何新早年数理札记（12）

马克思数学手稿研究：论微分流数法与减法

一
马克思《数学手稿》（参看北大版）描述古典微积分方法如是说：
“⾸ 先 取 差 （ D i f f e r e n t i a t i o n ） ， 然 后 再 把 它 扬 弃 ， 这 样 在 字 ⾯ 上就 导 致 ⽆ 。
理 解 微 分 运 算 时 的 全 部 困 难 （ 正 象 理 解 否 定 之否 定 本身 时 那 样 ） ， 恰 恰 在 于 要 看 到 微 分 运 算 是 怎 样 区 别 于 这 样 的 简 单 ⼿续 （何新按：指先取差，然后归零）并 因 此 导 出 实 际 结 果 的 。”
注意马克思在这里提出了“取差”这个与减法相关的概念。 （ D i f f e r e n t i a t i o n ）

二
实际上，微分运算建立在动态减法一一亦即牛顿所谓“流数法”，"求差"或者“取差”的概念之上：
1. 取差（Differenz）：
取曲线上两点，纵坐标之差 Δy，横坐标之差 Δx
2. 求差商（Differenzenquotient）：
\frac{Δy}{Δx} = \frac{f(x+Δx) - f(x)}{Δx}
（注意这里用到了减法运算）
3. 求微分（Differentiation）：
• 让 Δx 无限趋近于 0（但不为零）
• 研究这个"差商"的极限 → 得到导数 $f'(x)$
——这种流（动）取差方法，就是微分求解法。

三
马克思使用的“取差”Differentiation 这个概念，词源与德语Differenz（差，即减法） 有深刻联系。德语Differenz （阴性）这个词，它的拉丁语同源词是 differentia（阴性），是由拉丁语动词 differre（分离、区分）衍生而来。
拉丁语#解放军南海开训对周边国家有何影响#动词 differre = dis-（分离） + ferre（承载）→"使彼此分开"= 差异化= 减法。

四
事实上，德语词 Differen-tiation 就是微分（研究微小差异的极限进程）概念。
[解释：德语Differentiation作为阴性名词，作为数学概念的核心释义就是“微分法”，其本质是通过研究函数自变量与因变量的微小差值（无穷小变量），再经由除法的极限运算得到瞬时变化率的过程，亦即“研究微小差异的极限进程”。]
所以，在拉丁语、德语及英语中，“微分法”与“减法”两词之词根皆具同源性，只是二者有静态与动态的区别。
Differenz ，是静态的"差值"，指算术减法（如 7 - 3 = 4）。
Differen～tiation ，是动态的"差异化流程"，指流（动）数法，求极限运算，求瞬时变化率（导数）。

结论：微分必须使用减法除法作为工具，其本质是观察数量变动过程而求“差值”，不断趋近于零（但永不是零）的极限性思想，这就是超越减法的数学分析概念。

因此简单说：没有"差"就没有微分。但微分不是静态差，而是"差"的动态演变。

【附注】
在一元函数微积分的范畴内，导数的物理意义和几何意义就是瞬时变化率。
从马克思《数学手稿》的运算逻辑来看：导数是“取差（\Delta y,\Delta x）—求差商（\Delta y/\Delta x，平均变化率）—取极限值（\Delta x\to0）”的结果。这个极限值精准描述了函数在某一点的瞬时变化快慢与方向，对应于牛顿流数法中的“流数”概念。
还应指出的是，多元函数的偏导数、方向导数等概念，本质是函数在特定维度或方向上的瞬时变化率，是这一核心定义的延伸。