量子世界，也能用经典物理来描述？

当一个球被抛向空中时，根据经典物理学方程，我们可以准确得知，这个球在下落时会沿着什么路径运动，以及它会在何时、何处落地。但如果同一个球被压缩到原子大小，甚至更小，它的行为就会超出经典物理学所能预测的范围。

至少，到目前为止，我们一直是这样认为的。

如今，一项新发表于《英国皇家学会会刊》的研究表明，日常经典物理学中的某些数学思想，也可以用来描述量子尺度、亚原子尺度上那些常常显得奇异而反直觉的行为。在这项新的研究中，一个研究团队证明了，量子物体的运动可以通过应用经典物理学中被称为“最小作用量”的概念来计算。

从最小作用量到双缝实验

最开始，研究人员想要通过开发模型，来描述机器人控制、飞行器控制、神经科学和机器学习等问题中的复杂行为。为了预测这类系统的行为，工程师常常会借助哈密顿-雅可比方程。这是经典力学中的重要表述之一，也与著名的牛顿运动定律密切相关。

哈密顿-雅可比方程本质上把物体的运动表示为：物体会沿着一条使“作用量”达到最小的路径前沿。举一个简单的例子：一个球从A点被抛向B点。从理论上说，这个球可以在两点之间走出无数条曲折路径。但这个方程表明，球实际经过的路径，是那条满足最小作用量条件的路径。

在这里，作用量可以理解为把物体在运动过程中每一刻的“动能与势能之差”不断累加起来，最后得到的总量。因此，球从A点到B点理论上可以有很多可能路径，但真正走的那条路径，是那条让“动能与势能之差在整个过程中总体达到最小”的路径。

研究人员将哈密顿-雅可比方程以及最小作用量原理应用于一系列带有约束条件的经典力学问题。就在这一过程中，他们意识到，只要进行一些数学扩展，这个方程也可以用来求解量子力学中一个著名的问题：双缝实验。

双缝实验展示了量子尺度上出现的一种奇异的、非经典的行为。这个实验的设置是：在一块金属挡板上开出两条狭缝。当单个光子射向这块挡板时，如果按照经典物理学的预测，光子应当沿着一条路径，直接穿过其中某一条狭缝，并在挡板另一侧形成一个光点。

然而，实际情况却是不是光点，而是明暗相间的条纹。这种几乎“扭曲现实”的图样，来自一种量子力学现象——一个光子可以同时走过不止一条路径。在双缝实验中，当单个光子射向挡板时，它可以同时穿过两条狭缝，并沿着两条路径传播；这两条路径最终会相互干涉。最终形成的条纹图样意味着，光子的这两条相互干涉的路径必然具有波的特征。因此，这个实验证明，量子粒子也可以以一种看似不可思议的方式表现得像波一样。

自量子力学诞生以来，物理学家一直试图用日常经典物理学中的工具来解释双缝实验。但他们此前只能近似得到实验结果。

即便是著名物理学家费曼（Richard Feynman）也认为这项任务无法完成。他认为，要解释这一现象，就必须把光子理论上可能走过的所有路径都纳入考虑，包括无数条曲折路径。这样的处理需要计算无限多条可能的曲折路径，而这些路径都与经典物理学中人们预期的平滑路径相矛盾。

研究人员意识到，正是最后这一点可以被调整。经典物理学假设，一个物体从A点到B点只能走一条路径；而量子力学则允许一个物体同时走多条路径、同时处于多种状态之中。这种基本量子性质被称为“叠加”。

于是，他们提出，也许可以让经典物理在数学上接受“多路径”的概念。这样一来，描述量子现象时就不必计算无限多条可能路径，而只需要计算少数几条满足最小作用量条件的经典路径，就能重现量子力学的结果。

带着这个想法，他们重新审视了哈密顿-雅可比方程，试图弄清如何调整其中的最小作用量原理，使其能够预测双缝实验和其他量子现象。

用“密度”重写量子路径

在这项新研究中，研究团队加入了经典物理学中的另一个要素——密度。从本质上说，它表示某一条路径被采用的概率。

研究人员解释说：“我们是从流体动力学的角度来理解密度的。以双缝实验为例，想象你用一根水管朝墙喷水：大部分水会打到中心位置，但也会有一些水滴飞向两侧。中心位置的水流密度较高，就意味着沿着那条路径找到水滴的概率更高。这里会形成一个分布，而这个分布是可以计算的。”

研究人员对哈密顿-雅可比方程进行了调整，将密度项和多条最小作用量路径纳入其中，并把它应用到双缝实验。他们发现，在这种表述下，他们只需考虑分别穿过两条狭缝的两条经典路径，而不需要像费曼的方法那样处理无限多条曲折路径。

最终，他们通过计算经典密度和作用量，得到了一个波函数，也就是光子可能采取的最可能路径分布。这一结果与薛定谔方程的预测完全一致。而薛定谔方程正是描述量子力学行为的核心方程。

这表明，只要以适当方式计算密度，量子力学中的薛定谔方程和经典物理学中的哈密顿-雅可比方程实际上是等价的。这是一个纯粹的数学结果，它并不是说量子现象会发生在经典尺度上，而是说我们可以用非常简单的经典工具来计算量子行为。

一座更坚固的数学桥梁

除了双缝实验之外，研究人员还证明，这一经过改写的方程也可以预测其他量子力学行为，例如量子隧穿。在量子隧穿中，电子等粒子可以穿过能垒，而根据经典物理学，这是不可能发生的。此外，他们还能够从行星的经典轨道出发，推导出氢原子中电子的精确量子波。最后，他们还从这一视角重新审视了著名的爱因斯坦-波多尔斯基-罗森（EPR）实验。这个实验开启了现代量子纠缠研究。

这些神秘现象过去只能通过量子力学方程来理解，而现在，也能用这种新的经典表述来描述。从本质上说，这项研究在我们熟悉的日常经典物理世界与原子以下尺度的世界之间，建立了一座精确的数学桥梁。

研究人员表示，过去，经典物理和量子物理之间只有一座非常脆弱的桥梁，而且只适用于相对较大的量子粒子。而现在，我们有了一座坚固的桥梁——这是一种可以共同描述量子力学、经典力学和相对论的方法，并且适用于所有尺度。

研究人员设想，物理学家或许可以把这一新公式作为一种简便方法，用来预测某些量子系统和量子器件的表现。这可能对量子计算产生重要影响，因为在量子计算中，量子比特具有一些物理学家必须近似处理的非线性能量。它也可能帮助我们更好地理解同时涉及量子物理和广义相对论的问题。

#参考来源：

https://news.mit.edu/2026/new-study-bridges-classical-and-quantum-physics-0421

https://royalsocietypublishing.org/rspa/article/482/2336/20250413/481461/On-computing-quantum-waves-exactly-from-classical

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