何新《数学手稿》札记（3）“函数”概念溯源

中国古代数学无函数概念
西方近代数学不是从中国（明朝）偷去的

何案：中国古代数学无函数概念，不必牵强附会。
最早发明中文函数概念是李善兰，取函套，一组数关联着一组数的意思。
“函数”一词源于清朝数学家李善兰对英文“function”的翻译。他将“函”解释为“包含”，意思是若一个变量中包含另一个变量，那么前者就是后者的函数。

——也就是马克思《数学手稿》常谈的自变量与因变量的关联概念。
我不相信有几个人看得懂这部《数学手稿》。
如果真看得懂，关于洋人偷明朝数学的各种胡说八道就不会像现在网上这么热闹了。

马克思《数学手稿》（北大版） p.190
关于函数一词：
这 ⾥ 还 要 对 函 数 ⼀ 词 作 ⼀ 注 释 。
“ 函 数 （ F u n k t i o n ） ” ⼀ 词 ， 最 初 是 在 处 理 ⽅ 程 个 数 少 于 其 中 出现 的 未 知 数 个 数 的 所 谓 不 定 ⽅ 程 时 ， 引 到 代 数 中 来 的 . 这 ⾥ ，例 如 y 的 值 的 变 化 取 决 于 ⼈ 们 譬如 对 x 给 予 的 数 值 3 ， 4 ， 5 ， 等等 . 这 ⾥ y 就 叫 做 x 的 函 数 ， 因 为 它 必 须 服 从 x 的 命 令 ， 正 象 每个 官 员 （ F u n k t i o n a r ） ， 甚 ⾄ 于 伟 ⼤ 的 威 廉 ⼀ 世 ， 也 要 依 从 某 个 ⼈ ⼀样 。
据 此 ， 在 微 分 学 中 ， “ 函 数 ” ⼀ 词 就 在 这 个 意 义 下 转 给 了 因 变量 ， 例 如 y 或 （ x） ， 亦 即 我 们 例 ⼦ 中 的 y 或 5 x，以 前 意 味 著 依 赖 于 x 的 （ v o n x ） 函 数 ， 亦 即 ⽤ 确 定 的 表 达 式 5 x ' 给 出 的 x 的 函 数 ， 因 为 y的 值 随 着 x 在 它 ⾃ ⼰ 的 表 达 式 5 x 中 的 变 化 所 产 ⽣ 的 偵 ⽽ 变化 。
然 ⽽ ， ⾃ 从 拉 格 朗 ⽇ 引 进 了 “ 导 ” 函 数 的 定 义 ， 并 借 此 引 入它们 由 之 导 出 的 原 函 数 的 定 义 以 来 ， 就 产 ⽣ 了 直 到 今 天 还 继 续 存 在着 的 混 乱 。

【解释】
1. 函数 词源：德语 Funktion 源于拉丁语 functio（职责），马克思用"官员服从命令"的比喻说明变量依赖关系。
2. 概念演变：
◦ 早期：解不定方程时的变量依赖
◦ 微积分：专指因变量 y
◦ 拉格朗日后：f'(x) 导函数与 f(x) 原函数混淆
3. "混乱"所指 ：拉格朗日将函数展开为级数并定义导数，使"函数"一词既指表达式本身，又指其微分结果，造成概念模糊。

【资料】
17世纪末，德国数学家莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）首次将“Function”一词引入数学，用于表示随曲线上的点变化而变化的几何量（如曲线的横坐标、纵坐标、切线长度等）。例如，对于笛卡尔坐标系上曲线 y = x^2，y 是 x 的函数，因 y 的值随 x 在曲线中的位置变化而变化。

随后，瑞士数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli）将函数概念公式化，定义为“变量与常数的任意组合”（如 3x^2 + 2y）。其学生欧拉（Leonhard Euler）进一步拓展，将函数分为“代数函数”（由算术运算构成）与“超越函数”（由指数、对数、三角函数构成），并提出用 f(x) 表示函数，沿用至今。

微分学中的“函数”概念：因变量的依赖关系
18世纪，随着微积分的创立，“函数”一词的含义从“代数组合”转向“因变量与自变量的依赖关系”。在微分学中，函数特指因变量（如 y 或 f(x)），其值随自变量（如 x）的变化而变化。例如，y = 5x 中，y 是 x 的函数，因 y 的值由 x 的取值唯一确定。
马克思《数学手稿》的定义就是如此。