小乐数学科普：丢番图方程的有理解

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格尔德・法尔廷斯（Gerd Faltings）刚刚获得2026年阿贝尔奖，他是算术几何领域的泰斗级人物。其学术思想与研究成果重塑了整个领域，不仅攻克了多项悬而未决的重大猜想，更构建了全新的理论框架，为后续数十年的相关研究指明了方向。本文简单介绍格尔德・法尔廷斯的学术成就。

图源：Peter Badge/Typos1/The Abel Prize

作者：阿贝尔奖官网（abelprize.no）2026-3-19

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2026-3-20

亚历山大的丢番图（Diophantus of Alexandria）

图源：famousmathmaticians.net

“丢番图方程（Diophantine equation）”这一表述，源于公元3世纪的希腊化时期数学家亚历山大的丢番图。丢番图是寻找整系数多项式方程整数解的先驱，自此以后，他的名字便与这类方程的整数解及有理解求解问题紧密相连。

多项式方程的有理解求解问题可追溯至数百年前。早在古代，人们就已发现，毕达哥拉斯方程 x²+y²=z² 存在无穷多组整数解。对于任意两个正整数 p 和 q，该方程的所有解可通过以下公式完整描述：

x=p²-q²

y=2pq

z=p²+q²

毕达哥拉斯方程是二次方程，其存在无穷多组整数解这一事实，可看作是整数中平方数出现频率相对较高的一种体现。一般来说，方程次数的提高会导致整数解的数量减少——解的数量可能从无穷变为有限，甚至可能变为零，即某些整系数方程根本不存在整数解。

1900年，在巴黎举办的国际数学家大会上，德国数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）提出了10个未解决的数学难题。后来，他又发布了一份包含23个难题的扩展清单，这些难题被认为对20世纪的数学发展产生了深远影响。其中部分难题至今仍未解决，另有一些则已被攻克。希尔伯特在介绍这23个难题时写道：“我们之中，谁不乐于揭开未来的面纱，窥探科学的下一次进步，以及未来几个世纪里学科发展的奥秘呢？未来几代数学界的领军人物将追逐哪些特定目标？在广阔而丰富的数学思想领域，新的世纪将揭示哪些新方法与新发现？”

大卫·希尔伯特（David Hilbert），1862-1943

图源：维基百科（Wikipedia）

希尔伯特的难题之一，即著名的“希尔伯特第十问题”，聚焦于丢番图方程的解：“给定一个含任意数量未知数且系数为有理整数的丢番图方程，能否设计一种方法，通过有限次运算判断该方程是否存在有理整数解？”

希尔伯特并不关注方程具体解的求解，而是聚焦于“方程是否存在解”这一判定问题。法国数学家亨利·庞加莱（Poincaré）也对这类问题表现出浓厚兴趣，并于1901年提出了关于椭圆曲线（即三次方程的解集）有理解的猜想。他断言，椭圆曲线上的有理点集合构成一个有限生成阿贝尔群（abelian group）。约二十年后，美裔英国数学家路易斯·莫德尔（Louis Mordell）证明了这一猜想。

在此期间，数论学家们发表了多项关于丢番图方程解的研究成果。1909年，挪威数学家阿克塞尔·图厄（Axel Thue）证明（众多结果之一），方程 y³-2x²=-1 仅有有限多组整数解。后来进一步证实，该方程恰好存在一组解，即 x=78，y=23。

阿克塞尔·图厄（Axel Thue），1863-1922

图源：维基百科（Wikipedia）

图厄的更具一般性的成果被称为“图厄定理（Thue's theorem）”，其内容为：若 f(x, y) 是一个整系数齐次多项式，在有理数域上不可约，且次数 ≥3，则对于任意整数 k，方程 f(x, y)=k 仅有有限多组整数解。莫德尔本人早在1913年就已证明，方程

y²=x³+k

（其中 k 为整数）仅有有限多组整数解。

莫德尔在1922年发表的论文中，核心成果便是后来被称为“莫德尔定理（Mordell's theorem）”的结论：椭圆曲线 E 上的有理点群 E(ℚ) 是有限生成的。这一成果回应了庞加莱在1901年提出的问题。

路易斯·莫德尔（Louis Mordell），1888-1972

图源：曼彻斯特大学

莫德尔定理的核心依据是：椭圆曲线（通常定义为形如y²=x³+px+q的方程的解集）具有阿贝尔群的附加结构。该群的运算规则常被称为“弦切法则（chord and tangent rule）”，因为其构造完全基于几何方法，涉及弦与切线的运用。莫德尔通过经典的“无穷递降法（infinite descent）”证明了这一定理：若方程存在无穷多组解，则所有解都可通过弦切法则追溯至有限多个生成解。莫德尔还证明了其定理的关键前提：椭圆曲线上两个有理点的和仍是一个有理点。

根据三次方程解集的形态，椭圆曲线也被称为“亏格1曲线”。更高亏格的曲线由更高次数的方程定义，其解集也愈发复杂。

莫德尔在1922年发表的论文《论三次与四次不定方程的有理解》中，还提出了“莫德尔猜想（Mordell’s conjecture）”：亏格 ≥2 的曲线上的有理点集合是有限的。这一结论对椭圆曲线并不成立——有限生成并不等同于有限，因为曲线上的有理点可能具有无限阶。

特里格夫·内格尔（Trygve Nagell），1895-1988

图源：维基百科（Wikipedia）

挪威数学家特里格夫·内格尔（Trygve Nagell）是阿克塞尔·图厄的学生，他找到了椭圆曲线上有理点为有限阶的判定准则。这一成果被称为“内格尔-卢茨定理（Nagell-Lutz Theorem）”，以纪念内格尔与伊丽莎白·卢茨（Elisabeth Lutz）——后者是一位法国数学家，独立于内格尔发现了该定理。内格尔-卢茨定理描述了整数域上椭圆曲线上的有限阶有理点：设方程

y²=x³+px+q (p, q ∈ ℤ)

定义了一条非奇异椭圆曲线 E，其判别式为

Δ=-4p³-27q²≠ 0

若 P=(x, y) 是 E 上的有限阶有理点，则 x 和 y 均为整数，且要么 y=0（此时 P 的阶为2），要么 y 整除 Δ（这意味着 y² 也整除 Δ）。

例如，考虑椭圆曲线 E：y²=x³-4x+9，其判别式 Δ=-256+2187=1931。

易知 P=(2, 3) 是 E 上的一个有理点。显然，3不是1931的因子，因此根据内格尔-卢茨定理，P 具有无限阶。

再举一例，方程 y²=x³-x 仅有4个有理点，包括无穷远处的加法单位元 0，分别为 P=(1, 0)、Q=(-1, 0)、P+Q=(0, 0)，且 2P=2Q=0，即 E(ℚ)≅ ℤ₂ × ℤ₂。这两个例子共同表明，椭圆曲线可能存在无穷多组有理点，也可能仅存在有限组有理点。

阿克塞尔·图厄与路易斯·莫德尔均为数论学家，他们的研究方法要么是纯算术的，要么偏向逼近论。而在法尔廷斯与怀尔斯之后，我们逐渐意识到，数论问题的解法很可能存在于数论之外的其他数学领域。

专业术语注释

中文名称

简要说明

阿贝尔奖

国际顶尖数学奖项，表彰在数学领域作出卓越贡献的学者

丢番图方程

含整数系数的多项式方程，核心研究其整数解或有理解存在性及求解问题

毕达哥拉斯方程

形如 x²+y² =z ² 的二次方程，存在无穷多组整数解

希尔伯特第十问题

判定含任意未知数的整系数丢番图方程是否存在有理整数解的有限步算法设计问题

椭圆曲线

通常定义为三次方程 y²=x³+px+q 的解集，具有阿贝尔群结构

有限生成阿贝尔群

可由有限个元素生成的阿贝尔群，是椭圆曲线有理点集合的重要性质

图厄定理

关于高次齐次多项式方程有限整数解的重要定理（次数≥3）

莫德尔定理

椭圆曲线上的有理点群是有限生成的，回应庞加莱猜想

莫德尔猜想

亏格≥2 的曲线上的有理点集合是有限的

无穷递降法

证明数论问题的经典方法，通过递降推导有限性或无解结论

弦切法则

椭圆曲线阿贝尔群的运算规则，基于几何中的弦与切线构造

亏格 1 曲线

椭圆曲线的另一称谓，依据解集形态分类

内格尔 - 卢茨定理

判定椭圆曲线上有理点为有限阶的准则

非奇异椭圆曲线

判别式≠0 的椭圆曲线，无奇点

判别式

椭圆曲线的重要参数，形如 Δ=−4p³−27q²

有理点

坐标为有理数的点，是丢番图方程与椭圆曲线研究的核心对象

有限阶（有理点）

椭圆曲线上经有限次群运算可回到自身的有理点

无限阶（有理点）

椭圆曲线上需无限次群运算才能回到自身的有理点

齐次多项式

各项次数相同的多项式，图厄定理的核心研究对象

有理数域上不可约

多项式不能分解为两个次数更低的有理系数多项式的乘积

参考资料

https://abelprize.no/sites/default/files/2026-03/Rational%20solutions.pdf

https://abelprize.no/page/introduction-laureates-work-timandra-harkness

https://abelprize.no/sites/default/files/2026-03/pressrelease_english__Abelprize%202026.pdf

https://abelprize.no/page/press-room-2026-abel-prize-laureate

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