选择、冗余、拥堵、传播与鲁棒性的深层逻辑。

论文作者：

复杂网络动力学读书会

集智俱乐部联合合肥工业大学物理系教授李明、同济大学副教授张毅超、北京师范大学特聘副研究员史贵元与在读博士生邱仲普、张章共同发起 。本次读书会将探讨：同步相变的临界性、如何普适地刻画多稳态与临界点、如何识别并预测临界转变、如何通过局部干预来调控系统保持或回到期望稳态、爆炸逾渗临界行为的关键特征、不同类型的级联过程对逾渗相变的影响有何异同、高阶相互作用的影响能否等效为若干简单机制的叠加、如何有效地促进人类个体间的合作等问题。读书会已完结，现在报名可加入社群并解锁回放视频权限。

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