伍鸿熙：向未来的教师传授中小学数学

数学家伍鸿熙长期关注中小学数学，他指出中小学数学并非大学数学的简化版，而是一门独立的 “数学工程”，并提出应向未来教师传授贴合教学实际的基于原理的中小学数学（PBSM）。本文通过具体教学案例论证其与大学数学的本质差异，为中小学数学教师的培养与教学实践提供了一些思路。

撰文 | 伍鸿熙 (Hung-Hsi Wu)

翻译 | 陆柱家

校对 | 童欣

本文译自：Eur. Math. Soc. Mag., 122 (2021), p.39-45, Teaching school mathematics to prospective teachers, Hung-Hsi Wu. Copyright © the European Mathematical Society 2021. All rights reserved. Reprinted with permission. 感谢欧洲数学会授予译文出版许可。
注：原译文将 school mathematics 译成“学校数学”，为了便于理解，这里统一将其改成了“中小学数学”。

摘要

什么样的数学应该教给未来的数学教师，一直是数学教育中的一个长期悬而未决的问题。我们主张我们应该准确地教给他们，他们的工作所需要的：中小学数学。

01

引言

良好的中小学数学教育需要教师有渊博的数学知识。毕竟，一个人不能教他（她）所不知道的内容。但是，至少在美国，我们仍然没有确定我们应该对未来的教师教什么样的数学，以使他们知识渊博[12]。

在一篇众所周知的早在1990年的文章[1]中，Deborah Ball 报道了她对5所大学中的252位未来数学教师的候选人（217名小学教师和35名高中教师）的学科知识研究。该研究集

能够选择正确代表这种除法的问题。在一项较小的研究中，217名教师中的35名（25名小学和10名高中）被要求创建一个他们自己的应用问题来正确表示这个除法。35位教师中只有4位（即11%）可以提供一个令人满意的答案，所有这4位都是高中老师。Ball 与不打算从事教学工作的大学数学专业的学生（分别的）面谈关于分数除法的同一主题并未产生更好的结果。她的结论是，未来教师的学科准备迫切需要我们认真重新评估。

探究如何最好地帮助未来教师获得教学所需的数学理解自然早于 Ball 的研究，至少可以追溯到20世纪初。在新数学阶段的衰落时期1960年代，E.G. Begle 也思考了教师的学科知识和他们的学生成绩之间可能的相关性。在他1972年对308名高中代数教师的研究[2]中，他没有发现任何证据表明教师的数学训练数量会导致学生成绩的提高。这一发现在1979年得到进一步证实[3]。

自从 Begle 和 Ball 的工作以来的几十年里，他们发现的现象变得愈加清晰。我们将首先

科，与我们在大学教授的数学不同，我们可以正确地看待这些数据。

02

分数的除法：两种观点

我们将从两个角度探讨分数除法的主题。首先，我们描述小学生需要知道的回答 Deborah Ball 的问题的知识，其次，大学生在代数课程中关于分数除法可以学到的内容。由于篇幅所限，我们将只关注两者之间的关键数学差异，而不涉及教学后果。

当分数除法的话题在小学高年级被提出时，学生们面临一个真正的概念挑战：分数的概念比他们曾经遇到过的任何事物都具有更高程度的抽象，而除法的概念是关于分数的4种算术运算中最难以捉摸的。如果学生没有被告知这些概念的确切含义，他们就无法克服任何一个障碍。亚利桑那州小学老师 Kyle Kirkman 说：

“我了解到精确的数学定义是至关重要的。如果缺乏精确性，学生将用出现在他们的范式中似乎符合想法的任何内容填写定义所缺失或模糊的内容。并非所有数学本质上都是直观的，所以这肯定会导致错误的结论。[12,§4.2.4]”

不幸的是，中小学数学通常不给出分数的一个精确定义，而是用模糊的隐喻向学生解释分数，至少不是学生可以用以推理分数的4种运算。我们必须首先描述针对这种可悲情况的补救措施。我们将根据小学生感觉“真实”和“有形”的东西来定义分数，现在普遍接受的定义是所谓的数直线 (即数轴——小编注)上的一个点（见[9,§12.1-12.2]或[11,第1-18页]），如下所示。我们假设我们可以判断一条直线上的两个线段（即闭区间）是否具有相等的长度。数直线是一条水平线，其上的整数 (本文中，凡（非零）整数皆指正整数。——译注) 已被标识为点，因此数字1,2,3,...相继放置在0的右侧，线段[0,1],[1,2],[2,3],...都具有相同的长度（图1）。分母等于（例如）5的分数由整数和分点组成：每个线段[0,1],[1,2],[2,3],..被划分为5个相等的部分，即5个相等长度的线段（图2）。我们称这个序列是1/5序

最后一个等式是例行计算。

我们现在已经做了足够的工作来展示学校老师对小学生正确地教分数除法所需要的最少的数学知识。我们再次指出，这最低限度的知识通常并不是小学生在学校里被教授的。尽管如此，现在是时候讨论 Ball 1990年文章中关于为什么大学数学专业的学生也可能不具备此类知识的问题了。我们在下面的讨论中将只能提供最简单的大纲。

一门关于抽象代数的大学课程，它包括数学上定义分数的正确方法，本质上是对学生第一次介绍抽象数学。这样一门课程的主要目的是引导学生在所谓的抽象数学的新环境中迈出第一步。因而这些课程不懈强调的是正确的定义和证明，以及通过使用逻辑将所有复杂的数学现象简化为最基本的要素。对于手头的情况，让我们把自己放在学生已经拥有整数集

是，等式（1）是中小学数学中的一个定理，而同样的陈述（5）仅仅是大学数学中的一个定义。

我们现在可以解释为什么大学数学专业学生通常无法向小学生解释如何将两个分数相乘。首先，这些数学专业学生的大多数（如果不是全部的话）在他们自己上小学时都没有获得这种知识[16]。更重要的是，他们在大学数学课程中学到的分数是关于有理数集作为一个域的抽象结构，而不是关于分数与日常经验的关系。所以，并不是大学数学专业的学生都不懂分数，但他们对分数的理解并非是小学生所顾虑的。就乘法是除法的基础而言，同样的评论将适用于分数除法的中小学数学，正如我们现在所展示的。

作为大学数学使命的一部分，约简所有现象到基本要素，中小学数学中的4个算术运算减少

从抽象数学的观点来看，"除法"只是处于正确位置的乘法。数学专业的学生此时通常会忙于探索新的代数结构（群,域,环等），而根本不顾及任何除法或其在现实生活中的影响带来的任何困惑。如果他们不能帮助小学生克服"我们的问题不是推理，只是倒置和乘带来的任何困惑。如果他们不能帮助小学生克服"我们的问题不是推理，只是倒置和乘法"这样的恐惧，这不是再次——因为他们知道的比学校老师少，而是因为他们知道一些不同于小学生所关心的事情。

03

什么是中小学数学？

通过一个小话题分数除法我们可以看到所谓的大学数学（university mathematics）（大学教授的数学，是为了让学生做好研究数学的准备）和中小学数学（school mathematics）（在K-12学校教授的数学）之间关键的差别。前者的一个主要目标是向学生介绍抽象数学，主要强调的是逻辑完整性，并利用抽象来实现这一目标。不管这做得多么温和，但也太严格、太复杂而不适合在学校使用。主要来自触觉体验世界的学校学生需要一座桥梁来帮助他们过渡到抽象世界。中小学数学是那座桥，它应该被认为是一门独立的学科，致力于定制大学数学以满足学生的需求，就像化学工程是定制抽象化学原理以满足人类需求的学科一样。从这个意义上说，中小学数学是数学工程[7]。

但是，有好的工程，也有糟糕的工程。好的工程总是遵守与其相关的科学学科的基本原理——例如，机械工程不从事设计永动机——但糟糕的工程可能会做相反的事情。就数学而言，至少在美国糟糕的数学工程已经工作了很长时间；它产生的中小学数学似乎是对数学基本原理的嘲弄[16]。但在继续之前，让我们陈述数学基本原理的一个版本[8]：

(i)明确的定义（Clear definitions）：精确定义了每个概念，以便用于推理。

(ii)逻辑推理（Logical reasoning）：每个断言都得到以下推理的支持：解释为什么它是真的。（据了解，在少数特殊情形，如代数基本定理，可以推迟推理。）

(iii)准确的语言（Precise language）：在真假之间的区别是绝对的学科中，没有歧义的容身之地。

(iv)连贯性（Coherence）：概念和技能不是零散的和碎片，它们是一个连贯整体的一部分。

(v)目的性（Purposefulness）：每个概念或技能都是有目的的。

在前面关于分数除法的讨论中，我们已经看到了它们的全部作用。因此，分数、分数乘法和分数除法都被精确定义，使得利用推理来解释公式（5）和（6）成为可能。中小学数学

从分数的定义以及整数乘法的定义演变而来的。我们还展示了分数除法的定义是以整数除法的定义为模型的。最后，虽然分数乘法和除法概念的目的非常明显，但还有许多其他概念或技能在学校课程中的存在并没有得到很好的解释，例如，为什么学习如何四舍五入

到最接近的十或最接近的千（见[9,第10章]），为什么取实数的绝对值（见[15,第130-131页和[14,第120, 123页]）等。另请参阅下面对斜率（slope）的讨论。

我们将参考遵循数学基本原理作为PBSM（Principles-Based School Mathematics（基于原理的中小学数学）；见[5]）的中小学数学。

我们现在有了必要的工具来重新审视教师的数学教育问题，这个问题由 Begle, Ball 和其他人发现，但他们并未给以确切表达。在我们的语言中，他们的信息是，要培养出具有数学知识的教师，我们必须教授他们 PBSM，而不是大学数学。这是因为中小学数学和大学数学是相关但本质上不同的学科，因此了解大学数学并不意味着了解 PBSM。我们用一个小话题——分数除法——强调了他们的不同之处，但是还有很多其他这样的例子。让我们简要地看另外两个附加的例子以进一步为我们所说的理由辩护：一条直线斜率的概念，以及学校几何课程的广泛问题。类似的例子贯穿了6本书（见[9-11,13-15]）。

首先，考虑中小学数学如何处理"斜率"。典型的出发点是让学生保留他们在 Euclid（欧几里得）几何中对直线的幼稚概念，并根据这种幼稚的概念定义斜率。这样，在坐标平面

最后，关于学校几何课程的一些评论。这个课程有需要纠正的明显缺陷。我们已经提出了相似三角形教学与斜率教学相协调的必要性；这种需求通常得不到满足。还需要解释全等（congruence）和相似（similarity）的概念，因为它们很自然地出现在日常生活中。但是，学校课程在Euclidean几何课程中通常只教授三角形（triangle）全等和相似，而从不教授一般几何图形的全等和相似。这不仅是通识教育的缺陷，而且对中小学数学课程本身也是有害的，因为抛物线的全等和相似的一般知识将很好地阐明二次方程和函数的主题（见[13,§2.1和§2.2]）。最后但并非最不重要的，Euclidean几何课程通常被炫耀作为学校教育的皇冠上的明珠，它教学生如何在公理的基础上利用逻辑严格地证明一切。我们越早消除学校学生的这种错觉越好！的确，从Hilbert（希尔伯特，1862-1943）的工作开始，我们就知道Euclidean几何的公理系统异常微妙，其内部运作并不适合学校学生的教育（见Hartshorne（哈茨霍恩）著作[4]的前几章；即使是大学数学专业的学生也会付出沉重的代价）。中小学数学教育应该远离关于Euclidean几何公理系统这种编造，而是尝试引入相当多的冗余假设进入Euclidean几何，以尽量减少学生一开始证明许多无聊、明显且难以证明的定理。比较[15,第4-5章]和[13,第6-8章]。

不用说，大学数学的任何部分都不会在高中几何的演示中解决这些问题。这里需要严肃的数学工程，使平面几何真正为高中生所用。

04

一个存在性证明

到目前为止，我们一直主张有必要对未来的教师教授 PBSM。隐含的假设是 PBSM 总是一直在身边，并准备好接受。这是所做的一个令人愉快的假设，甚至是一个可以相信的更令人愉快的假设。然而清醒地意识到，世界上各种有缺陷的中小学数学很可能永远无法定制大学数学在不违反一项或多项数学基本原理的情况下供学校学生使用。Alan Schoenfeld (舍恩菲尔德) 似乎是教育工作者中第一个在 1994 年承认，尽管他认为应该存在类似 PBSM 的东西，但目前还没有书面证据证明确实如此[6]。我们可以在 2021 年报告，这个假设不再是一个假设：确实存在中小学数学的 PBSM 的完整阐述。它在 6本书中进行了描述: [9, 11]适合 K-5 年级教师，[10, 11]适合 6-8 年级教师，[13-15]适合 9-12 年级教师。

我们可以解释对 PBSM 13 年的完整阐述这样的必要性。已经有一些文章和书籍证明了在中小学数学中将推理引入一两个特定主题的可能性，但如此小规模的讨论无法揭示数学基本原理的本质。例如，为了让教师了解精确定义的必要性，我们不能只向他们展示一些关键主题的 PBSM，因为教师需要在中小学数学的各个方面体验这种需求，包括最普通概念的定义，例如百分率，比，速度，方程，变量，角度，不等式图像等. 考虑连贯性问题: 当通过显微镜观察中小学数学时，它通常是不可见的，例如关注分数加法或分数除法. 但是当分数的主题被作为一个整体来考虑时，那么等价分数定理将分数的所有不同部分一起变得有些令人叹为观止 (见[11, 第 28-86 页])。在稍大一点的规模上，当除法的概念被证明在整数，分数，有理数和实数上都是相同的时，人们也可以看到工作的连贯性[9]。我们应该补充的是，如果没有对中小学数学的这种纵向概述，学校几何课程的缺陷可能就不会被发现。

6 本书对 PBSM 的阐述，除了为学生的中小学数学课本提供基础之外，还详细展示了我们如何为教师提供更好的数学教育。在美国，对教师的教学分为 3 个年级段: 小学(K-5 年级)，初中(6-8 年级)和高中(9-12 年级)。如上所述，所说到的 6 本书中编写时考虑到了这些年级，因此，总的来说，他们现在对由 Begle, Ball 等人隐含地提出的原始问题提供了一个答案，即我们应该教老师什么样的数学? (在[15, 第 xxi 页]给出了对这个问题更详细的答案。) 毋庸置疑，中小学数学课程现在不是——也永远不会是——都一样，但尽管如此，我们希望这样一个完整的 PBSM 阐述将有助于更好的中小学数学教育，因为教育工作者无需执行必要的数学工程。现在应该相对容易地自由修改现有模型[9-11, 13-15]，以满足不同的需求。

致谢（略）

参考文献

[1] D. L. Ball, The mathematical understandings that prospective teachers bring to teacher education. Elementary School Journal 90, 449-466(1990)

[2] E. G. Begle, Teacher knowledge and student achievement in algebra. SMSG Reports, No.9, https://files.eric.ed.gov/fulltext/ED064175.pdf(1972)

[3] E. G. Begle, Critical Variables in Mathematics Education: Findings from a Survey of the Empirical Literature. Mathematical Association of America(1979)

[4] R. Hartshorne, Geometry: Euclid and Beyond. Springer(1997)

[5] R. C. Poon, Principle-based mathematics: an exploratory study. Dissertation at University of California, Berkeley, http://escholarship.org/uc/item/4vk017nt(2014)

[6] A. Schoenfeld, What do we know about Mathematics Curricula? J. Math. Behavior 13, 55-80(1994)

[7] H. Wu, How mathematicians can contribute to K-12 mathematics education. In Proceedings of International Congress of Mathematicians, Vol. III(Madrid, 2006), European Mathematical Society, 1676-1688, http://math.berkeley.edu/~wu/ICMtalk.pdf(2006). 中译文链接>> 数学家如何为中小学数学教育做出贡献

[8] H. Wu, Phoenix rising. Bringing the Common Core State Mathematics Standards to life. Amer. Educator 35, 3-13, www.aft.org/pdfs/americaneducator/fall2011/Wu.pdf(2011). 中译文链接>>伍鸿熙：凤凰涅槃——让核心数学标准焕发生机

[9] H. Wu, Understanding Numbers in Elementary School Mathematics. American Mathematical Society, Providence(2011). 有中译本，中译本书名《数学家讲解小学数学》，赵洁、林开亮译，北京大学出版社.

[10] H. Wu, Teaching School Mathematics: Algebra. American Mathematical Society, Providence(2016). 有中译本，中译本书名《数学家讲解中学数学——代数》，程晓亮、车明刚、郑晨译，北京大学出版社.

[11] H. Wu, Teaching School Mathematics: Pre-Algebra. American Mathematical Society, Providence(2016)

[12] H. Wu, The content knowledge mathematics teachers need. In Mathematics Matters in Education, edited by Y. Li, W. J. Lewis and J. Madden, Springer, Cham, 43-91, https://math.berkeley.edu/~wu/Contentknowledge1A.pdf(2018)

[13] H. Wu, Algebra and Geometry. American Mathematical Society, Providence(2020)

[14] H. Wu, Pre-Calculus, Calculus, and Beyond. American Mathematical Society, Providence(2020)

[15] H. Wu, Rational Numbers to Linear Equations. American Mathematical Society, Providence(2020)

[16] H. Wu, Learnable and unlearnable school mathematics. https://math.berkeley.edu/~wu/AE2020A.pdf(2021)

本文原载于《数学译林》, 2022, 41(3)。

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