理清角的关联——海淀区九上数学第27题

理清角的关联

海淀区九上数学第27题

几何图形中各角之间的关联，往往是学生解题的难点，两个角之间的关系，通常情况下有相等、互余、互补三种基本关系，七年级我们学习平行线的时候，就已经开始初步尝试寻找角之间的关系，随着图形的复杂化，这种寻找数量关系的能力要求也随之提升。

题目

27.在△ABC中，AB=AC，∠B=α（0° <α<45°），d，e分别是bc，ac的中点，m是线段bd上的动点（不与b，d重合），连接de，em，将线段em绕点e顺时针旋转2α得到线段en，连接an.< pan>

(1)如图1，求证：AN=DM；

(2)如图2，连接MN交AB于点F，当MF=NF时，用等式表示线段FB与FA的数量关系，并证明.

解析：

01

(1)显然DE是△ABC中位线，因此DE∥AB，于是∠EDC=∠B=α，得到∠AED=2α，而旋转角∠MEN=2α，我们便看到了两个相等的角，共用一个顶点，这便是“手拉手”模型的基本构造，因此我们可以证明△AEN≌△DEM，从而得到AN=DM；

02

(2)继续前面的思路，∠AED=∠MEN=2α，因此△AEN≌△DEM仍然成立，由点F是MN中点，不妨过点M作MG∥AN，构造新的全等三角形，如下图：

由平行线加中点的条件，△AFN≌△GFM，所以我们可以得到AN=GM，而前面又证明了AN=DM，于是GM=DM；

山重水复疑无路了……

我们从∠B=α开始，∠C=α，∠AED=2α，∠EDM=180°-α，由DE∥AB，还可以得到∠BAC=180°-2α（也可以由△ABC内角和得到），观察顶点A处的三个角：∠NAF、∠BAC、∠EAN，它们的和是360°，其中两个角已知，∠BAC=180°-2α，∠EAN=∠EDM=180°-α，于是得到∠NAF=3α，这是关键条件；

柳暗花明又一村！

借助全等进行转换，∠MGF=∠NAF=3α，它恰好是△BGM的外角，所以可求出∠BMG=2α，对于等腰△DMG而言，两个底角一定是α，于是得到∠GDM=α=∠C，DG∥AC，这下说明DG也是△ABC中位线，所以点G是AB中点，而点F是AG中点，所以FB=3FA.

解题思考

从走投无路到豁然开朗，中间经历的，是思考，当我们观察图形时，脑子里应该是各种角的关系，存在等量关系的角，是我们优先关注的，存在共顶点、共边的角，也应该是关注重点，尤其是全等三角形、特殊四边形中。

本题解法并不唯一，其实四边形AGDE是平行四边形，也可以证明，但无论哪种方法，突破口均来自∠B=α，使用字母表示出图中的角，更易于找到它们间的关系。