它改变了我对微积分的看法——洛必达法则

大学课堂上，高数老师在黑板上写下：

当 x → 1 时，(x² — 1) / (x — 1)

“找出极限，”他说，然后转过身去，继续在黑板上写别的东西，好像他对答案已经感到厌倦了。

我代入 x = 1，得到 0/0。我盯着它看。我又一次代入 x = 1，这次慢了下来，仿佛如果我更仔细地思考，问题就会有不同的答案。

仍然是0/0。

我旁边那个家伙——一个工程系学生，好像总能在老师讲课之前就把所有知识点都掌握了——已经开始写答案了。我微微凑过去。他写的是“2”。就一个2。没有计算过程，没有解释，就那么静静地写在纸上，好像它一直都在那里似的。

我那道题没做完。下一道类似的题也没做完。再下一道也没做完。

当你第一次接触微积分极限时，没人会告诉你：0/0 并不是错的。这只是数学在说它需要更多信息。它被称为不定式，听起来像术语，但实际上只是意味着——我们还无法确定。这个分数处于一种叠加态，在你提出正确的问题之前，它拒绝确定一个值。

事实证明，正确的问题与导数有关。但我有点跑题了。

买下别人数学书的法国人

17世纪有一位名叫洛必达的法国贵族，他既有足够的钱，又有足够的求知欲去聘请一位私人数学教师。

这位导师是约翰·伯努利，他是当时最有才华的数学家之一，但据所有历史记载，他也是最难相处的人之一。他才华横溢，而且他对此深知，这让每个人都感到不自在。

洛必达向伯努利支付薪水。作为回报，伯努利同意只与洛必达分享他的数学发现，洛必达可以随意发表这些发现。这本质上是一种17世纪的代笔。

其成果便是洛必达于1696年出版的教科书——史上第一本微积分教科书——其中就包含了我们今天讨论的这条规则。伯努利余生都在抱怨这条规则是他的，公平地说，确实是他的。但历史却不听他的。

我发现这种事莫名地令人感到安慰。就连数学知识的来源也是混乱的、人为的，而且有点不公平。并非只有学生才会在归属问题上遇到困难。

洛必达法则

所以，洛必达发表的（以及伯努利发现的）是这样的：

如果将一个数代入分数，得到 0/0，则分别对分子和分母求导（不要使用商的法则），然后再尝试代入该数。

这就是全部规则。

我第一次听到这种解释时，真的以为解释的人漏掉了什么。肯定还有更多。肯定有什么条件、注意事项或者一长串代数步骤隐藏在其中。

让我们回到那个在冰冷的教室里难倒我的问题上来。

(x² — 1) / (x — 1)

代入 x = 1，得到 0/0。很好。现在：

• x² - 1 的导数是2x
• x - 1 的导数是1

新分数：2x / 1，即2x。

代入 x = 1：2 × 1 = 2。

极限是 2。在我还没看完题目之前，那位工程系学生就已经写下了这个答案。

它为什么有效？（真实解释）

大多数教科书都用形式化的ε-δ证明来解释这一点，从技术上讲，这些证明是正确的，但对于建立直觉来说却完全没有用处。

我最终是这样看待这个问题的。

当一个分数的分子和分母同时趋近于零时，分数的最终值取决于它们各自趋近于零的速度。如果分子比分母更快地趋近于零，那么整个分数最终会变得很小。如果分母更快地趋近于零，那么分数最终会变得很大。如果它们趋近于零的速度大致相同，那么分数最终会取一个中间值。

导数正是用来衡量变化率、速度和斜率的。所以，当你对这两个部分都求导时，你实际上是在问：在这个特定点附近，哪个函数变化得更快，以及快多少？

我总是会用跑步者的比喻，即使我知道这个比喻并不精确。两个人同时向终点线跑去。你不在乎他们从哪里起跑，你只关心最后冲刺阶段谁跑得更快。导数就像是最后冲刺阶段的速度表。

如果你过度解读这个比喻，它就站不住脚了。这只是一种感觉，并非确凿的证据。

一旦你开始留意，就会发现这个限制无处不在：

当 x 趋近于 0 时，sin(x) / x

代入零：sin(0)/0 = 0/0。不确定。

我以前“知道”这个结果——它等于1——因为我的高中老师在黑板上画了一个单位圆，并用几何方法证明了这个结论。我理解那幅图，但我无法向别人解释清楚。

• sin(x) 的导数：cos(x)
• x 的导数：1

代入 x = 0：cos(0) = 1。

几何证明很美，我很庆幸它存在。但这个呢？这个我可以在考试前一晚11点，不用看图也能把它推导出来。

什么时候适用

这条规则只适用于两种情况：

每位微积分老师都会把这句话写在黑板上。但大多数老师都不会解释它到底是什么意思。

• 0/0 — 上下限都变为零。
• ∞/∞ — 顶部和底部都膨胀到无穷大。

如果你得到 5/0，那不是不确定，而是无穷大（或者说函数在该值处不存在）。如果你得到 3/7，恭喜你，你已经得到答案了，请不要再进行不必要的微分运算了。

有时，一个应用程序还不够。例如：

当 x → 0 时，(1 — cos x) / x²

代入 0：0/0。应用一次规则：得到 sin(x) / 2x。再次代入 0：仍然是 0/0。再次应用规则：cos(x) / 2。代入 0：1/2。

这条规则可以循环使用。一直重复直到得到一个实数。有时需要三轮。我曾经看到一份研究生作业，有人用了六次。我不知道这个故事是否属实，但我从未尝试验证过。

我真正想让你记住的是

我曾因为极限的概念而默默地难过了一个学期，直到有人终于在解决我遇到的一个难题的语境中向我展示了这条规则。不是作为章节里的一个主题，也不是作为教科书里的定理，而是——来，试试用这条规则解决你现在遇到的难题。

它改变了我对微积分的看法。并非因为那条规则有多么神奇，而是因为它揭示了我之前未曾理解的东西：微积分是一系列工具的集合，每一种工具都针对特定情况而设计，在这些情况下，显而易见的方法会失效。关键不在于记住这些工具，而在于学会识别你所处的具体情况。

0/0 是一种情况。现在你知道这个工具了。

前方还有更棘手的情况——比如极限是 0 × ∞、∞ — ∞ 或 1^∞——在洛必达法则发挥作用之前，需要进行一些代数变换。但直觉是一样的。当数学无法解答你的问题时，不要惊慌。你应该问：这是什么情况？应该问什么问题？

大多数情况下，都会有答案。只是需要花点时间找到它。