数学家是怎么知道无穷大有多种大小的？——译自量子杂志Quanta Magazine

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一旦触及 “无穷”，人类的直觉便会失效。首先要明确的是：有些无穷确实比其他无穷更大。

图源：Quanta Magazine

作者：Mark Belan、Jordana Cepelewicz（量子杂志编辑）2026-2-23

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2026-2-24

无穷的概念向来难以被世人接受。亚里士多德彻底否定了无穷的存在，在他看来，无穷不过是一个永远无法企及的极限，并非真正的数学实体。17 世纪初，伽利略写道，人们对集合和数字的常规思考方式在无穷的领域中毫无意义，数学家若试图将惯用的研究方法套用于此，只会陷入种种悖论。两百年后，格奥尔格・康托尔将 “无穷存在多种大小” 这一观点系统化、理论化，却招致了世人的愤怒与质疑，他的同僚们更是将他的研究成果斥为疯子的呓语。

但随着时间的推移，康托尔关于集合与无穷的研究，最终成为了现代数学的基石。另一位数学巨匠大卫・希尔伯特后来写道：“没有人能将我们从康托尔为我们缔造的乐园中驱逐出去。”

那么，数学家是怎么知道无穷大有多种大小的？

欢迎来到康托尔的乐园。

第一部分 计数的本质是什么？

数学家借助集合进行计数。

集合（set）指的是任意一组对象的集合体，一个集合中包含的对象数量即为该集合的大小，或称 “基数”（cardinality）。

我们对一个集合中的对象进行计数时，本质上是将自然数（1、2、3 等等）与集合中的每个对象一一配对。

当数学家将这种计数方法应用于无穷集合时，有趣的现象便出现了。

第二部分 对无穷进行计数

自然数集……

…… 看起来似乎是偶数集的两倍大。

毕竟，自然数集中既包含了所有的偶数，也包含了所有的奇数。

但这种直觉其实是错误的，原因如下。

我们把两个集合中的数字一一罗列出来。

可以将每个自然数与每个偶数两两配对。

结论：这种完美的一一配对关系说明，这两个集合的大小是相同的。

任何能与自然数集建立一一对应关系的集合，都被称为 “可数” 无穷集。这类集合是无穷集中基数最小的一类。

第三部分 更复杂的计数问题

自然数集……

…… 看起来似乎比有理数集（即分数集）小得多。

毕竟，仅在 0 到 1 这一个区间内，就存在无穷多个有理数。

我们来对这两个集合做个比较。

首先，将有理数集排列成一个网格。第一行是所有的自然数，以分数形式呈现：1/1、2/1、3/1，依此类推。

第二行的每个分数，分母都比第一行对应位置的分数大 1，即 1/2、2/2、3/2，依此类推。重复这一步骤，便能得到无穷多行，每一行又包含无穷多个数字。

我们试着将这个集合与自然数集建立配对关系。如果只是将每个自然数与第一行的数字一一配对，那永远也无法触及第二行的数字。

但有一种方法能让我们画一条线穿过这个网格，经过其中的每一个数字，那就是沿着一条曲折的路径遍历所有数字。

现在，按照这条路径上数字出现的顺序，将每个自然数与每个有理数两两配对。遇到重复出现的数字（比如 2/2，它和 1/1 是同一个数）时，直接跳过即可。通过这种方式，就能让每个自然数都与每个有理数形成一一配对。

结论：这两个集合的大小再次相等。

但康托尔证明了，存在更大的无穷集 —— 即无法与自然数集建立一一对应关系的 “不可数” 无穷集。

第四部分 更大的无穷

自然数集……

…… 看起来似乎比实数集小得多，实数集既包含了所有的分数，也包含了√2、π 这类无理数。

我们来看看对这两个集合进行比较会得到什么结果。

我们先假设，和之前的例子一样，能将每个实数与每个自然数一一配对，且无任何遗漏。

接下来我们将证明，这种假设是绝对无法成立的。

先列出你所认为的所有实数。接着，利用这个列表构造一个新的数字：取列表中第一个数字的第一位小数，将其加 1，作为新数字的第一位小数；取列表中第二个数字的第二位小数，将其加 1，作为新数字的第二位小数。依此规律，顺着列表一直推导下去。

通过这种方式构造出的新数字，必然不在你最初的列表之中。它的第一位小数与列表中第一个数字的第一位小数不同，第二位小数与列表中第二个数字的第二位小数不同，依此类推。这说明我们最初的假设 —— 即能列出所有实数并将其与自然数一一配对 —— 是错误的。

结论：实数集的基数一定大于自然数集。

实数集是不可数的无穷集。

第五部分 实数间的关联

0 到 1 之间的实数集……

…… 看起来似乎应该是 0 到 2 之间实数集的一半大。

这和我们第一个例子的直觉感受如出一辙：自然数集看似是偶数集的两倍大，但最终发现两者的基数其实是相同的。

那么这个例子也是如此吗？

从 0 到 1 的实数集中任取一个数字，比如 0.6，将其与 0 到 2 的实数集中两倍于它的数字（此处即 1.2）配对。

将这个方法应用于 0 到 1 的实数集中的每一个数字，就能让这两个集合形成完美的一一配对关系。

结论：这两个集合的大小是相同的。

事实上，0 到 1 之间的所有实数组成的集合，其基数与全体实数组成的集合完全相同。实数轴上任意一段区间内的实数集，基数都是相同的。

尾声：康托尔的乐园

以上只是无穷集违背人类直觉的几个例子而已。看似大小不同的无穷集，实际基数可能完全相同；当然，也存在一个无穷集的基数远大于另一个的情况。我们在此仅展示了无穷的两种基数，但实际上，无穷的基数有无限多种。

康托尔的这一证明，让数学家们开始重新审视那些他们曾深信不疑的理论，进而催生出了新的研究领域，也让数学界开始重新审视这门学科 —— 探讨数学的能力边界，甚至重新思考数学的本质。

如今，数学家们仍在探索康托尔的乐园，试图探寻数学的极限。对于这个光怪陆离、充满悖论的领域，他们早已不再心存畏惧。

图源：Quanta Magazine

参考资料

https://www.quantamagazine.org/how-can-infinity-come-in-many-sizes-20260223/

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