我与偏微分方程

感谢这一路上给予过我帮助和认可的老师和同学.

代数几何

我是2017年考上的上海师大.其实一开始只想当个中学老师的.但在慢慢学习高等数学(不是数学分析,因为当时在准备插班生考试)的过程中,慢慢对数学产生了兴趣.当时对数学的研究方向并不是很了解,只知道有代数几何,泛函分析,偏微分方程.至于他们具体是做什么的其实并不知道.当时我选了代数几何,所以花了很多时间去学抽象代数和代数拓扑.当时跟着娄本东和何宝林两位老师学习的数学分析,跟着孙浩老师学的高等代数,跟着徐万元老师学的代数曲线,跟着周才军老师学的代数拓扑.这里面有些是研究生课,所以我还得从奉贤去徐汇,然后再回来.我第一次学习数学物理方程是2019年的春季学期(大二下),去旁听了王荣年老师的课.说实话那门课听的我云里雾里的.我实在是无法理解除了D.Alembert公式以外的内容了.不得不承认那时候的学习是很不扎实的(名词党).事实上,到了2020年以后,我几乎已经看不懂代数几何的任何材料了.加上临近毕业,我的代数之路基本宣告结束了.事实上,我除了还记得环面的基本群是 ~(这是徐万元老师提问我的,我还答错了)以外已经什么都不记得了.

即使是数学分析,每学一遍,每教一遍,都会有不同的感受.完全不需要担心第一遍没学懂,事实上可能即使学了很多遍也并没有完全学懂.

折戟复旦

我考了两次复旦,而且都是边工作边考的.一次是2020年年底,还有一次是2022年年底.事实上,一战的时候我并没有全力以赴,因为我并没有料到我的实习学校无法给我转正.第二次除了身体原因(阳康)以外,还有就是我实在无法承受一边教高中一边考研究生的压力.但这个过程并非毫无收获,而无法辩驳的是总体弊大于利.弊在于我浪费了人生中最好的几年光景,这几年的时间如果能够用于学习后续知识或者读研会有更好的收获.要真说有什么好处,那我在这个过程也逐渐把数学分析给仔细打磨了一遍,包括微分方程和实变函数.

考研这个事情,不能说二战三战四战五战没有意义,但岁数是无法回去的.除了年龄焦虑外,如果去到名校却没有一位合适的导师带你,要走学术道路是几乎不可能的.而通常的情况是,如果没有人引荐,从导师的角度而言,我为什么要选一个双非外校的学生而非本校的呢. 所以还是不要在考研上花很多时间为好.

以偏微分方程方向举例,在上海师大读研,你可以选择屈爱芳老师或娄本东老师,而且选中的难度不大.你可以用这些二战三战的时间来学习诸如[Evans]或[Gilberg-Trudinger]等进阶书籍.上海师大数学系的师资力量是很顶的(不输名校), 只要你愿意学.

(数学分析)计算极限

并说明计算过程的合理性.

(近世代数)问 是否是 上的不可约多项式, 并求 在 上分裂域的元素的个数.

(高等代数)求所有的 , 使得下列二次项是半正定型二次项

这里规定 .

(微分几何)设 是 的映射 , 具有常平均曲率. 这里 是 上的光滑函数. 证明此时常平均曲率恒为零且 是平面.

反应扩散方程

由于中学排课,正好有空的原因.我在2023年秋季学期旁听了娄本东老师给硕士二年级开设的反应扩散方程和行波解课程,同时也认识了李芳老师和陆俊帆老师.我也是从这个时间点开始正式系统地开始学习现代偏微分方程(区别于之前的数学物理方程).我慢慢地开始理解了之前学习数学物理方程和常微分方程中一些没有理解的地方.比如热方程为什么在发展型方程(含时间导数)中扮演如此重要的角色.甚至在一些定理的证明过程中突然出现了以前做过的某个数学分析习题. 这种感觉是很奇妙的. 娄老师的课行云流水,其中也包括[Evans]或[Gilberg-Trudinger]等进阶书籍的内容,我也因此学习了许多椭圆型方程知识. 我在半年后即2024年开始系统自学[Evans]和一些调和分析的内容.事实上,调和分析在偏微分方程研究过程中扮演了非常重要的角色.比如研究发展型方程的稳态解时,就会使用椭圆型方程的理论,其中包括 理论和Hardy空间等内容,诸如Calderon-Zygmund理论就会十分常用.

这里简单解释下,当中(2021年底到2023年上半年)除了工作以外,我老家出了点事情以致耽搁.

中学数学教学

我大三暑假(2020年暑假)就去机构上班了.之后辗转了好几所中学,但苦于编制始终没有(我只有本科学历),即身份一直是代课或编外.但我还是很感谢我自己的坚持.上海地区从2020年9月开始用新教材,相当于我是最早一批使用新教材的老师.在这个过程中,无论是备课讲课还是做题讲题或者是其他教研活动,都让我逐步熟悉中学教育这个行业.不知不觉已经五年过去了,我收获了很多,同时我需要学习的也有很多.

如果你有志向成为一名相对优秀的中学老师(有自己的一席之地),那你必须要研读教材和钻研考题上花足够大的功夫,这和做科研是类似的.同时,跟着有经验的中学老师学习也是非常重要的.此外,教书不同于自己学习,要花时间理解学生的学习困难在什么地方.

独立研究

我于2025年秋季学期成为了一名硕士研究生,也因此有幸跟着屈爱芳老师又一次学习了数学物理方程.事实上,即使是这一遍的学习过程中我仍然能发现我众多欠缺的地方.比较有意思的是两次小组活动.由于我的组员都是计算数学专业的,而我恰恰没有接触过这一专业方向的,我惊喜地发现, 计算数学提供了偏微分方程的研究的一个全新视角 . 在这个AI遍地的时代,与时俱进是一件很重要的事情. 同时与屈老师以及物理系冯朝君老师的交流也使得我意识到了之前从未发现的问题. 比如方程的合理性. 这意味着不能随手写个方程然后开始研究它的性质.要么方程是已经有的,那请讲明来源.要么你自己提出来的方程,那请将合理性说明白.或者你是在前人的文章上改动的,那请把改动的合理性说明白.事实上,之前的学习无论是[Evans]还是Navier-Stokes方程或者是反应扩散方程,由于方程都是事先给定的,故不存在上述问题.但如果是实际问题建模,那情况可能就会复杂很多. 同时这个过程中我也学会了如果制作汇报PPT,这是个极其难得的机会,故我倍加珍惜.需要注意的是做研究和本科阶段单纯的学习与考试是有很大的区别,研究所面对的不确定性更为复杂.

这里再举一例来说明数学物理方程的重要性.在研究Navier-Stokes方程的弱解(区别于经典解,减弱了诸如可微性等条件的一种积分形式)衰减速率下界估计时,我们进行对比的对象就是热方程.简单来说,对于Navier-Stokes方程

相较于热方程多出了两项(这两项均有各自的物理意义.事实上,方程的求解过程中也时刻在体现物理现实).这些项破坏了热方程 的线性叠加原理.我们知道热方程衰减速率是由基本解估计

得到,故考虑若Navier-Stokes方程的衰减速率明显慢于热方程,则说明非线性项显著阻碍了能量的扩散.若能够证明Navier-Stokes弱解衰减速率下界与热方程同阶,则意味着非线性项 在长时间尺度上并未破坏扩散的主导地位.

我希望我能够早日发表我的第一篇论文,我目前的研究兴趣集中在非线性波和Navier-Stokes方程上.我觉得数学研究给我带来的最大的价值在于我在这个过程中感受到了我在我为自己而活.

参考文献

[Evans] (美) 劳伦斯 · 埃文斯 (L. C. Evans) 著; 刘永明译. 偏微分方程 (第二版) [M] . 北京: 高等教育出版社, 2024 .

[Gilberg-Trudinger] D. Gilbarg and N. Trudinger, Elliptic Partial Difrential Equations of Second Order, Second edition, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 224. Springer-Verlag, 1983.