Hilbert 空间：几何结构 | 泛函分析第七讲

导语

集智学园联合东京都市大学贾伊阳老师共同开设了「」课程，本系列课程将以严谨的理论推导为核心，逐步建立泛函分析的基础架构。第一阶段将探讨从有限维跨越到无限维的动机与基础；第二阶段将重点建立度量与完备性，掌握 Banach 空间与不动点定理的精髓；第三阶段将深入探讨 Hilbert 空间的几何结构与对偶空间的映射体系。最终，在第四阶段，将梳理完整的结构总览与应用地图，透视这些纯粹的数学工具如何作为底层基石，广泛应用于现代物理、复杂系统模拟与前沿计算科学中。

作为系列课程的第七讲，贾伊阳老师将以「Hilbert 空间：几何结构」为主题，本节内容将聚焦最小二乘、信号分解与量子态，探讨内积、ℓ²与L²，强调Hilbert空间是几何、代数与分析的统一。课程将揭示其dagger范畴与Riesz自对偶属性，解析正交投影作为最佳近似与直和分解的数学本质。正式分享将于5月24日（周日）19:00-20:30进行。

主题：Hilbert 空间：几何结构

课程简介

上一节分享中Banach 空间关心“距离与收敛”，Hilbert 空间进一步关心“角度、正交性与投影”。机器学习中的很多方法并不是直接依赖坐标，而是依赖：⟨x,y⟩, ∥x∥, projection, orthogonal decomposition。这些结构正是 Hilbert 空间的核心。

Hilbert 空间的几何结构，是现代机器学习数学基础中被使用最广、却最少被系统讲清楚的一块。支持向量机背后的核技巧、PCA 的最优性保证、Fourier Neural Operator 对偏微分方程的学习方式，以及量子机器学习对经典核方法的继承与超越，都在同一套几何语言里展开。

本讲是贾伊阳「面向应用的泛函分析：空间、算子与结构」系列第七讲。课程从复 Hilbert 空间的基本结构出发，建立正交投影与最小二乘的几何解释，随后以 Fourier 分解与 PCA 为主线，揭示信号分解与机器学习降维方法的共同内核。中段转入 RKHS 与核方法，通过 Representer Theorem 说明为何无穷维的函数优化问题可以压缩为有限个核函数的组合。后半程进入复 Hilbert 空间与量子机器学习的交叉地带，依次分析 Schuld & Killoran 的量子特征映射框架、Havlíček 等人的 NISQ 分类器、Liu–Arunachalam–Temme 的量子监督学习加速结果，以及以神经网络量子态和矩阵乘积态为代表的波函数近似方法。

学完本讲，学员将能够从几何视角理解正交投影、最小二乘与 PCA 的等价性，读懂 RKHS 文献中 Representer Theorem 的证明逻辑，并对量子核方法与经典核方法的数学结构异同形成清晰认识。

课程大纲

一、导入

• 导入

• 复 Hilbert 空间（定义与基本结构）

二、Hilbert 空间的几何语言

• 几何直觉

• 正交投影与最小二乘

• 信号分解、Fourier 分解与 PCA

• 机器学习中的 Hilbert 空间：RKHS 与核方法

• 相关论文：Muandet et al., "Kernel Mean Embedding of Distributions"

三、复 Hilbert 空间与量子机器学习

• 量子态为什么是复 Hilbert 空间中的向量

• 量子特征 Hilbert 空间与量子核方法

• 相关论文

• • Schuld & Killoran：量子编码就是 Hilbert 空间特征映射

  • Havlíček et al.：把量子增强特征空间做成 NISQ 分类器

  • Liu–Arunachalam–Temme：严格、鲁棒的量子监督学习加速

  • Carleo & Troyer：神经网络量子态，把波函数当作可学习函数

  • Torlai et al.：神经网络量子态层析，从测量样本重构波函数

  • Stoudenmire & Schwab：MPS 是监督学习中线性泛函的低秩压缩

关键术语

• 正交投影：将向量沿垂直于子空间的方向分解，所得分量即对该子空间的最优逼近

• RKHS（再生核 Hilbert 空间）：赋有核函数的函数空间，点求值泛函在其中有界，是核方法的理论基础

• Representer Theorem：在 RKHS 上的正则化问题中，最优解可以表示为有限个核函数的线性组合

• 核函数：隐式定义特征映射的正定对称函数，使高维内积计算得以通过原空间运算实现

• Fourier Neural Operator：在频域学习函数到函数映射的神经网络架构，用于求解偏微分方程

• 量子核方法：将量子态的内积作为核函数，利用量子线路实现经典难以计算的特征空间

• NISQ 分类器：在含噪中等规模量子设备上运行的量子机器学习模型

• 矩阵乘积态（MPS）：张量网络的一种形式，用于对高维波函数或监督学习中线性泛函的低秩近似

• 核均值嵌入：将概率分布映射为 RKHS 中的元素，用于分布间距离与检验

课程信息

课程主题：Hilbert 空间：几何结构

课程时间：2026年5月24日（周日） 19:00-20:30

课程形式：腾讯会议（会议信息见群内通知）；集智学园网站录播（3个工作日内上线）

课程主讲人

贾伊阳，。

课程主讲人

贾伊阳，东京都市大学讲师、前日本女子大学助理教授，前日本成蹊大学助理教授。研究重点是计算复杂性，算法，以及范畴相关理论。集智学园《》课程讲师。

课程适用对象

• 做微分方程、数值算法、反问题、信号处理、控制的学习者与研究者

• 做优化、机器学习、统计推断，希望理解正则化与泛化的结构来源的研究者

• 读量子/数学物理文献，希望把 Hilbert 空间与算子语言用顺手的研究者

• 更广义地：经常处理“函数作为未知量”的问题、并且想要一套可迁移框架的研究者

1. 面对一个新问题，你能先问对问题：该在哪个空间里解？该用哪个范数衡量误差？需要什么完备性？算子是否有界？

2. 你能理解常见方法背后的统一逻辑：迭代为何收敛、正则化为何稳定、最小二乘为何等价于投影、弱解为何成立。

3. 你会获得一套“抽象但可落地”的语言：写证明、读论文、做建模时，能把碎片化技巧收束到结构层面。

1. 课程形式：腾讯会议直播，集智学园网站录播。本系列课程不安排免费直播。

2. 课程周期：2026年3月29日-2026年6月14日，每周日晚19点-21点进行。

3. 课程定价：原价499

   1. 早早鸟价299，截止时间：2026年3月22日中午12点

   2. 早鸟价399，截止时间：2026年3月30日中午12点

课程链接：https://campus.swarma.org/v3/course/5700?from=wechat

付费流程：

2. 课程页面添加学员登记表，添加助教微信入群；

3. 课程可开发票。

课程共创任务：课程字幕

为鼓励学员深度参与、积极探索，我们致力于形成系列化知识传播成果，并构建课程知识共建社群。为此，我们特别设立激励机制，让您的学习之旅满载收获与成就感。

课程以老师讲授为主，每期结束后，助教会于课程群内发布字幕共创任务。学员通过参与这些任务，不仅能加深对内容的理解，还可获得积分奖励。积分可兑换其他读书会课程或实物奖品，助力您的持续成长。