17岁天才轻松掌握拉格朗日，为何我们的学生却停留在“套公式”阶段？

学生面对的是已经打磨光滑的成品，他们看不到这些成品是如何被雕琢出来的。

——题记

引言

1827年的巴黎，路易大帝中学的图书馆里，一个16岁的少年正捧着一本厚书埋头阅读。这本书是拉格朗日的《解析函数论》，这是一部连当时许多大学教授都视为畏途的著作。少年读得入迷，时而皱眉思索，时而露出会心的微笑，偶尔还在页边写下批注。

拉格朗日： 十八世纪欧洲最伟大的数学家

这个少年就是埃瓦里斯特·伽罗瓦。五年后， 他将在这份阅读的基础上，创立改变整个数学面貌的群论。

一个震撼数学史的事实是：当伽罗瓦开始阅读拉格朗日时，他还不到15岁；当他真正理解并开始超越拉格朗日的思想时，也不过17岁。按今天的标准，这正是高中生的年纪。

伽罗瓦的故事引发了一个深刻的追问：为什么一个17岁的少年能够读懂如此艰深的数学著作？今天的高中生甚至大学生，为什么绝大多数读不懂拉格朗日？是我们的教育出了问题，还是伽罗瓦实在太过特殊？

这个问题不仅关乎历史，更直指当代创新教育的核心。今天，当我们谈论“培养创新型人才”时，是否真正理解天才成长的规律？我们的教育环境，是在滋养还是扼杀潜在的伽罗瓦？带着这些问题，让我们从伽罗瓦的成长经历出发，进行一次系统的教育反思。

而贯穿我们整个反思的核心，正是题目中那对意味深长的选择：是满足于传授“逻辑的结晶”——那些已经被打磨光滑的结论与技巧，还是带领学生重回“思考的历程”——那些充满探索、困惑与发现的鲜活思想旅程？

壹

不寻常的阅读路径

1811年10月25日，伽罗瓦出生于巴黎郊外的莱茵堡小镇。他的母亲是一位受过良好教育的女性，在伽罗瓦12岁之前，一直在家亲自教授他各种知识。除了基本的读写算，母亲还把自己对古典文化的热爱，把古希腊的英雄主义、浪漫主义灌输给伽罗瓦。早期的人文滋养，或许为伽罗瓦日后那种追求真理、蔑视权威的性格埋下了种子。

伽罗瓦：群论之父

1823年，12岁的伽罗瓦进入巴黎路易大帝中学。这是一所声望极高但管理专制的学校。起初，他对古典文学充满兴趣，成绩优异。但次年，因为特殊的原因，学校要求他降级重读，这个倔强的少年开始对常规课程产生厌烦，转而将全部热情投向数学。

就在这令人厌烦的一年，伽罗瓦发现了勒让德的《几何学原理》。这本书对普通中学生来说需要两年才能消化，但伽罗瓦却像读故事书那样，一口气读完了它，并掌握了全部内容。里夏德老师后来在报告中写道：“这个学生有着超出他所有同学的明显优势；他只在数学最先进的部分上工作。”

读完勒让德之后，伽罗瓦对学校的代数课本彻底失去了兴趣。他觉得那些教科书“过于肤浅”，于是做出了一件在当时看来极其反常的事，直接啃读当代数学大师的原始著作。

他扑向了拉格朗日的三部经典著作：《关于代数方程解的思考》《解析函数论》《函数演算讲义》。这三部作品，尤其是后两部，是拉格朗日晚年对微积分基础进行重构的尝试，其中充满了深刻的哲学思考和复杂的数学推导。它们是为成熟的职业数学家准备的，而不是给初学者的教材。然而伽罗瓦沉浸其中，如饥似渴地吸收着拉格朗日的思想。

一个十四五岁的孩子，就这样吮吸着写给职业数学家看的代数分析杰作。这需要的不仅是天赋，更是一种非同寻常的专注和热情。正如一位老师所观察到的：“这个孩子完全陷在数学的狂热中。我认为，如果他的父母允许他除了数学可以不学习其它科目，这将是对他最有好处的。”

1828年，17岁的伽罗瓦遇到了改变他命运的人——高等数学教师路易-保罗-埃米尔·里夏尔。

里夏尔不是一位普通的中学教师。他利用业余时间到巴黎大学听讲座，及时了解当时数学家的最新进展，并把新知识传授给学生们。19世纪法国好几位杰出的数学家，如勒威耶、塞尔、埃尔米特都出自他的门下。

里夏尔一眼就认出了眼前的这个学生意味着什么。他在学期报告中写道：“这个学生只宜在数学的最高领域中工作。他的才能远远超出他的同学们，我建议他直接进入综合工科学校。”他还公开宣称伽罗瓦是“法国的阿贝尔”。

正是在里夏尔的鼓励和指导下，伽罗瓦开始将他17岁时做出的基本发现整理成论文。1829年3月，他发表了自己的第一篇论文（关于连分数）。从此，他不仅仅是一个学者，更是一个有创造力的数学家。

贰

伽罗瓦如何超越拉格朗日

读懂拉格朗日的“路线图”。

伽罗瓦读拉格朗日，不是简单地学习具体技巧，而是读懂了一幅思想的“路线图”。

1770年，拉格朗日发表巨著《关于代数方程解的思考》，在这部作品中，拉格朗日完成了一次深刻的“元分析”。他系统审视了历史上求解三次、四次方程的所有成功方法，发现它们都可以被统一到一个框架下——通过构造“预解式”，将原方程转化为次数更低的辅助方程来求解。

在这个过程中，拉格朗日清晰地认识到，“根的置换”是理解整个问题的关键。他研究了当根的排列发生变化时，各种根的函数如何变化，并发现了一个深刻规律：一个函数在所有可能置换下能取到的不同值的个数，是总排列数的一个因子。这已经触碰到了后来群论中“轨道”与“群的阶”的概念边缘。

但是，当拉格朗日试图将这套方法应用于五次方程时，他遭遇了重大挫折。他构造出的预解式不是期望中的更低次方程，而是一个六次方程，问题反而变得更复杂了。这个失败强烈地暗示，五次方程可能具有某种根本性的不同。

拉格朗日虽然没有解决五次方程问题，但他留给后人的是一份清晰的问题清单：为什么三次、四次方程可以用预解法求解？为什么五次方程会失败？根的置换与方程可解性之间究竟存在怎样的深层联系？

超越“怎么算”到“为什么”。

这正是伽罗瓦从拉格朗日著作中读到的精髓。他不是在寻找现成的答案，而是在理解前人提出的问题和遇到的障碍。史料记载，伽罗瓦“通过改进数学大师拉格朗日的思想，设法绕过拉氏预解式，但又从拉格朗日那里继承了问题转化的思想，即把预解式的构成同置换群联系起来的思想”。

换句话说，伽罗瓦的天才不在于他发现了前人没有发现的事实，而在于他读懂了拉格朗日问题中的深层结构。他知道拉格朗日已经走到了哪里，也知道他停在了哪里，这正是17岁的少年能够继续前进的起点。

值得注意的是，伽罗瓦最初并不知道阿贝尔已经证明了五次方程不可解。这意味着，他从拉格朗日那里出发，独立地走到了比阿贝尔更远的地方。阿贝尔证明了“不能”，伽罗瓦解释了“为什么不能”，这正源于他对结构本质的深刻把握。

伽罗瓦拥有“结构直觉”的思维特质。

为什么伽罗瓦能够从拉格朗日的分析中提炼出别人看不到的东西？这涉及他独特的思维特质。

当时，大多数数学家看待数学的方式是“计算性的”，他们关注的是如何算出结果，如何找到公式。

但，伽罗瓦看待数学的方式是“结构性的”，他关注的不是具体的数字和表达式，而是隐藏在它们背后的关系模式。

一位研究者这样描述伽罗瓦的工作方式，“伽罗瓦几乎完全凭心算进行最困难的数学研究”。他不屑于在纸上详细写出论证过程，因为他更关心的是数学对象之间的结构关系，而不是繁琐的计算步骤。这种思维习惯让他在阅读拉格朗日时，能够穿透那些具体的计算，直接把握住“置换群”这个抽象概念的核心。

这种思维特质在当时的数学界是极其罕见的。

这也解释了为什么后来泊松院士在审阅伽罗瓦的论文时，给出的结论是“完全不可理解”。不是泊松不够聪明，而是他仍然在用传统的计算性思维试图理解伽罗瓦的结构性思维。

但两种思维方式之间存在根本的隔阂。

叁

伽罗瓦能力来源的深层分析

综合史实，我们可以提炼出伽罗瓦能力的几个关键

第一，卓越的“结构直觉” 。 这是最根本的。伽罗瓦对数学结构的敏感度远超常人。他看待方程时，看到的不只是系数和根，而是这些根之间可能存在的置换关系以及这些关系构成的整体结构。这种直觉让他在阅读拉格朗日时，能够准确把握住那些预示着未来发展的思想萌芽，而不是迷失在具体的计算细节中。

第二，独特的阅读路径 。伽罗瓦没有按部就班地学习教科书，而是直接进入思想的第一现场。他阅读的是拉格朗日的原始著作，而不是经过多道过滤的二手教材。这让他从一开始就接触到数学最前沿的问题和最深刻的思考方式。正如他的老师里夏尔所言，他“只在数学最先进的部分上工作”。

第三，极度的专注与热情 。 伽罗瓦对数学的热爱近乎痴迷。老师们用“狂热”来形容他对数学的态度。他愿意为理解一个问题花费无数时间，愿意在心算中反复推演复杂的结构。这种极度的专注，让他能够穿透表面的复杂性，直达问题的核心。

第四，时代提供的环境 。19世纪初的法国，是世界的数学中心。巴黎汇聚了拉格朗日、拉普拉斯、勒让德、傅里叶、柯西等顶尖数学家。伽罗瓦就读的路易大帝中学是巴黎最著名的中学之一，更重要的是，他遇到了里夏尔这样的良师。里夏尔不仅自己紧跟数学前沿，还无私地引导和鼓励伽罗瓦。

第五，思维方式的独特性 。伽罗瓦追求“为什么”而非“怎么算”，关注“结构”而非“技巧”。他在阅读拉格朗日时，没有被那些具体的计算所淹没，而是把握住了拉格朗日思想中关于“置换”和“不变性”的精髓。这种思维方式让他能够从拉格朗日停步的地方继续前进。

这五点共同作用，让17岁的伽罗瓦不仅读懂了拉格朗日，而且站在拉格朗日的肩膀上，迈出了创建群论的那决定性一步。

肆

为什么现在的学生读不懂拉格朗日

现在回到问题的另一面：今天的高中生甚至大学生，为什么绝大多数读不懂拉格朗日？

一是知识体系的隔阂。

拉格朗日的著作使用18世纪的数学语言和符号，与现代教材差异巨大。即使有现代译本，也需要读者具备相当的背景知识：对微积分的深入理解、对代数方程理论的系统了解、对数学思想史的熟悉。现代高中生的数学知识主要围绕应试展开，对拉格朗日涉及的领域往往只有零星接触，远不足以支撑独立阅读。

二是教育目标的根本转向。

19世纪的数学教育，目标是培养“数学思考者”；今天的教育，目标更多是培养“解题熟练工”。现代数学教育强调“循序渐进”和“螺旋上升”，这有其合理性，但也导致了一个普遍现象：学生的知识边界被严格限定在课程标准之内。高中生的数学学习被精确地划分为代数、几何、概率等模块，每个模块有明确的知识点和难度层级。超过课程标准的内容，即使学生有兴趣、有能力，也很难获得系统学习的机会。

更重要的是，今天的教材呈现的是“逻辑的结晶”，而非“思想的历程”。

拉格朗日在著作中会阐述问题的由来、前人的探索、自己的思考过程，而现代教材通常只给出定义、定理和证明。

学生很少有机会接触原始文献，更不用说独立阅读并理解其中的思想了。一位研究者曾感叹：“学生面对的是已经打磨光滑的成品，他们看不到这些成品是如何被雕琢出来的。”

三是思维训练的差异。

有研究调查了本科生和研究生学习拉格朗日方程时遇到的困难，发现学生面临各种类型的困难，概念的、推理的、数学技巧的，总计57种之多。这说明，即使到了大学阶段，学生对拉格朗日工作的理解仍然存在系统性障碍。这些障碍很大程度上源于学生长期只接触“简化版”的数学，从未真正面对过数学思想的原初形态。

四是语言与文化的障碍。

拉格朗日的著作是法文的，其表述方式融合了哲学思考、历史回顾和数学推导，与现代数学教材那种“定义-定理-证明”的标准格式完全不同。现代学生已经习惯了后者，面对前者时往往会感到陌生和困难。

伍

创新教育的经验：四个维度的对比与思考

通过对伽罗瓦成长环境的分析以及与今日教育的对比，我们可以从四个维度获得深刻启示。

教育程度的对比：从“学完”到“学到”。

19世纪法国的数学教育虽然整体水平有限，但它为有能力的学生打开了通往前沿的大门。伽罗瓦的数学老师里夏德在报告中写道：“这个学生只宜在数学的最高领域中工作。他的才能远远超出他的同学们，我建议他直接进入综合工科学校。”里夏德的评语揭示了一个关键事实：在当时的法国教育体系中，学生被允许、甚至被鼓励“超越常规”，接触真正的前沿知识。

反观今天的教育，学生的知识边界被严格限定在课程标准之内。超过课程标准的内容，即使学生有兴趣、有能力，也很难获得系统学习的机会。教育的深度，不在于覆盖了多少知识点，而在于学生能否触及知识的源头。我们是否过于强调“学完”而忽视了“学到”？是否给了学生足够的空间和机会，去接触那些真正激发思想火花的原始智慧？

教育方法的对比：从“怎么算”到“为什么”。

拉格朗日不仅是一位伟大的数学家，也是一位卓越的教师和思想家。他的著作有几个显著特点：逻辑清晰，注重概念的明确和推理的严谨；重视思想，经常在书中阐述数学思想的发展脉络；深入浅出，尽管内容艰深，但表述力求清晰易懂。

他在《关于代数方程解的思考》中，并不是简单地给出解法，而是系统地分析前人方法的本质，揭示其中的共同结构，这正是伽罗瓦最感兴趣的部分。拉格朗日告诉读者的，不是“怎么算”，而是“为什么这样算”和“背后隐藏着什么关系”。

伽罗瓦的学习方式正是这种思想的体现。他关注的是数学的“结构”而非“技巧”。他不屑于在纸上详细写出论证过程，因为他更关心的是数学对象之间的结构关系。这种思维习惯让他能够穿透具体的计算，直接把握住“置换群”这个抽象概念的核心。

反观今天的数学教育，主流的教学方式是“定义-定理-证明-例题-练习”的循环。学生花费大量时间记忆公式、模仿解题步骤、做重复性练习。

考试评价的核心是解题速度和准确率。这种模式培养出来的是“解题熟练工”，而非“数学思考者”。如果继续沉迷于“解题技巧”的训练，培养出来的学生可能会解题，但永远不会提出问题；可能会计算，但永远不会洞察结构。这样的教育，如何能培养出下一个伽罗瓦？

教师识人伯乐的对比：里夏尔与今日教师的困境。

里夏尔之所以能成为伽罗瓦的伯乐，有三个关键因素：第一，他本人处于数学研究的前沿，了解什么才是真正的数学；第二，他有一双识别天才的慧眼，能够发现伽罗瓦的与众不同；第三，他有足够的胸怀和自主权，给予伽罗瓦最大的支持和引导。

反观今天的教师，处境要复杂得多。首先，大多数中学教师自身的知识储备和研究视野有限。师范教育培养的是“教学专家”，而非“学科专家”。教师的主要任务是传授既定知识，而非参与知识创造。这意味着，即使一个学生表现出伽罗瓦式的天赋，教师也可能无法识别——因为他自己从未接触过真正的前沿问题。

其次，教师面临巨大的考核压力。学生的考试成绩、升学率，直接关系到教师的绩效评价。在这种环境下，教师更倾向于让学生专注于考试范围内的内容，而不是鼓励他们“越界”探索。伽罗瓦式的“只在数学最先进的部分上工作”在今天可能会被视为“不务正业”。

第三，教育系统的标准化程度越来越高。课程有统一标准，教学有统一进度，评价有统一考试。教师缺乏自主权，也缺乏时间和资源去照顾特殊学生的特殊需求。即使教师发现了某个学生的天赋，也很难为他提供个性化的培养路径。

天才的成长需要伯乐，而伯乐需要自身具备识别天才的能力和成全天才的胸怀。我们需要的不是更多的“解题教练”，而是能够成为学生思想引路人的“里夏尔”。我们需要创造让这样的伯乐能够涌现并发挥作用的制度环境。

教育宗旨的对比：从“思想传承”到“技能训练”。

19世纪初的法国数学教育，其核心宗旨是“培养数学思考者”。当时的顶尖数学家往往也参与教育实践，拉格朗日的著作本身就是他教学经验的结晶。教育的重点不是让学生记住多少公式，而是让他们理解数学思想的演变、掌握数学思维的方法。

拉格朗日在著作中经常阐述问题的历史由来、前人的尝试与失败、自己的思考过程。这种写作方式的目的是：让学生不仅知道“是什么”，更理解“为什么”和“怎么想到的”。这是一种“思想传承”而非“知识灌输”的教育理念。

伽罗瓦能够从拉格朗日的著作中读出问题清单、读出思想脉络，正是因为拉格朗日的写作本身就是面向思想传承的。他留下的不是僵化的结论，而是鲜活的思想史。

今天的教育，其核心宗旨发生了根本性转变。随着教育普及化、考试标准化、升学竞争白热化，教育越来越成为一种“选拔工具”和“技能训练”。学生被要求掌握的是“可测量的能力”——解题速度、答题准确率、知识覆盖量。而那些难以测量的东西，对思想的理解、对结构的洞察、对问题的热爱则被边缘化。

一位教育研究者曾感叹：“我们的学生越来越擅长考试，却越来越不擅长思考。”他们可以熟练地解出标准题型，却无法面对一个开放性问题；他们背诵了大量公式，却不知道这些公式从哪里来、到哪里去；他们计算能力惊人，却缺乏数学直觉。

这种教育的直接后果是：学生与数学思想的源头彻底隔绝。他们读不懂拉格朗日，不是因为智力不够，而是因为他们从未被训练用拉格朗日的方式思考问题。

他们习惯的是“定义-定理-证明”的流水线，而不是“问题-探索-发现”的思想旅程。

教育的宗旨决定教育的形态。

如果教育的目的是“思想传承”，那么它自然会引导学生接触思想的源头，自然会注重思维的训练而非技巧的堆砌。如果教育的目的是“技能训练”，那么它自然会聚焦于可测量的能力，自然会忽视那些无法测量的思想深度。

今天，我们热衷于谈论“创新教育”，却在做着与创新背道而驰的事情。真正的创新来源于对思想源头的深刻理解，来源于对问题本质的执着追问，来源于不被常规束缚的结构直觉。这些东西，恰恰是我们当前教育最不重视的。

陆

创新教育的核心启示

综合以上四个维度的对比，我们可以从伽罗瓦的故事中提炼出对创新教育的五点核心启示：

启示一：让学生接触思想的源头。

创新不是无源之水。真正的创新建立在对前人思想的深刻理解之上。伽罗瓦能够超越拉格朗日，是因为他先读懂了拉格朗日。今天的教育，应该为有能力、有兴趣的学生提供接触原始文献的机会，让他们直接从源头汲取思想养分。这并不意味着所有学生都需要读原著，但至少应该有一个通道，让那些有潜力的学生能够触及。

启示二：从“技巧训练”转向“结构思维”。

创新需要的是洞察结构的能力，而非堆砌技巧的能力。数学教育的重心应该从“怎么算”转向“为什么这样算”和“背后隐藏着什么关系”。教师应该在教学中展示思想的形成过程，而不是只呈现最终的结论。学生应该被鼓励追问“为什么”，而不是只关注“怎么做”。

启示三：培养能够识别天才的教师。

里夏尔式的教师是创新教育的关键。他们需要自身具备足够的学科视野，能够识别学生中的特殊天赋；他们需要有足够的自主权，能够为特殊学生提供个性化的指导；他们需要有足够的胸怀，愿意成全学生而非压制学生。这意味着教师培养和评价体系的根本改革。

启示四：给“非标准化”的成长留出空间。

伽罗瓦是一个“偏才”，他在数学上极有天赋，在其他方面却充满叛逆。今天的教育系统高度标准化，很难容忍这样的“偏才”。创新教育需要给非标准的成长留出空间，允许一些学生“不走寻常路”，允许他们犯错误、有缺陷，但在自己擅长的领域获得充分发展。

启示五：重新思考教育的宗旨。

最终，我们需要回答一个根本问题：教育的目的是什么？如果教育只是培养合格的劳动者，那么当前的技能训练模式或许足够。但如果教育要培养能够推动人类知识进步的创新者，那么我们必须回归思想传承的本源，让学生接触思想的源头，培养他们洞察结构的能力，给他们自由探索的空间。

结语

今天，在无数个图书馆和教室里，是否也有这样的少年，正在等待着一次与思想源头的相遇？他们是否也能遇到自己的里夏尔？他们是否会被允许“只在数学最先进的部分上工作”？

伽罗瓦的故事告诉我们：天才一直都在，问题是我们的教育是否准备好迎接他们。当我们的教育只关心“怎么算”而不关心“为什么”，当我们的教师被考核指标束缚而无暇识别天才，当我们的教育宗旨从思想传承异化为技能训练，我们可能正在错过无数潜在的伽罗瓦。

这不是一个悲观的结论，而是一个清醒的反思。每一次反思，都是改变的开始。

从今天起，当我们面对一个痴迷于追问“为什么”的学生，当我们遇到一个执着于自己兴趣的“偏才”，我们或许可以想起伽罗瓦的故事，想起里夏尔的选择，然后问自己：我能为这个学生做些什么？我能成为他的里夏尔吗？

伽罗瓦对拉格朗日思想的深刻继承和超越所揭示的，正是我们今日教育最需要珍视的遗产：

选择思考的历程，而非仅仅满足于逻辑的结晶；

追求对结构的洞察，而非沉溺于技巧的堆砌；

培养能够独立思考的头脑，而非只会解题的机器。

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