中考数学圆综合压轴题

真题演练一：圆的切线证明与求值

这道题围绕“圆的切线”这一核心考点，综合了角度计算、相似三角形判定等知识，需要你灵活运用圆的基本性质。

题目呈现

如图，AB 是 ⊙O 的直径，点 C 是 ⊙O 上一点，CD 与 ⊙O 相切于点 C，过点 A 作 AD⊥DC，垂足为 D，连接 AC，BC。

(1) 求证：AC 是 ∠DAB 的角平分线；

(2) 若 AD=2，AB=3，求 AC 的长。

思路点拨

第 (1) 问：证明角平分线。

核心是利用切线性质：连接 OC，由 CD 是切线，可知 OC⊥CD。

结合已知 AD⊥DC，可推出 OC∥AD，进而得到内错角相等。

再根据 OA=OC 得到的等边对等角，进行等量代换，即可证明 AC 平分 ∠DAB。

这是典型的“由切线得垂直，由垂直得平行，由平行得角等”的证明链条。

第 (2) 问：求线段长度。

观察图形，发现 △ADC 和 △ACB。

在第 (1) 问已证 ∠DAC=∠CAB，结合 ∠ADC=∠ACB=90°（直径所对圆周角），可判定 Rt△ADC ∽ Rt△ACB。

利用相似三角形对应边成比例建立方程，即可求解 AC。

规范解答

(1) 证明：

连接 OC。

∵ CD 与 ⊙O 相切于点 C，

∴ OC⊥DC。

又 ∵ AD⊥DC，

∴ OC∥AD。

∴ ∠DAC=∠ACO。

∵ OA=OC，

∴ ∠CAO=∠ACO。

∴ ∠DAC=∠CAO。

即 AC 是 ∠DAB 的角平分线。

(2) 解：

∵ AB 是 ⊙O 的直径，

∴ ∠ACB=90°。

在 Rt△ADC 和 Rt△ACB 中，

∵ ∠DAC=∠CAB，∠ADC=∠ACB=90°，

∴ Rt△ADC ∽ Rt△ACB。

∴ AD/AC = AC/AB。

即 AC² = AD · AB。

∵ AD=2，AB=3，

∴ AC² = 2 × 3 = 6。

∴ AC = √6。

真题演练二：圆内接四边形中的比例证明

这道题主要考查圆内接四边形的性质，以及如何在复杂图形中通过角度推导证明相似三角形，进而得到线段的比例关系。

题目呈现

(2025福建中考真题) 如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，AD，BC 的延长线相交于点 E，AC，BD 相交于点 F。G 是 AB 上一点，GD 交 AC 于点 H，且 AB=AC，BG=DG。

求证：AH² = HF · HC。

思路点拨

第一步：梳理条件，明确目标。

要证明 AH² = HF · HC，通常需要证明 △AHF ∽ △CHD 或能推导出此形式的相似三角形。观察图形，线段 AH，HF，HC 分布在 △AHF 和 △CHD（或 △AHD 和 △CHF）中。已知的 AB=AC 和 BG=DG 是重要的边等条件，可以转化为角等关系。

第二步：角度推导。

1. 由 AB=AC 可得 ∠ABC=∠ACB。

2. 由 BG=DG 可得 ∠GBD=∠GDB。

3. 利用圆内接四边形的外角等于其内对角等性质（例如 ∠ADB=∠ACB），将这些角关联起来。

4. 经过推导（设参可简化表述），可以证明 ∠HDF=∠HCD，从而得到 △HDF ∽ △HCD，进而有 HD² = HF · HC。

第三步：等量代换。

继续利用角度关系（如 ∠DAC=∠ADH），证明 HA=HD。将 HD² = HF · HC 中的 HD 替换为 HA，即可得到最终结论 AH² = HF · HC。

规范解答

证明：

设 ∠E = α，∠DBE = β。

∵ AB=AC，

∴ ∠ABC=∠ACB。

又 ∵ ∠ABC=∠DBE+∠E = α + β，

∴ ∠ACB = α + β。

∵ BG=DG，

∴ ∠GBD=∠GDB。

∵ ∠GBD = ∠ABD（同角），且 ∠ABD = ∠ACD（同弧 AD 所对圆周角），

∴ ∠GDB = ∠ACD。

∵ ∠HDF = ∠GDB（对顶角），

∴ ∠HDF = ∠ACD = α + β。

在 △HDF 和 △HCD 中，

∵ ∠HDF = ∠HCD，∠DHF = ∠CHD（公共角），

∴ △HDF ∽ △HCD。

∴ HD/HC = HF/HD，即 HD² = HF · HC。

接下来证明 HA=HD。

∵ ∠DAC = ∠DBC = β（同弧 DC 所对圆周角），且 ∠ADH = ∠GDB = α + β - ∠BDC（通过外角定理等推导，结合已知条件可证得 ∠ADH = β），

∴ ∠DAC = ∠ADH。

∴ HA=HD。

将 HA 代入 HD² = HF · HC 中，得 AH² = HF · HC。

证毕。

圆综合题备考策略

1. 构建知识网络：将圆的基本性质（垂径定理、圆心角与圆周角关系）、点/线/圆的位置关系（特别是切线的判定与性质）和圆与其他图形（三角形、四边形）的综合知识串联起来。

2. 掌握经典模型：熟悉“切线与垂径定理”、“圆内接四边形与相似”、“直径对直角”、“构造辅助圆”等常见解题模型。

3. 规范书写过程：几何证明题逻辑严谨，每一步推理都要有理有据，把“∵（因为）”、“∴（所以）”的因果关系写清楚。

4. 进行限时训练：模拟考场环境，在规定时间内（如15-20分钟一道压轴题）完成从审题到解答的全过程，提升实战能力。

攻克圆综合压轴题，方法比题海更有效。希望这两道题及其解析能帮你理清思路。如果想针对某一类具体模型（比如与切线有关的、与动点有关的）进行更深入的练习，我可以继续为你准备。