《用初等方法研究数论文选集》连载 038. 公理与证明

《用初等方法研究数论文选集》连载 038

038. 公理与证明

数学这门学科，无论是基础的算术还是数论，都建立在一些基本的公理之上。这些公理是数学体系的核心，它们是无需通过其他命题来证明的最基本事实。例如，当我们说3+5=8时，这个等式本身就是成立的，不需要进一步去证明它的充分性或必要性，因为它是一种直接且公认的真理。同样地，在平面几何中，欧几里得提出的五大公理也具有这样的性质。这些公理构成了整个几何学的基础，并且被认为是不言自明的事实，因此不需要额外的证明过程。

当一个新的“数学体系”被提出并确立后，其中所包含的基本假设和规则就成为了该体系内的公理。这些公理不仅被视为显而易见的真理，而且作为后续推导与论证的起点，它们的存在使得整个数学体系能够稳固地发展下去，而无需对这些最基础的部分进行反复验证。

当然，有一些数学理论尚未形成完整的体系，存在一定的缺陷。在这种情况下，就需要从基本的定义出发，通过严密的逻辑推导出相关的定理，而这些定理必须经过严格的证明才能被认可。然而，如果作为逻辑起点的定义本身存在问题或者错误，那么基于这些定义所推导出的定理的证明过程就会变得极其复杂和困难，甚至可能根本无法完成证明。

但令人遗憾的是，一些所谓的数学专业人士往往以“保持严谨性”和“实现规范化”为借口，将原本简单的问题过度复杂化。这种做法不仅没有推动数学的发展，反而使得数学变得更加晦涩难懂，从而显得自己更加专业，同时也让数论等数学领域逐渐脱离大众的认知范围。长此以往，数学在公众眼中会被披上一层神秘的面纱，甚至引发不必要的迷信化倾向，让人们误以为数学是遥不可及的学问，而非一种可以理解和应用的工具。

实际上，数论这门学科本质上就是我们日常接触的普通数学，它属于基础数学的范畴。当我们用简单、通俗易懂的方式去理解它时，就会发现它其实就是数学中最根基的一部分。无论是小学生还是中学生，只要具备一定的数学基础，都能够轻松地接触和学习数论知识。我之所以致力于推广数论，并通过科普的方式将其呈现给更多的人，正是希望将这门看似高深但实际上非常贴近生活的学科重新交还到大众手中，让更多人了解它的魅力与价值。这也是我从事科普工作的核心目标之一。

在之前的讲解中，我们曾经提到过一个非常有趣的数学概念——“Ltg-空间理论”。这个理论提出了一个独特的视角，将所有的正整数划分成了无数个独立的空间。为了帮助大家更好地理解这一抽象的概念，我们可以将其形象化地比喻为：把正整数1、2、3……看作是一大群充满好奇心的旅游者。而这些旅游者需要入住一座由等差数列构建而成的宏伟旅馆。这座旅馆的设计极为特殊，每一层楼都拥有无限数量的房间，并且这些房间足以容纳所有的正整数。

然而，这座旅馆有一个非常严格的规定，那就是所有的正整数不能随意分散居住，而是必须全部集中在某一层楼内。换句话说，每一个正整数都只能被分配到该楼层的一个特定房间中，而且每个正整数所对应的房间是唯一的，不允许出现混乱或者重复的情况。这种规则的存在确保了整个旅馆的秩序井然，同时也体现了“Ltg-空间理论”中关于正整数分布的独特逻辑和严谨性。通过这样的安排，不仅展现了数学中的对称美与规律性，也让我们更加深刻地体会到数字世界中隐藏的奇妙结构。

在将所有的正整数安排到各自对应的房间之后，并不是每一个正整数就此被完全固定在那个位置上而无法改变。实际上，在这座由正整数构成的大厦之中，存在着一些特殊的房间，这些房间被设计得别具一格，它们可以开设后门。而后门的存在就仿佛是打通了不同区域之间的壁垒，通过这些后门，正整数能够顺利地进入到其他的楼层里面去。

如此一来，原本看似固定在一个个房间中的正整数，就不再处于那种被牢牢限制住的状态了。它们更像是具备了生命力一般，像流动的信息那样，可以在整个大厦内部活动起来。从某种意义上来看，这座由正整数所构建而成的大厦就好比是一台精密而又复杂的仪器，而在这台仪器当中运转着的正整数，就如同信息流在仪器里穿梭、交互一样，充满了一种动态的活力与奇妙的规律性。

每一个空间都具备独特的性质，且相互独立，拥有适配自身空间的公式和理论体系，但同时也与其他空间存在关联。

这是N+A(A=1)空间

这是2N+A(A=1,2)空间

这是3N+A(A=1,2,3)空间

每一个空间都包含着全部正整数，这些空间是有无穷多的。

我们看2N+A空间里，素数都包含在2N+1数列里。

在3N+A空间里，素数都包含在3N+1和3N+2空间里。

这难道真的还需要用到狄利克雷定理吗？我们大家都知道，这个狄利克雷定理的证明过程是极其复杂的，其中包含了很多深奥难懂的数学知识和推理逻辑，对于一般的普通人来说，想要完全看明白这个定理的证明过程几乎是不可能的事情。而且，就算是专业数学人士，在研究这个定理的证明时，也常常会存在疑问，不确定这个证明到底是不是完全正确无误的呢。然而，在我们所探讨的这个体系里面，“等差数列可以包含素数”这样一个在传统数学理论中需要狄利克雷定理来支撑的重要结论，却根本不需要像传统数学概念那样去追求成为众人皆知的定理或者定律，而是直接被我们当作一个不言自明、无需证明的基本公理来看待了。仅仅凭借这一点，就足以充分地说明“Ltg - 空间理论”具有多么非凡而重要的意义和价值了。它能够以一种全新的视角和独特的逻辑体系，重新构建数学概念之间的关系，使得一些原本复杂的问题变得简单明了，这也正是“Ltg - 空间理论”独特魅力之所在。

我并不是在自吹自擂，也不是为了炫耀自己的能力。实际上，在二十多年前，我就已经发现了这个数学领域的奥秘。那个时候，如果有人能够理解我的发现，并给予应有的重视，或许我早就不用再为其他事情操心了。凭借这一发现，我完全有可能被公认为世界上最伟大的数学家之一。然而，现实却与理想截然相反。在这二十多年的时间里，我经历了无数的冷眼和不公，受尽了来自各方的侮辱、歧视以及无端的谩骂。这些年来，我不仅没有得到应有的认可，反而一次次地被迫为自己坚信的理论进行辩护。即使到了今天，我仍然不得不通过撰写文章来澄清事实，为自己的研究成果正名。这究竟是怎样的世道？一个本应属于科学探讨的问题，为何会演变成如此令人寒心的局面？

不同的空间都有一个“合数项公式”，维数越高越复杂。但是每一个“合数项公式”都不能通用，必须是针对自己的空间的。比如在N+1空间里，合数项公式是

Nh=a(b+1)+ba,b≥1

在2N+A空间里，合数项公式是

Nh=a(2b+1)+b a,b≥1

这些合数项公式不能通用，不能混淆，必须与选用的空间的表格相对应。

当前，我们身处在一个被定义为2N+A的空间之中，接下来我们就在这个特定的空间范畴内，深入探讨一下“合数项公式”到底是如何产生的。在近期，出现了一些人，他们完全无视这个空间本身所具有的特性与限制条件，仅仅凭借一种固化且缺乏灵活性的思维方式去对待问题。他们非常固执地认定合数项公式存在着不严谨之处，并且煞有介事地要求给出证明，证明合数项公式成立所必须满足的充分必要条件到底是什么。不仅如此，他们还进一步提出质疑，想要知道合数项公式是否能够将区间[0，∞)全部涵盖进去。这种表现就好像是在非常认真、严肃地胡言乱语一样，让人感觉既有些滑稽可笑，又令人十分恼火。

我们就以下面这个表格为依据，这是一个独立的系统。

1）我们发现数列2N+1里面所有的合数都是素数3,5,7…，但是不包括2，这一点极其重要。

2）我们联想到在数列2N+1上取两个奇数，它们的相位数分别是a和b，即（2a+1）和（2b+1）。

3）这两个式子相乘就代表了数列2N+1的所有合数，

即 ， （2a+1）（2b+1）= 2N+1

这个公式整理后就是： Nh=a(2b+1)+b a,b≥1

这个公式仅仅适用于2N+A这样的特定空间范围内，并且要与相关的表格配合起来使用才行。在这个完整的体系之中，这一公式已然成为了如同公理一般的存在。它能够涵盖数列2N+1里面处于区间（0，∞）之中的全部合数项，这已经是不言自明的事情了，哪里还需要什么额外的证明呢？这种要求证明的想法简直是荒谬至极呀！

我们来对这个等式进行展开运算，（2a+1）（2b+1）=4ab + 2a + 2b + 1，将其与2N+1进行对比，我们可以清晰地看到，2N就对应着4ab + 2a +2b，那么N自然就等于2ab + a + b。而我们所定义的合数项Nh，在这里指的就是N的值，所以经过这样的推导，Nh = 2ab + a + b。我们再对这个式子进行因式分解，可以将其改写为a(2b + 1) + b，这便得到了我们前面所给出的合数项公式。

这个推导过程完全是基于基本的代数运算和对数列2N+1中合数构成方式的理解，简单明了，根本无需引入那些高深莫测的数学工具。

把2N+A空间看成是一个独立的体系，我们针对里面的每一个要素和要素之间的关联进行分析。而不是脱离了这个空间和相对应的表格去套用一些不现实的理论，从而成了看似很有学问，一本正经牛唇不对马嘴的胡言乱语。

本人由WPSAI润色。

2026年1月18日星期日