筑基·涌现 | 2025 集智学园年终盘点：用数学与物理的语言，理解复杂系统

导语

岁末年初，回望这一年的知识探索之旅。这一年，人工智能依然在狂飙突进，但我们也看到了更多的困惑：

• 智能涌现的底层机制是什么?

• 如何用数学与物理的语言描述复杂系统?

• 面对高维、非线性、非平衡系统，我们缺少什么工具?

在集智学园，我们相信答案藏在复杂科学的深处。

多年来，我们持续深耕复杂系统与人工智能领域的课程建设。2025 年，我们更进一步——携手北京师范大学系统科学学院、华侨大学、北京邮电大学、武汉大学、北京工业大学等多个学术机构的 26 位研究学者，为这座知识大厦添砖加瓦：更加注重数学与物理基础，打造了一条从数学筑基到系统整合的学习路径。2025年的7 门系统化课程，涵盖线性代数、拓扑学、统计物理、涌现动力学、重整化群、系统科学前沿，构建起理解复杂系统的知识框架。

这不仅是一年的课程回顾，更是一场从数学筑基到系统涌现的知识之旅——邀请你一起出发。

王朝会丨整理

一个知识阶梯

2025 年，集智学园构建了一条更加清晰的认知升级路径：

第一阶：数学筑基→ + ，打造科研人的底层工具箱

第二阶：物理深化→ + + ，理解系统涌现的深层机制

第三阶：系统整合→ 系统科学前沿（ + ），构建完整的复杂系统思维框架

从最基础的数学语言，到统计物理的思维方式，再到涌现动力学的核心机制，最终在系统科学的高度上完成整合，形成理解复杂世界的完整框架。

第一阶：数学筑基——科研人的底层工具箱

工欲善其事，必先利其器。复杂系统研究的第一步，是掌握正确的数学语言。集智学园精心制作了拓扑学和线性代数基础课程。

1、线性代数：一名合格科研人的筑基课

你真的懂线性代数吗？

矩阵不只是数字的排列，特征值不只是计算的结果。在系统科学的视角下，线性代数是理解“结构”、刻画“变换”、判断“稳定性”、提取“信息”的基本思维框架。

无论你研究 AI、生物信息、网络科学还是物理工程，几乎所有复杂系统的建模与推理都指向这种底层语言。

由诸葛昌靖、周进两位老师主讲的《线性代数》课程以系统科学的视角重新解构线性代数，带你越过技巧、直达本质，在跨学科的真实问题中建立起科研必备的数学基石。

课程目标：

1. 从向量空间到内积空间，建立完整的几何直觉

2. 理解秩、零空间、特征方向的系统科学意义

3. 掌握矩阵分解背后的降维与结构提取思想

4. 连接真实科研场景：透视复杂网络的核心

课程大纲（8讲+2次加餐）：

1. 游戏角色如何平滑变形？——线性映射与向量空间如何保持结构不变性

2. 人耳如何分离不同音调？——内积与正交分解如何实现信号解耦

3. Transformer如何计算注意力？——矩阵乘法如何编码信息关联与变换

4. 大模型为何能压缩参数？——信息重构、信息冗余及其有效维度

5. 系统长期行为由什么决定？——特征值如何刻画稳定性与主导模式

加餐：透视复杂网络的核心——特征值与特征向量初探(上)

1. AI绘画如何表示“戴帽子的猫”？——奇异值分解（SVD）如何构建语义潜在空间

加餐：透视复杂网络的核心——特征值与特征向量初探(下)

1. 大模型能“推理”吗？——形式逻辑如何界定数学证明与统计模仿的边界

2. 线性代数如何成为通用建模语言？——跨学科应用案例

课程详情：

2、拓扑学的思维革命：从空间直觉到系统科学

• 为什么咖啡杯在数学上等于甜甜圈？

• 为什么混沌系统中会出现“奇怪吸引子”的模式？

• 为什么神经网络、量子物理甚至心理结构，都可以从拓扑角度理解？

与几何学追求“测量”不同，拓扑学探索的是形之骨架。在拓扑视角下，咖啡杯与甜甜圈属于同一种结构，因为它们都有一个“洞”。拓扑学的研究对象可以是平面与曲线，也可以是高维流形、网络、乃至状态空间（“可能性空间”）。系统的整体性质和相互关系通过连续映射与结构连接来刻画。拓扑学不仅是数学的抽象分支，更是一种系统的思维方式，用于理解连续性、结构不变性和复杂系统的整体规律。从欧拉七桥问题到DNA的缠绕，从量子场论到脑科学中的概念，拓扑学思想正在各学科中深刻地重塑我们的认知方式。

由金威老师主讲的《拓扑学的思维革命》课程以问题为导向、历史为线索、思想为核心，带领学习者循着数学思想的发展脉络，理解拓扑学如何从几何与分析的边界中诞生，并演化为刻画“关系与整体”的普适语言。

课程目标：

1. 揭示拓扑概念形成背后的思想动力与逻辑转折

2. 超越传统数学课程，不仅传授知识，更是一场思维训练

3. 聚焦核心概念，深入理解“关系”“结构”“不变”的本质

课程大纲（9讲+1次加餐）：

1. 七桥一笔参形数，欧拉示性开新章——拓扑学的诞生

加餐：诸贤辟鸿蒙，新学燃火种——拓扑学如何推动数学史

1. 集诸物降凝为空间，衡度量升以演拓扑——结构思维与拓扑空间的概念

2. 形变万端守枢机，异体同构共天倪——映射与同胚，拓扑与范畴

3. 地脉豁然一贯通，随心炼石笼天穹——连通性与紧致性

4. 观径变以探广宇，析域类而彰群伦——同伦与同调简介（一）

5. 勘玄府而窍辨，布算谱则群列——同伦与同调简介（二）

6. 审其阴阳，以别柔刚——同调与上同调、曲率与整体性

7. 见大象之形，致无穷之用——拓扑思想在理论与现实中的应用

8. 形器有涯，玄理无疆——总结与拓展：从几何直观到系统思维

课程详情：

第二阶：

物理深化——理解系统涌现的深层机制

从微观到宏观，涌现如何发生？有了数学工具，下一步是理解物理世界的运作规律。统计物理、涌现动力学与重整化群方法，正是连接微观与宏观、个体与整体、局部与全局的理论桥梁。

3、统计物理基础：从微观随机到宏观确定

大量微观粒子的随机运动，如何涌现出稳定的宏观定律？

这是统计物理的核心问题，也是理解复杂系统的关键。从气体分子到神经网络，从相变到临界现象，统计物理在此不只是解释热现象的一门理论，而是一种在高维复杂世界中组织信息、发现结构、提炼规律的方式。

由李永乐老师主讲的《统计物理基础》课程，以热力学和经典力学为起点，依次展开 Boltzmann 统计、系综理论、量子统计、相变与非平衡统计等核心内容，围绕一个核心问题展开：大量微观粒子的随机运动如何涌现出稳定的宏观定律？

课程目标：

1. 从微观随机到宏观确定的思维训练

2. 从平衡与非平衡、从经典到量子

3. 掌握处理多粒子系统和复杂随机过程的通用工具

课程大纲（8讲）：

1. 宏观热力学量之间的关系？——热力学量、热力学基本定律、麦克斯韦关系、特性函数

2. 熵究竟“数”的是什么？——热力学的统计基础

3. 多体系统的状态如何描述？——相空间与系综理论基础

4. 如何描述恒温系统？——正则系综与配分函数（2次课程）

5. 粒子数不再固定，会发生什么？——巨正则系综与开放体系

6. 对于量子系统，统计规则如何改变？——量子统计基础与简单气体

7. 相变与非平衡现象如何描述？——相变与非平衡统计初步

课程详情：

4、复杂系统的涌现动力学

• 什么是复杂系统？什么是涌现？

• 复杂系统涌现行为的机理是什么？

• 什么是序参量？怎样寻求复杂系统的序参量？

• 如何建立复杂系统的序参量动力学描述？

从鸟群的集体飞行到神经元的同步放电，从心跳的节律到人工智能的涌现能力，复杂系统的集体行为背后隐藏着深刻的动力学规律。

由郑志刚老师主讲的《复杂系统的涌现动力学》系列课程，从涌现的基本物理和数学原理出发，构建涌现动力学的基本理论框架，并将其应用于节律行为、同步、集群、时空斑图、智能与人工智能等热点问题。

课程目标：

1. 微观相互作用如何涌现宏观集体行为

2. 序参量理论：用更少变量描述复杂系统

3. 从基本原理到同步、集群、智能等前沿应用

课程大纲（8讲+回顾）：

1. 复杂系统涌现的理论基础

2. 复杂系统涌现的序参量理论

3. 时域的涌现：节律与集体振荡

4. 时域的涌现：同步（一）

5. 时域的涌现：同步（二）

6. 空域的涌现：集群

7. 时空的涌现：非线性波与斑图

8. 神经网络动力学

复杂系统的涌现动力学系列课程回顾与展望

课程详情：

5、重整化群分析在非线性物理中的应用

面对高维、非线性、非平衡的复杂系统，如何找到有效的分析方法？

重整化群方法始于场论，在凝聚态相变中发展，经 Widom、Kadanoff 和 Wilson 等人拓展，成为联系不同尺度物理规律的有力工具。在复杂系统研究中，它可以帮助我们进行状态粗粒化并导出粗粒化后的方程，也可以用来解析或数值计算非线性动力系统中的重要轨道。

由兰岳恒老师主讲的《重整化群分析在非线性物理中的应用》课程系统讲述重整化群这一理论框架，怎样用来分析高维非线性系统的性质，实现方程的求解与约化。

课程目标：

1. 从复杂系统建模出发，讲述对称性、不变性与变换群的关系

2. 重整化群在非线性动力学中的应用：约化方程、搜寻重要轨道

3. 连接 Koopman 算符本征函数等现代方法

4. 联接动力学和统计方法的桥梁和有力工具

课程大纲（6讲）：

1. 复杂系统及其建模

2. 对称性、不变结构与变换群

3. 重整化初步

4. 非线性动力学的重整化群分析

5. 重整化群确定非线性体系的重要轨道

6. 重整化群分析的更多应用

课程详情：

第三阶：系统整合——构建复杂系统思维框架

有了数学工具和物理深化，我们终于可以站在系统科学的高度，将所有知识整合为一个完整的思维框架——从微观机制到宏观结构，从理论分析到实际应用，从生命系统到人工智能。

6+7、系统科学前沿（第一期+第二期）

当 AI 遇到瓶颈，当智能涌现成为谜题，当复杂系统的规律难以捉摸，我们需要回到更基础的问题：

• 系统科学的核心思想是什么？

• 如何用系统的视角理解统计物理、生命智能、社会行为？

• 复杂网络、人工智能与系统科学有什么深层联系？

• 如何将系统科学应用于数字化转型等产业实践？

北京师范大学系统科学学院与集智学园联合推出《系统科学前沿》两期系列课程，第一期以系统科学的理论基础与核心方法论为重点，第二期以前沿探索与产业应用的深度拓展为重点。这个系列课程是本年度的爆款课程，有超过600人加入，欢迎更多朋友加入，共同走进系统科学。

第一期课程大纲（10讲）：

1. 无尽的前沿——系统科学简介

2. 统计物理与地球复杂系统

3. 群体行为与多主体建模

4. 复杂网络理论及其应用

5. 自组织理论

6. 复杂系统与人工智能

7. 大脑复杂性中的前沿专题

8. 生命复杂性

9. 社会经济系统复杂性探索

10. 科学学与复杂系统研究

课程详情：

第二期课程大纲（10讲）：

1. 复杂系统相变与临界现象

2. 用系统思维降解数字化项目集群的复杂性难题

3. 信息和复杂度对生命系统的约束

4. 探索脑与智能的复杂性

5. 复杂网络视角下的脑结构与功能

6. 探索科学文献空间的复杂性

7. 多主体建模 vs 系统动力学

8. 复杂性理论破解材料之谜

9. 揭示复杂国际贸易演变背后的驱动机制

10. 大脑学习记忆之中的复杂性

课程详情：

2026 年，继续前行

从数学到物理，从筑基到涌现，从理论到实践。

2025 年，我们用数学与物理的语言，构建起理解复杂系统的框架。

2026 年，这场从基础到前沿的系统科学探索，邀请你一起继续前行。集智学园将继续深耕系统科学与复杂系统领域，推出更多高质量课程，举办更多学术活动，连接更多学术与产业资源。

如果你也相信：

• 复杂系统的涌现规律可以被理解和预测

• 数学和物理是理解复杂世界的基本语言

• 系统科学的思维方式能带来真正的创新

• 从微观到宏观、从局部到整体的系统视角至关重要

• 跨学科的知识整合是未来科研的必然趋势

那么，欢迎加入我们。

筑基·涌现——我们在集智学园等你。