小学奥数还原问题的逆向思维利器——倒推法

解决小学奥数里的还原问题，常常用到一种“从结果找起点”的逆向思维方法——倒推法。比如一堆鸡腿，吃了一半多1个，还剩5个，想求原来有几个，用倒推法就很简单：5+1正好是这堆鸡腿的一半，再乘2就是12个，答案一下子就出来了。

倒推法的核心就是从题目最后的结果出发，按相反的顺序一步步倒着推算。就像走迷宫从出口往入口走，反而更容易找到路。比如小明有一些糖果，先分给小红一半，又自己吃掉3颗，最后还剩5颗，想求原来有几颗，倒推的话就是先算没吃之前的数量——5+3=8颗，再算没分给小红之前的数量——8×2=16颗，原来就有16颗。这里“分一半”变成“乘2”，“吃掉”变成“加回来”，每一步都是相反的操作。

倒推法适合三类题目：第一类是还原问题，也就是一个数经过加减乘除、分东西等操作后得到结果，求原来的数，比如“一个数加3，乘5，减4，得21，求这个数”；第二类是步骤清晰的分物品问题，比如几个人互相给东西后数量一样多，求原来各有多少；第三类是年龄问题里的“曾经”或“将来”情况，比如“5年后两人年龄和是40岁，现在甲年龄是乙的3倍，求现在乙几岁”。

用倒推法解题分三步：第一步先标出最终结果，比如“最后剩5颗糖”“现在年龄和30岁”；第二步逆向操作，加法变减法，减法变加法，乘法变除法，除法变乘法，“分给别人一半”变“乘2”，“拿走几个”变“加几个”；第三步按顺序倒推，从最后一步开始写算式，直到求出最初的数。

再比如经典的还原问题：一个数加上8，再除以4，然后减去15，最后乘10，结果是100，求这个数。倒推的话就是先算没乘10之前的数——100÷10=10，再算没减15之前的数——10+15=25，接着算没除以4之前的数——25×4=100，最后算没加8之前的数——100-8=92，答案就是92。

分物品的问题也能用倒推法解决。比如甲、乙、丙三人共有24本书，甲给乙3本，乙给丙4本，丙给甲5本后，三人书一样多，想求原来各有几本。首先算最后每人的数量——24÷3=8本。然后倒推丙的操作：丙给甲5本前，丙有8+5=13本，甲有8-5=3本；接着倒推乙的操作：乙给丙4本前，乙有8+4=12本，丙有13-4=9本；最后倒推甲的操作：甲给乙3本前，甲有3+3=6本，乙有12-3=9本，这样原来甲有6本，乙有9本，丙有9本。

还有用数量关系结合倒推的例子，比如学校运动会，三年级有35人参加，四年级人数是三年级的3倍，五年级的人数比三、四年级的总人数多12人。想求五年级人数，就可以从问题倒推：先找三、四年级的总人数，三年级35人，四年级是35×3=105人，合计35+105=140人，五年级就是140+12=152人。

用倒推法要注意两点：一是顺序一定反着来，题目是“先A后B再C”，倒推就是“先C的逆操作，再B的逆操作，最后A的逆操作”；二是逆运算别搞反，比如“乘5”的逆运算就是“除以5”，“倒出一半”的逆运算就是“乘2”。如果步骤多，还可以画表格或箭头图记录倒推过程，避免出错。