双“模”构全等——海淀区九年级第27题

双“模”构全等

海淀区九年级第27题

在人教版初中数学八年级上册第29页，初次接触全等三角形时，教材上已经给出了未来可能遇到的各类全等三角形，如下图：

将其中的三角形换成特殊的直角三角形，我们还可以得到更多熟悉的图形，例如第43页的练习，如下图：

我们将这两题的图稍微变换一下，就是基本模型“一线三直角”和“手拉手”，如下图：

当我们从例题和习题解题教学中，总结归纳出这一类“相似”的图形，并且解题思路相近，为方便记忆，给出这一类的名称，例如上图中的一线三直角，意思就是三个直角的顶点在一条直线上，其中两个直角分别是三角形的内角，还有一个直角是对应边所在直线的夹角；

而“手拉手”模型则对应的是两个通过旋转重合的全等三角形，这一类图形的特点是两个三角形存在一个公共顶点，并且各对应顶点绕这个公共顶点旋转重合，关键是找到这个公共顶点以及旋转角；

模型不能脱离教材，由例题和习题归纳出来的模型，才有用。

题目

在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD+CD=1/2BC，将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接DE.

(1)如图1，当AD=CD=1时，补全图形，并求DE的长；

(2)如图2，取AE中点F，连接DF，用等式表示DF与AC的数量关系，并证明.

解析：

01

(1)方法一：

由旋转想到，以A为公共顶点，构造全等三角形，如下图：

作AG⊥AC，交BC于点G，连接CE，由于△ACD是等腰直角三角形，因此△ACG也是等腰直角三角形，很容易证明△ABG≌△AEC，得BG=EC，∠AGB=∠ACE=135°，则∠DCE=90°；

由AD+CD=1/2BC求得BC=4，所以BG=EC=2，最后在Rt△DCE中由勾股定理求出DE=√5；

方法二：

由共线的两个直角顶点想到，延长AD，过点E作AD延长线的垂线，垂足为H，如下图：

证明其中的△ABD≌△EAH，得BD=AH，仍然先求出BC=4，则BD=AH=3，最后求出DH=2，在Rt△DEH中由勾股定理求出DE=√5；

02

(2)首先按要求作图如下：

前面所用的两种方法我们延续下来，每一种方法都可以找到突破；

方法一：

仍然过点A作AG⊥AC，交BC于点G，过点E作EH⊥BC，交BC延长线于点H，延长DF交EH于点K，如下图：

第一对全等三角形是△ABG≌△AEH，证明思路和前面一样，所得结论也类似，∠DHE=90°，DH=DG=AD，BG=EH；

第二对全等三角形是△ADF≌△EKF，这也比较容易证明，毕竟有AD∥EH这个结论，再加上点F是AE中点，可得AD=EK；

第三对全等三角形是△ADC≌△DHK，已经具备了AD=DH，∠ADC=∠DHK=90°；

由AD+CD=1/2BC可得BG=CG=DG+CD，且BG=EH，于是DG+CD=EH=HK+EK，两边都减掉相等的量DG和EK，剩下CD=HK，这样第三对全等三角形的条件齐备了，可得△ADC≌△DHK，所以AC=DK，最后得到AC=2DF；

方法二：

仍然延长AD，过点E作AD的垂线交其延长线于点H，过点E作EK∥AH，交DF延长线于点K，过点K作KI⊥AH于点I，如下图：

先证明△ABD≌△EAH，得BD=AH，再证明△ADF≌△EKF，得AD=EK，其中BD=BC-CD=2(AD+CD)-CD=2AD+CD；

而AH=AD+DI+IH=AD+DI+EK=2AD+DI，因此可得CD=DI，于是我们可证明△ACD≌△KDI，所以AC=KD=2DF.

解题思考

本题所用到的基本模型包括“一线三直(等)角”、“手拉手”、中线倍长等，这些基本模型均来源于教材例题和习题，它们就是所有解题模型的“母题”，代表一类解题思路，模型的使用需要理解其推导原理，明白在什么样的条件下，怎样想到。

当我们在教学生解题的时候，更多的是教会学生解决数学问题的方法，在审题的时候，明确要解决什么问题，已经具备哪些条件，可以使用哪些方法。

几个常见误区：第一是对例题思路分析较少，直接给出辅助线作法，缺少让学生探究的过程；第二是变式训练的变式过于直白，简单更换条件或图形，我们既然教的是方法，那么变式变化的，应该不仅仅是条件的互换，而应该是方法的升级；第三是对解题的复盘流于形式，学生一时想不到，原因是什么，老师需要帮助他们分析，顺着学生的思路一步步走下去，直到卡壳的地方，将症结找准，再引导学生用自已的方式解决。

模型不能机械照搬，刷模型更不可取，不理解，终究解决不了问题。