初识莱洛三角形——武昌区六年级数学期末附加题

初识莱洛三角形

武昌区六年级数学期末附加题

2025-2026年武昌区六年级数学期末卷，难度较高，尤其是其附加题第33题，出现了莱洛三角形，这对于小学六年级的孩子是比较新鲜的事物，莱洛三角形在生活中其实很常见，只不过我们平时并不太注意而已，例如广告图案、建筑、汽车发动机零件等。

教材中其实也留有它出现的空间，北师大版六年级上册数学第3页，讨论车轮为什么是圆形时，可以提出这种形状的车轮，网上也有相应的视频可作为教材素材，让学生明白圆形虽然最常见，但其它形状的车轮也可能存在，至少不要留下车轮一定是圆形的惯势，如下图：

题目：

解析：

01

(1)按要求作图，会正常使用圆规工具即可；

02

(2)从作图过程来看，学生需要知道莱洛三角形的每条边(圆弧长)的圆心和半径，还需要知道等边三角形的每个内角是60°，这样三段圆弧可拼成一个半圆，因此它的周长是3.14×3=9.42厘米；

03

(3)请注意题目中的信息，在小学六年级，我们并不要求学生掌握莱洛三角形更多信息，只需要知道它的一个特殊“在任何方向上都有相同的宽度”，理解这句话的要点，就在于“任何方向”，不妨取一个特殊的方向，在图3中，AB⊥DE时，AB的长即可认为是莱洛三角形的宽度；第二层理解，既然任何方向宽度相同，这意味着莱洛三角形在滚动过程中，始终在一组平行线之间，这就是对“相同宽度”的深层理解，如下图：

用小学生理解的语言，有宽度为3厘米的刷子，围着三角形DEF刷一圈，结果如下：

所以，扫过的面积，就是三个长方形加三个扇形，每个长方形面积是3×6.28=18.84平方厘米，三个扇形恰好拼成一个圆形，面积是3.14×3²=28.26平方厘米，最后相加18.84×3+28.26=84.78平方厘米.

解题思考

为什么莱洛三角形从任何方向看宽度都相同？

这需要一点初中的知识，如下图：

点D为弧AB上任一点，我们过点D作弧AB的切线，再过点C作这条切线的平行线，当点D在弧AB上运动时，过点C的平行线也随之旋转，这两条平行线间的距离就是CD长，即等边△ABC的边长；

当点D移动到弧BC上时，我们过点A作它的平行线，如下图：

同理，当点D在弧AC上时，如下图：

这样，无论从哪个方向看，我们看到的莱洛三角形的宽度，就是等边△ABC的边长；

这意味着，若有一组平行线，两平行线间距离等于等边△ABC边长，则莱洛三角形ABC可以在其中滚动，利用这个原理，我们可以在生活中看到类似的平板车，如下图：

拓展一点：钻头如何钻出方形的孔？

教学启示：

在小学六年级，学生可以了解上述知识，知道“是什么”，但要真正理解，还需要到初中，学习了圆相关知识之后，会知道“为什么”，这也给我们的教学提出了更高要求，作为教师，是否了解上述莱洛三角形的知识，是否理解诸多为什么，可以不对学生讲，但自已要懂。