久期漫谈（一）：资产和负债久期的基本概念

20世纪30年代，英国经济学家Macaulay发明了久期的概念，是债券（或者有固定现金流的资产或负债）未来现金流入时间t的加权平均，权重为不同时间现金流的现价。后来人们又引进了修正久期的概念

如果现金流不随着利率的变化而波动，那么修正久期就是有效久期，它反映了债券价格对于利率波动的敏感性。

其中

，CFt是t时刻现金流，i是折现率。

在这个系列里，我们从久期的基本概念出发，将其延伸至“精算久期”以及“动态退保下的有效久期”，并且顺便证明了两种久期匹配的等价性。

一

资产久期的例子

例子1：零息债券

某国债的面值为100元，票息为0，债券10年期限。

久期也是10年，久期=期限，和折现率无关。

例子2：附息债券

某国债的面值为100元，票息为每年4元（C=4%），折现率为4%（i=4%）。

5年期限，D=4.45；10年期限，D=8.11；100年期限，D=？

即使做资产负债久期匹配的，也很不容易猜出这个久期的大致答案。

例子3：永续债的久期

当债券的票息等于折现率时，不难证明债券的久期随着债券期限的增加而增加。100年债券的久期小于永续债的久期，而永续债的久期很容易计算。

i=4%，票息=100×4%=4元，永续债价格

100年国债的久期应该小于永续债的久期，大约为24.5年。

例子4：票面利率和久期的关系

如果票面利率低于2%，那么100年债券久期会大于25年，并且债券久期也不一定随着债券期限的增长而增长（所有折现率都为4%）：

有趣的是，当票面利率为3%时，130年债券的久期比131年债券长37分钟。

二

寿险产品的久期

例子1：某20年缴两全险，假设实际费用和附加费用率都为0，保障期间死亡率也为0，年缴10元保费，保险期间20年，满期给付200元。

假设折现率i=0%，该情况下的t+时刻久期为：

如果保障期限为n年，那么0+时刻的久期计算公式为：

假设折现率i=2%，该情况下的t+时刻久期为：

0+、1+、2+时刻的久期为负，是因为计算久期的分母为负数，分子为正数。

3+时刻变为正，因为分子、分母都成了正数。

例子2：和以上例子类似，某5年交两全险，假设实际费用和附加费用率都为0，保障期间死亡率也为0，年缴10元保费，保险期间20年，满期给付50元。

假设折现率为i，该情况下的t+时刻久期为：

从2019年开始，很多寿险公司推出了保障期限10年或15年的年金产品，在2019年底负债评估曲线下，在不同时刻某产品久期如下：

虽然这些产品初始的负债久期非常高，但过了交费期以后的久期较短。

例子3：3.5%定价终身重疾险产品的有效久期

此产品已经卖了两年多，以上久期是产品层面的久期。因为计算久期的分母∑PV(CF)为负，所以该产品的有效久期为负。目前负债折现率的终极利率为4.5%，远远超过产品的定价利率3.5%，该产品有很高的利润性和新业务价值，也能为公司贡献偿二代下的实际资本，甚至有可能提高公司的偿付能力充足率。如果对应的资产是该产品的法定准备金，那么金额久期是正数。

三

保险负债的金额久期

在定义保险产品（或者产品组合）的金额久期时，需要用到所对应的实际资产金额，通常不小于产品的法定准备金（即使会计准备金为负）。

教课书上“金额久期”的定义是一个基点变化带来的PV值变化，这里的定义有所不同。首先它对应的的单位仍然是“时间”，可以视为“另外一种久期”，而不是“金额”（所以我认为教科书上的金额久期称之为“久期金额”更加合适）。其次我定义的这个概念仅用了研究资产负债匹配时对传统的“负债久期”的某种修正，而修正的参数正是所对应的资产端的PV值。在这个定义下，如果保险负债的“金额久期”等于资产端的久期，那么我们就能达到传统意义的“免疫”效果了。

例子1：某交三保六的银保产品（2.5%定价的分红险），在t=0+时刻不同利率情况下的久期结果如下：

该产品某一张保单在t=0+，在折现率i=4%的情况下，D=10.8

未来现金流的现值∑PV(Liab CF)=44500

保费=35000，费用=3000，资产金额=保费-费用=32000

金额久期=

公司需要把32000元投资到久期为15.02年的固收产品中。只有当金额久期匹配时，才能达到资产负债管理中的免疫效果。

例子2：4.025%定价年金险的一张新单

选择折现率i=4%，首年保费1万元，费用支出占比52%，PV(CF)=1600

金额久期=

四

寿险公司久期匹配的问题

寿险产品的久期往往超过其保险期限，特别是在交完一期或者两期保费之后，所以很多公司的负债久期（含未来保费收入的现金流）长达20到30年之间。在投资端，直到2021年，很多公司为了追求高利息收入，将20%甚至更多的可投资资产投向信托或者资管计划，而此类投资的期限大多数只有两三年，超过五年的极少，即使公司很幸运没有发生信用违约事件，也明显拉短了公司的资产久期。从2009年开始，政府开始发行50年国债，至今的发行量也不到一万亿人民币，虽然绝大多数被寿险公司所持有，但总量还不到寿险行业总资产的3%。30年国债和地方债的供应量相对充足，但久期只有20年，持有几年后久期只剩下15年左右了。因此绝大多数寿险公司的资产久期小于负债久期，而那些曾经在银保渠道卖了很多短期趸交产品的问题公司，也许更容易做到久期匹配。

在基于I4的旧会计准备金和偿二代二期的体制下，一家公司即使做到了100%的资产负债久期匹配，对公司的净资产和实际资本也根本无法起到任何免疫效果，2025年就是一个极好的例子。因为负债评估是基于750天平均的国债收益率曲线（及4.5%的终极利率），而交易类和可供出售（AFS）的债券资产价格是基于当天的收益率曲线，在2025年，750天平均曲线大约下降了35bp，而当天的收益率曲线上升了20到50bp，造成债券价格下跌，负债金额上升，无论久期是否匹配，公司的净资产都会承受巨大的压力，部分银行系寿险公司的净资产甚至下降50%左右。

在2026年保险公司普遍实行的IFRS17下，资产和负债的评估都是基于当天的曲线，但因为负债端的曲线仍然有终极利率，资产和负债的久期匹配也不能保证净资产的免疫。在下一篇中，我们将引入一个崭新的概念，并称之为“精算久期”。

作者简介

王晴，北美精算师(FSA)，特许金融分析师(CFA)，本科毕业于中国科技大学，获美国威斯康星大学数学博士学位。

早年曾任职于美国林肯国民公司，美国CNA保险公司，韩国三星人寿，归国后在多家寿险公司任总精算师。

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