四维空间，疯狂之地

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

我们生活的世界是严格三维的：上下、左右、前后——这些是仅有的移动方向。多年来，科学家和科幻作家一直在思考更高维空间的可能性。一个四维或五维的宇宙会是什么样子？或者，我们是否已经生活在这样一个空间里——我们三维的家园不过是高维空间中的一个切片，就像切三维立方体得到的是一个二维正方形一样？

根据20世纪早期的恐怖小说作家H.P.洛夫克拉夫特的说法，这些高维空间确实存在，并且是各种邪恶生物的家园。在洛夫克拉夫特的神话体系中，这些存在中最可怕的一位名叫约格·索托斯。有趣的是，在少数约格·索托斯现身人类世界的场合中，它会以“一团五彩斑斓的球体聚集……其恶意暗示之强烈令人惊骇”的形象出现。

洛夫克拉夫特对数学颇感兴趣，确实也运用了诸如双曲几何之类的思想来增添其故事的离奇感（正如托马斯·赫尔在《数学视野》Math Horizons中所讨论的那样）。但他不可能知道，以这种方式来表现约格·索托斯是多么幸运的选择。奇异球面确实是通往高维世界的钥匙，而近年来我们对它们的理解也有了极大的提升。在过去50年里，一门称为微分拓扑的学科发展起来，并揭示了这些高维空间究竟有多么奇异陌生。

高维空间与超球面

高维空间真的存在吗？数学对这个问题给出了一个令人惊讶的明确回答。正如二维平面可以通过参照一对坐标轴、用坐标对（如 (5,6)）来描述一样，三维空间可以用数的三元组（如 (5,6,3)）来描述。当然，我们可以沿着这个思路继续想下去：对数学家而言，四维空间就是由实数的四元组构成的集合，例如 (5,6,3,2)。这一方法可以推广到所有更高维度。当然，这并没有回答物理学家的疑问：这些维度是否具有客观的物理存在性。但至少在数学上，只要你相信数的存在，你就别无选择，也只能相信四维空间的存在。

这倒是不错，但这样的空间该如何想象呢？约格·索托斯的巢穴到底长什么样？这是一个更难回答的问题，因为我们的大脑并不具备在超过三维的空间中进行视觉感知的能力。不过，数学方法仍然可以帮上忙——首先，它允许我们将那些在更为熟悉的空间中确实观察到的现象加以推广。

一个重要的例子就是球面。如果你在地面上选一个点，然后标出所有距离该点恰好1厘米的点，所形成的形状就是一个半径为1厘米的圆。如果你在三维空间中做同样的事情，我们就会得到一个普通的球体（或叫球面）。接下来就是令人兴奋的部分了：因为完全相同的做法在四维空间中同样有效，从而产生出第一个超球面。

这看起来像什么呢？当我们从近处观察一个圆时，它的每一小段看起来都像是一条普通的一维直线（因此圆也被称为1-球面）。圆与直线的区别在于，从远处看时，整个圆会弯回来与自身相连，并且只有有限长度。同样地，普通球面（即2-球面）的每一小块看起来都像是二维平面中的一小块。同样地，这些小片以没有边界、只有有限面积的方式缝合在一起。到目前为止，这一切都在预料之中，但第一个超球面（即3-球面）的情况完全一样：它的每个区域看起来都像是我们熟悉的三维空间。就我们所能观测到的而言，我们或许现在就生活在这样一个超球面之中。但与它低维的同类不同的是，整个超球面会以平坦的三维空间所不具备的方式弯折回自身，形成一个没有边界、只有有限体积的形状（你可以在这里了解更多关于3-球面的内容）。当然，我们不会止步于此：下一个超球面（4-球面）的每个区域看起来都像四维空间，如此类推到每一个维度。

正如一个三维物体可以投影到一个二维平面上一样，一个四维物体也可以投影到三维空间中。这幅图像来自一个四维超球面的投影。图中的曲线分别是该超球面的纬线（红色）、经线（蓝色）以及所谓的“超经线”（绿色）的投影。图片来源：Claudio Rocchini

从几何学到拓扑学再到微分拓扑学

与几何学一样，拓扑学也是数学中研究形状的一个分支。其中要探讨的一个基本问题是：两个形状在什么时候才是 真正相同的。这个问题并没有唯一的答案，它取决于你最关注形状的哪些方面。在基础层面上，如果两个形状完全相同但位于不同的位置，那么在大多数情况下，我们会认为它们是“相同”的。

拓扑学对“相同”的定义比几何学宽泛得多。在拓扑学中，如果一个形状可以通过拉伸、扭转变成另一个形状，那么它们就被认为是“相同”的。因此，对拓扑学家来说，三角形、梯形、七边形等等都是相同的：它们本质上都是圆。另一方面，数字“8”的形状则完全不同，因为拓扑学意义上的“相同”不允许对形状进行切割或粘贴。所以，一个“8”永远无法被拉成一个圆的形状，因为切割是被禁止的；同样地，小写字母“i”也无法变成圆，因为它的两部分无法粘贴在一起。

如果你关心的是角度、长度或面积之类的东西，那么拓扑学的视角就不合适了。但在这一层面上，仍有许多重要的信息得以保留：一个著名的例子就是伦敦地铁图。在这张图上，重要的不是隧道的长度或精确路线，而是车站的顺序、以及不同地铁线路之间的交叉方式。这些现象本质上是拓扑的，并且在拓扑变形下保持不变。这很方便，因为它让伦敦人可以使用那张著名的简化示意图，而不需要一张包含所有地铁线路精确走向的全城详细地图。

有些形状，比如甜甜圈形状的环面，上面有洞。这些洞是本质性的，无法通过拓扑意义上的扭转或拉伸去除。那么，哪些形状是没有洞的呢？拓扑学中最著名的定理——庞加莱猜想——为这个问题提供了一个优雅的答案：它说，唯一没有洞的形状就是球面。从几何学的角度来看，这并不成立，因为立方体、棱锥体、十二面体以及众多其他形状也都没有洞。但当然，对于拓扑学家来说，所有这些令人兴奋的形状都不过是球面而已。

我们自2002年起就已经知道庞加莱猜想确实成立。亨利·庞加莱最初的问题是关于三维球面的，但事实上，同样的结论也适用于所有更高的维度。事实是，从拓扑学的角度来看，球面在每个维度中都是极其简单且独特的对象。然而，在1956年，第一个证据出现了，表明只要稍微改变一下视角，这个故事就会变得复杂得多。当通过微分拓扑这一新学科来审视时，高维空间开始揭示它们一些非凡的秘密。

缝隙、扭结与棱角

普通拓扑学与微分拓扑学之间的差异看似非常微妙，但结果却带来了惊人的后果。这种差异取决于变形过程中所允许的拉伸与扭转的精确类型。这对被视为“相同”的形状产生了巨大影响。

区分在于两类过程：一类是连续的，即不会产生跳跃或撕裂；另一类是光滑的。光滑性是一个比连续性强得多的条件。同样的区分也适用于形状本身：圆和球面是光滑形状的例子，而正方形和立方体由于有尖锐的棱和角，因此不是光滑的。不过，所有这些形状都是连续的，因为它们的边缘没有任何间隙或跳跃（不连续的线条则表现为分成两个分离的部分）。甚至还有分形图案，它们处处连续，却处处不光滑。

同样，我们可以区分真正光滑的形变与仅仅连续但可能非常剧烈、带有突变的形变。然而，这种区分是否真的那么重要，其实并不显然。有没有可能两个形状（拓扑学家也称之为流形）从拓扑学的角度看是相同的（用术语说就是同胚的），但从微分拓扑的角度看却不同（不是微分同胚的）？换句话说，是否存在两个形状，它们之间可以不通过切割而互相变形，但这种变形无法光滑地完成，而必须依赖于剧烈跳跃？这当然很难想象，尤其是在一维、二维或三维空间中这种情况从未发生过。

这是一个被称为朱利亚集的分形。它的轮廓是连续的，但处处不光滑。

奇异球面

1956年，约翰·米尔诺在研究七维流形时，发现了一个看起来非常奇怪的形状。一方面，它没有洞，因此似乎是一个球面；但另一方面，它弯曲的方式却完全不像一个球面。起初，米尔诺以为他找到了庞加莱猜想在七维情形下的一个反例：一个没有洞、但却不是球面的形状。但经过更仔细的检查，他的新形状确实可以变形为一个球面（正如庞加莱所坚持的那样，它必须能够做到这一点），但值得注意的是，这种变形无法光滑地完成。因此，尽管它在拓扑学上是球面，但在微分意义上却不是。

米尔诺发现了第一个奇异球面，随后又在其他维度中找到了更多。在每一种情况下，结果在拓扑学上都是球面，但在微分意义上则不是。换一种说法就是，奇异球面代表了在普通球面上赋予不同寻常的距离与曲率概念的方式。

在一维、二维和三维中，不存在奇异球面，只有普通的球面。这是因为在这些熟悉的空间中，拓扑学的视角与微分拓扑学的视角并无分歧。同样地，在五维和六维中也只有普通的球面，但在七维中，突然出现了28个奇异球面。在更高的维度中，奇异球面的数量在1和任意大的数字之间来回变化：

即便在今天，仍然最为神秘的领域是四维空间。在四维空间中，尚未发现任何奇异球面。同时，也没有人能够证明它们不可能存在。断言四维空间中不存在奇异球面的命题，被称为光滑庞加莱猜想。如果有人读到这里仍不确定，请让我明确一点：光滑庞加莱猜想与庞加莱猜想不是同一回事！两者的一个区别在于，庞加莱猜想已被证明，而光滑庞加莱猜想至今仍然悬而未决。

四维的怪异世界

那么，光滑庞加莱猜想是否成立呢？大多数数学家倾向于认为它可能是假的，并且四维奇异球面很可能存在。原因在于，四维空间已被证明是一个非常怪异的地方，各种令人惊讶的事情都会在这里发生。一个典型的例子是，1983年人们在四维空间中发现了一种全新的形状类型——这种形状是完全不可光滑化的。

如上所述，正方形因其尖锐的棱角而不是光滑的形状，但它可以被光滑化。也就是说，它在拓扑上与一个光滑的形状——即圆——是相同的。然而在1983年，西蒙·唐纳森发现了一类新的四维流形，它们是不可光滑化的：它们充满了本质性的扭结和尖锐的棱边，以至于没有任何办法能把它们全部弄平滑。

不仅如此，存在奇异版本的并不仅仅是球面。现在我们知道，四维空间本身（即R^4）也有多种不同的类型。有通常的平坦空间，而与之并存的还有各种奇异的R^4。这些奇异空间每一个在拓扑上都与普通空间相同，但在微分意义上则不同。令人惊讶的是，正如克利福德·陶布斯在1987年所证明的那样，实际上存在无穷多种这样的另类现实。从这个角度来看，第四维确实比其他所有维度都要无限奇异：因为对于所有其他维度R^n都只有唯一的一种。也许，第四维终究是科幻作家想象中那些怪异世界在数学上的恰当舞台。

上图是一个涉及四维物体——十二重体（dodecaplex）的投影图像。

最后照例放些跟张大少有关的图书链接。

青山 不改，绿水长流，在下告退。

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