基于最小变化原理的量子贝叶斯法则与佩茨转置映射

Quantum Bayes’ rule and Petz transpose map from the minimum change principle

基于最小变化原理的量子贝叶斯法则与佩茨转置映射

https://arxiv.org/pdf/2410.00319v3

贝叶斯法则通常用于根据新证据更新信念，它可以源自一个最小变化原理。该原理指出，更新后的信念必须与新的数据相一致，同时与先验信念的偏离最小。在这里，我们引入了一个量子版本的最小变化原理，并通过最小化两个量子输入-输出过程（而不仅仅是其边际分布）之间的变化，推导出了量子贝叶斯法则。这类似于经典情况，其中贝叶斯法则是通过最小化联合输入-输出分布之间的若干距离来获得的。当变化以最大化保真度为目标时，量子最小变化原理具有唯一解，并且由此得出的量子贝叶斯法则在许多情况下可还原为佩茨转置映射。

引言

贝叶斯法则通常通过涉及瓮和球的简单计数论证来演示，但实际上，它被认为在概率论和逻辑学中扮演着更深刻的角色，是唯一一个能根据新证据一致地更新个人信念的系统 [1–6]。作为上述公理化方法的替代方案，贝叶斯法则也可以从一个变分论证推导而来：更新后的信念应与新的观测一致，同时尽可能少地偏离初始信念。这被称为最小变化原理[7–10]。它形式化了这样一种直觉：新信息应以“最不承诺”的方式融入主体的知识中，例如，不引入数据无法证明的偏见。这些基本见解可以被视为（即便不是解释，也至少是）贝叶斯统计推断在几乎所有知识领域中异常有效性的一个动机。

如果将量子理论视为概率论的一种非对易扩展，人们会期望也应该存在一个合理的贝叶斯法则类比。然而，量子贝叶斯法则的地位仍备受争议，过去几十年里提出了许多常常互不等价的替代方案 [11–25]。在这些方案中，佩茨转置映射[26, 27] 脱颖而出，成为唯一满足一系列类似于经典贝叶斯法则的公理的量子贝叶斯法则 [25]。

也有尝试通过涉及“后验”态的优化来推导量子贝叶斯法则。例如，参考文献 [19] 最小化了一个与量子相对熵相关的损失函数，而参考文献 [22, 28] 则优化了初始态和最终态两个估计器之间距离度量的一个上界。然而，这些方法虽然涉及优化，但主要关注过程的边际而非整个过程。因此，它们未能完全反映在整个过程中变化的极小性，而这恰恰是贝叶斯法则及其推广（如杰弗里概率运动学理论）产生的核心论点。

因此，当前的情况是，尽管这样一个概念对于量子理论的基础及其应用都具有重要性，但量子理论中贝叶斯法则的类比仍未确定。

在本工作中，我们通过提出一种基于自然量子类比的最小变化原理的量子贝叶斯法则新方法，朝着解决这个问题迈出了决定性的一步。该方法涉及整个过程，而不仅仅是其边际（示意图参见图 1）。具体而言，当变化以最大化量子保真度[29, 30] 为目标时，得到的量子贝叶斯法则可以解析地推导出来，并且在许多情况下对应于佩茨转置映射。这种联系进一步加强了贝叶斯法则、最小变化原理和佩茨转置映射之间的联系，从而证明它们在量子信息理论乃至更广范围内应用的合理性。

上述方程表明，应用于 X 和 Y 联合分布的最小变化原理引出了 (1) 式和 (2) 式中的贝叶斯-杰弗里法则。

为了给接下来将要介绍的量子情况铺平道路，我们将 (3) 式中的优化问题重新表述为一个等价形式，如下所示：

图 2 展示了一个比较佩茨转置映射与方程 (15) 最优解的例子。

在本工作中，我们将最小变化原理推广到了量子情况，提出了量子贝叶斯法则的一种新表述。特别地，当以保真度作为优值度量时，佩茨转置映射（通常只是“相当好”但并非最优的 [52, 53]）自然地在许多相关情形中作为唯一最优解出现，这确认了佩茨转置映射作为量子贝叶斯法则的核心作用。统计充分性理论（佩茨转置映射在其中扮演核心角色）与最小变化的变分原理之间的一致性表明，该原理在佩茨转置映射已发挥作用的各个领域——如量子信息理论、量子统计力学和多体物理学——具有广泛的适用性。

此外，通过对优化问题 (15) 施加额外的约束，可以将反向过程限制在期望的子集内。我们已经解析地求解了优化问题 (15)，而对于一般情况，凸的附加约束保持了优化问题的凸性，可以采用高效的数值算法 [59, 60]。通过这种方法，最小变化原理可以扩展到量子梳 [61, 62]、量子超映射 [63, 64] 和量子贝叶斯网络 [19, 65–68]，为其提供新的信念更新规则。本工作中引入的工具也可能为熵产生和涨落定理 [69, 70] 的完全量子化推广铺平道路。