数学难题进展速递：解读《量子杂志》报道傅里叶分析领域余弦和最小值的更精细上界

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本文围绕Sarvadaman Chowla（萨瓦达马南·乔拉）在1965年提出的余弦和最小值问题展开。该问题属于傅里叶分析领域，核心是探究由N个整数构成的集合所对应的余弦波之和能达到的最小值的更精细的上界。

数十年来，数学家们用传统傅里叶分析方法研究该问题，进展十分缓慢。2004 年伊姆雷·鲁扎（Imre Ruzsa）给出的边界结果与 Chowla 的猜想存在巨大差距。

2025年夏，金之涵（Zhihan Jin，ETH苏黎世联邦理工学院）、阿莱克萨·米洛耶维奇（Aleksa Milojević）、伊斯特万·托蒙（István Tomon）和张盛桐（Shengtong Zhang，斯坦福大学博士生攻读）四位学者在研究图论中的最大切割（MaxCut）问题（其通用方法属于NP难问题）时，意外发现该问题与Chowla余弦问题的关联。

在Ilya Shkredov的提示下，四人借助Cayley图（凯莱图）的特性，将余弦和最小值问题转化为图的特征值分析问题，最终得出新的上界结果。

此后，Benjamin Bedert用传统傅里叶分析方法进一步优化了该上界（更接近于Chowla的猜想）。

图源：Samuel Velasco / Michael Kanyongolo / Quanta Magazine

1. 原文大意

1950 年代初，乔拉（Sarvadaman Chowla，1907—1995）和他的数论同事内史密斯·安克尼（Nesmith Ankeny）希望利用傅里叶变换更好地理解数字集合中的模式。

考虑由数字 2、3 和 8 组成的集合。首先，用集合中的每个数字定义一个余弦波——例如，2 对应 cos(2x)。然后，将所有余弦波相加，得到 cos(2x) + cos(3x) + cos(8x)。

上图各种余弦波花在一张图中，最底下的波为三种余弦波叠加。

为便于区分开，对函数值（表达式见图左侧）做了适当上下偏移

图释：译者

这其实就是将原始集合写成傅里叶级数的另一种方式。这个级数结构非常清晰：所有波都是余弦波，并且由于所有余弦波前面都没有数字，所以它们的波长相同。“这是你能得到的最简单的傅里叶级数，”剑桥大学的本杰明·贝德特说，“而且总的来说，我们对傅里叶级数已经相当了解了。”

由 cos(2x) + cos(3x) + cos(8x) 定义的新波峰和波谷揭示了原始数集的一些有趣性质。因此，安克尼和乔拉试图检验他们对这类数列的理解程度。他们想知道：对于任意 N 个整数，该数列的和的最小值是多少？

很容易计算出和的最大值。当 x 为零时，任何余弦波的最大值都是 1。因此，三个余弦波的和为 1 + 1 + 1，即 3。类似地，1000 万个余弦波的和的最大值也是 1000 万。对于任意 N 个整数的集合，最大值就是 N。

然而，理解余弦和的最小值却出乎意料地困难。虽然不同的波至少会同时达到最大值一次（当 x 为零时），但最小值并非如此。或许不同波的最低点仍然会足够接近，从而产生一个非常小的和。又或许这些波会相互干扰，使得和不可能变得太小。

1952 年，安克尼和乔拉猜想，随着原集合中整数个数的增加，最大值会越来越大，而最小值则会越来越小。几年后，这一猜想得到了证明——这促使乔拉在 1965 年进一步探究这个问题。他想知道随着 N 的增长，最小值究竟下降得有多快。

他知道一些 N 个整数的集合，它们的余弦和的最小值在 −√N 附近。他能想到的所有其他集合的最小值都更低，这使他猜想，对于任何 N 个正整数的集合，相应的余弦和的最小值必定小于−√N 。

在接下来的几十年里，一些数学家致力于解决这个问题。但到了 21 世纪初，他们所能证明的结果与乔拉的预测之间仍然存在巨大差距。根据匈牙利阿尔弗雷德·雷尼数学研究所的伊姆雷·鲁扎（Imre Ruzsa）在 2004 年证明的最新界限，10²⁰ （也就是 1 后面跟着 20 个零，大约相当于一立方英寸空气中的分子数）个余弦之和——其最小值必须小于大约-7。相比之下，乔拉预测的最小值必须小于-10¹⁰。

然而，在过去的 20 年里，Ruzsa 的研究成果代表了 Chowla 余弦问题研究的最高成就。

然后，一项完全无关的研究项目最终突破了这一障碍。

金之涵（左）、阿莱克萨·米洛耶维奇（右上）和伊斯特万·托蒙（右下）

图源：Zhihan Jin; Archives of the Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach; Livia Tomon-Horvath

2025年夏，金之涵（Zhihan Jin，ETH苏黎世联邦理工学院）、阿莱克萨·米洛耶维奇（Aleksa Milojević）、伊斯特万·托蒙（István Tomon）和张盛桐（Shengtong Zhang，斯坦福大学博士生攻读）四位学者在研究图论中的MaxCut（最大切割）问题（其通用方法属于NP难问题）时，意外发现该问题与Chowla余弦问题的关联。

图源：Mark Belan / Samuel Velasco / Quanta Magazine

在Ilya Shkredov的提示下，四人借助Cayley图（凯莱图）的特性，将余弦和最小值问题转化为图的特征值分析问题，最终得出新的边界结果。

凯莱图（Cayley图），是由节点和边组成的网络，可用于提供关于数集的重要信息。例如，假设你想研究集合{2,3,8}，下图给出3个步骤，得到一个凯莱图。

图的特征值（eigenvalue）提供了有关图结构的信息。例如，最大特征值表示图中的边数；第二大特征值衡量图的连通性。金之涵、Milojević、Tomon 和张盛桐重点研究了负特征值，并在此基础上开展了一项近期研究，该研究将负特征值与图的最大割联系起来。他们对这些特征值的分析最终使他们能够证明其新发现。

https://arxiv.org/abs/2509.03490

张盛桐在著名的“最大切割”问题上取得了重大进展，这是一个关于图的基本问题，有很多实际应用。

图源：Wanqi Zhu

此后，Benjamin Bedert用传统傅里叶分析方法进一步优化了该边界。

https://arxiv.org/abs/2509.05260

Benjamin Bedert

图源：Romana Meereis

2. 核心数学思想

2.1 傅里叶级数与余弦和：

任意N个整数的集合可对应一个余弦波之和，该和的最大值为N（令x=0，各余弦函数值都为1，此时余弦和为N），最小值的上界是Chowla问题的核心。Chowla猜想最小值上界为-√N。

2.2 图论与Cayley图的桥梁作用：

Cayley图可由整数集合构造，图中节点差值属于原集合时，节点相连。Cayley图的最小特征值与余弦和的最小值一一对应。

2.3 MaxCut问题与特征值分析：

研究无团图的MaxCut问题时，团队发现图的最小特征值与团结构相关。若图无小特征值，则必然存在大团，利用这一矛盾可推导Cayley图的最小特征值必须很小。

团（clique）——彼此相连的节点簇

一组相互连接的节点构成一个团。图中有一个五节点团，以红色突出显示。

2.4 反证法的应用：

假设Cayley图无小特征值，则会推导出图中存在大量团，这与Cayley图的边数限制矛盾，从而证明最小特征值足够小，对应余弦和的最小值更小的上界。

3. 主要创新点

3.1 跨领域的问题转化：

打破傅里叶分析与图论的壁垒，将数十年未解的傅里叶问题转化为图的特征值和团结构分析问题，为同类问题提供了新的解决思路。

动画：Samuel Velasco / Michael Kanyongolo / Quanta Magazine

3.2 全新的技术路径：

摒弃传统傅里叶分析方法，借助Cayley图的经典关联和MaxCut问题的研究成果，用组合数学和图论工具攻克数论难题。

3.3 具有幂次形式的边界结果：

团队首次证明余弦和最小值上界为-N^{1/10}，Benjamin Bedert进一步优化为-N^{1/7}。这两个结果均为N的幂次形式，与Chowla猜想的形式（-√N=-N^{1/2}）形式一致，而此前Ruzsa的结果不具备该形式。

4. 待解决问题和未来科研攻关方向

a) 待解决问题

a.1 逼近Chowla的原始猜想：

当前最好的边界结果是-N^{1/7}，与Chowla猜想的-√N仍有较大差距，需要进一步缩小这一鸿沟。

a.2 统一两种方法的优势：

图论方法和传统傅里叶分析方法均取得突破，尚未找到将两种方法结合以获得更强结果的路径。

a.3 Cayley图性质的深度挖掘：

目前仅利用了Cayley图的部分特征，对于Cayley图的团结构、特征值分布与整数集合性质的深层关联，仍需更系统的研究。

b) 未来科研攻关方向

b.1 拓展图论与傅里叶分析的关联：

探索MaxCut问题、Cayley图与其他傅里叶分析问题的普适性联系，建立更通用的跨领域研究框架。

b.2 优化特征值分析技术：

针对无团图的特征值上下界，开发更精细的分析工具，提升对Cayley图最小特征值的估计精度。

b.3 探索问题的推广场景：

将该研究思路应用于更复杂的傅里叶级数问题，或拓展到数论、组合数学中的其他类似极值问题。

参考资料

https://www.quantamagazine.org/networks-hold-the-key-to-a-decades-old-problem-about-waves-20260128/

https://projecteuclid.org/journals/bulletin-of-the-american-mathematical-society-new-series/volume-58/issue-3/The-Riemann-zeta-and-allied-functions/bams/1183517085.full

https://scispace.com/pdf/on-the-cosine-problem-1tccl30nnb.pdf

https://eudml.org/doc/278427

https://homepage.cs.uiowa.edu/~tinelli/classes/AR-group/readingsS04/MaxCutQE_Draft.pdf

https://arxiv.org/abs/2507.10037

https://arxiv.org/abs/2507.13298

https://arxiv.org/abs/2509.03490

https://www.jstor.org/stable/2369306?seq=1

https://akjournals.com/view/journals/10998/6/2/article-p191.xml

https://arxiv.org/abs/2509.05260

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