Dirac 场的正则量子化——反对称的世界及其应用 | 量子场论第七讲

导语

集智学园联合新加坡国立大学贾治安老师共同开设了，帮助复杂系统跨学科领域学习者、研究者系统掌握量子场论的核心概念和基本方法，以及其在高能物理和凝聚态物理中的典型应用。同时，课程还将探讨量子场论的前沿与跨学科课题，例如量子反常、拓扑场论和广义对称性，以及量子场论在神经网络、量子计算等方向的应用，来拓展学术视野。

作为系列课程的第八讲，贾治安老师将以「Dirac 场的正则量子化——反对称的世界及其应用」为题，本次分享目标为掌握费米子场的正则量子化方法，理解反对易关系的物理必然性，建立旋量场的粒子诠释，为QED和标准模型奠定基础。正式分享将于4月15日（周三）19:00-21:00进行。

主题：Dirac 场的正则量子化——反对称的世界及其应用

课程目标

掌握费米子场的正则量子化方法，理解反对易关系的物理必然性，建立旋量场的粒子诠释，为QED和标准模型奠定基础。

课程要点

1. 从相对论波动方程到 Dirac 方程

• Klein-Gordon 方程的负能问题回顾

• 寻找一阶时间导数方程的动机

• Dirac 方程：

• 自由粒子解与能量谱

2. γ 矩阵与 Clifford 代数

• 反对易关系：

• Dirac 表示与 Weyl（手征）表示

• 的性质

• 常用γ矩阵恒等式：

• • Gordon 恒等式

3. 旋量的洛伦兹变换性质

• 旋量变换：

• 变换矩阵：

• 定义：

• Weyl 旋量： 左手分量与右手分量

4. Dirac Lagrangian 与共轭场

• Lagrangian：

• Dirac 共轭：

• 物理动机： 为何需要 γ0 来构造洛伦兹标量

• 运动方程的推导

5. 共轭动量与反对易关系

• 共轭动量：

• 为何需要反对易关系：

• • 对易关系导致负范数态

  • Pauli 不相容原理的要求

  • 自旋-统计定理

• 等时反对易关系：

6. 平面波解与旋量基

• 正能解（粒子）： ，s = 1, 2（自旋）

• 负能解（反粒子）：

• 旋量的正交归一化：

• 完备性关系：

7. 场的模式展开

• 算符展开：

• 算符物理意义：

• • ：湮灭电子（或费米子）

  • ：湮灭正电子（或反费米子）

• 反对易关系：

8. 粒子与反粒子诠释

• Dirac 海的图像与空穴理论

• 现代诠释： 创造反粒子

• 电荷共轭对称性

• CPT 定理的预告

9. Hamiltonian 与守恒量

• 正规序 Hamiltonian：

• 电荷算符（U(1)对称性）：

• 自旋算符（角动量）

10. Dirac 传播子

• 定义：

• 动量空间：

• Feynman斜杠记号：

11. 手征性与质量项

• 左手投影与右手投影：

• Weyl 费米子：

• 质量项打破手征对称性

• 在标注模型中的应用

12. 拓展：费米量子计算、费米量子码

练习题

1. 验证 在 Dirac 表示中成立。

2. 计算 和

3. 从反对易关系推导产生湮灭算符的反对易关系。

4. 验证旋量完备性：

5. 证明 Dirac 传播子满足

1. 讨论无质量 Dirac方程的手征对称性

本讲与后续内容的联系

Dirac 场是 QED 和弱电统一理论的基础。旋量技巧、γ 矩阵代数和传播子将在散射振幅计算中频繁使用。手征性概念是理解标准模型非对称性结构的关键。

系列课程推荐教材

• Tom Lancaster & Stephen J. Blundell, Quantum Field Theory for the Gifted Amateur(Oxford University Press, 2014).

• Anthony Zee, Quantum Field Theory in a Nutshell (Princeton University Press,2010).

• Michael E. Peskin & Daniel V. Schroeder., An Introduction to Quantum Field Theory(Addison-Wesley, 1995).

• Matthew D. Schwartz, Quantum Field Theory and the Standard Model (CambridgeUniversity Press, 2013).

• Mark Srednicki, Quantum Field Theory (Cambridge University Press, 2007).

• Steven Weinberg, The Quantum Theory of Fields, Vols. I, II, III (Cambridge UniversityPress, 1995–2000).

• Lewis H. Ryder, Quantum Field Theory, 2nd ed. (Cambridge University Press, 1sted, 1996).

• Pierre Ramond, Field Theory: A Modern Primer, 2nd ed. (Avalon Publishing 1997).

课程信息

课程主题：Dirac 场的正则量子化——反对称的世界及其应用

课程时间：2026年4月15日（周三） 19:00-21:00

课程形式：腾讯会议（会议信息见群内通知）；集智学园网站录播（3个工作日内上线）

课程主讲人

贾治安（知乎：@也疏寒），个人网站：tqfter.github.io，新加坡国立大学Research Fellow，即将回国在高校从事科研工作。主要从事数学物理与理论物理领域研究，聚焦量子代数在量子场论、量子物态、量子信息与量子计算中的具体应用。近年研究重点为拓扑场论及其晶格实现（拓扑序），并围绕场论与晶格框架下的广义对称性开展研究。同时，贾老师对高能物理、量子物质与量子信息科学的交叉和融合抱有浓厚兴趣，尤其致力于运用量子信息方法研究量子场论与凝聚态体系。

课程适用对象

1. 对高等数学和量子力学有一定了解的本科生、研究生、高校教师研究员与爱好者

2. 对量子世界的复杂性感兴趣的跨学科学习者

3. 希望在复杂科学领域迁移应用量子场论内容的研究者

4. 对逻辑、抽象思维和系统思维有兴趣的公众学习者

报名须知

1. 课程形式：腾讯会议直播，集智学园网站录播。本系列课程仅首节免费直播。

2. 课程周期：2026年2月11日-2026年5月6日，每周三晚19点-21点进行。

3. 课程定价：999元。

课程链接：https://campus.swarma.org/v3/course/5681?from=wechat

付费流程：

2. 课程页面添加学员登记表，添加助教微信入群；

3. 课程可开发票。

课程共创任务：课程字幕

为鼓励学员深度参与、积极探索，我们致力于形成系列化知识传播成果，并构建课程知识共建社群。为此，我们特别设立激励机制，让您的学习之旅满载收获与成就感。

课程以老师讲授为主，每期结束后，助教会于课程群内发布字幕共创任务。学员通过参与这些任务，不仅能加深对内容的理解，还可获得积分奖励。积分可兑换其他读书会课程或实物奖品，助力您的持续成长。

后记

跨学科集智创新基金：

招募顶尖讲师，生产高质内容

集智学园始终在围绕复杂科学、人工智能搭建知识体系。我们深知，唯有根深方能叶茂。因此，在追逐前沿的同时，在最近3个月中，我们推出了拓扑学、线性代数、统计物理等硬核基础课程，为社区学习者夯实关键根基。

量子场论是前沿，也是核心基础，它代表人类对自然界基本规律理解的最深刻理论。其中重整化群、费曼图等在复杂系统、人工智能研究中的重要方法，其实也都来源于此。

但是要讲好量子场论门槛极高，既懂其物理深意又能关联复杂系统的学者凤毛麟角；且作为一门超硬核的基础理论，其商业回报的不确定性往往让普通课程开发望而却步。

但难做的事，往往才更有价值。为了填补这块关键的认知拼图，集智学园创始人张江教授特别设立了“”，来悬赏招募优秀讲师，确保社区成员获得高质量内容。经过一系列的试讲与筛选，我们与新加坡国立大学Research Fellow贾治安老师达成合作，让这门来之不易的课程得以诞生。