系统观下的复杂科学：拓扑学、线性代数与统计物理的互补角色

导语

在复杂科学中，我们面对的研究对象往往并不是某个孤立的实体，而是由大量组分构成、通过多层次相互作用不断演化的系统。无论是大脑、生态系统、社会组织，还是气候与金融市场，这些系统的共同特征在于：整体行为无法简单还原为个体行为的线性叠加，而是深刻依赖于关系的组织方式、作用尺度以及随时间展开的动力学过程。

正因如此，复杂系统研究往往不仅依赖单一的数学工具，而会使用多种抽象语言从不同层次刻画系统的结构与行为。拓扑学、线性代数与统计物理，正是其中最为基础、也彼此互补的三种理论框架。它们并非彼此替代的技术路线，而是从不同分辨率、不同系统层级出发，回答关于复杂系统的不同核心问题。

赵思怡 | 作者

金威、诸葛昌靖 | 审校

系统观的出发点：复杂系统不是“对象”，而是“关系与过程”

系统科学的一个基本立场是：复杂系统的本质不仅在于组成元素本身，而在于子系统和元素之间、系统与环境的关系、关系的组织方式，以及这些关系随时间不断演化的过程。因此，研究复杂系统并不是简单地描述“对象长什么样”，而是要在不同抽象层次上刻画结构约束与动力学机制。

从这一立场出发，复杂系统研究通常需要回答三类根本性问题。第一，在忽略大部分定量细节之后，系统主要能提取出哪些不可消除的整体结构，这是系统的结构方面；第二，在既定结构下，系统状态如何演化，其中哪些模式占主导地位，这与系统及其状态的表示和运算有关；第三，当系统包含大量相互作用单元时，为何仍会涌现出稳定模式、临界行为或突变现象，这则涉及涌现，以及系统各层次之间的关系。

正是在这三类问题上，拓扑学、线性代数与统计物理分别发挥了不可替代的作用。

拓扑学：系统最粗粒度的“结构骨架”

在系统科学与复杂科学中，拓扑学主要用于刻画系统整体结构的稳定性与全局组织方式，尤其关注在噪声、扰动、尺度变化或参数连续变化下，哪些性质能够保持不变。与依赖精确数值或度量的分析方法不同，拓扑学更加关注连接关系、邻近性、连通性以及回路、空腔乃至空间所对应的更深刻的代数对象等结构性特征。在系统“如何运行”之外，这些特征还从更根本的层面限定了系统“可以运行成什么样”。

在具体研究中，网络模型常被用作表达这类结构关系的工具，但拓扑学的关注点并不局限于网络本身，而在于其背后的结构及其约束。通过拓扑视角，研究者可以判断系统是否整体连通，是否能够分解为若干相互弱耦合的子结构，以及信息、物质或影响能否在系统中长期传播等等。这些全局结构性质直接影响系统的健壮性、同步能力以及集体行为的形成方式。

拓扑数据分析方法（如持久同调）在神经科学中，被用于从高噪声的神经活动数据中提取稳定的功能结构，从而区分不同生理、认知或行为状态下大脑活动的拓扑特征；在材料科学和凝聚态物理中，拓扑学则用于理解拓扑相变、拓扑材料与拓扑物态，解释为何某些宏观性质对局部缺陷和微扰具有高度稳定性，并从更加理论化的高度刻画各种物质状态及其相互关系。

近年来，人们又用拓扑思想来研究复杂系统中的高阶相互作用与多体结构。传统模型（如经典的复杂网络）通常只描述成对关系，而高阶拓扑框架通过引入三角形、四面体等单纯形结构，刻画真实系统中普遍存在的多体协同行为。在这一视角下，系统的动态变量不再仅定义在节点上，也可以附着于边、三角形等高阶结构之上，形成所谓的“拓扑信号”。研究表明，这类高阶拓扑结构会显著重塑系统的动力学特性，催生出拓扑同步、复杂模式形成等新的集体现象，揭示了结构与动力学之间更为紧密的耦合关系。

图 1 拓扑神经网路（详情请见集智俱乐部公众号文章）

更进一步的研究表明，拓扑结构与动力学过程之间还往往存在双向作用：一方面，拓扑结构限定了系统可实现的动力学模式与同步形式；另一方面，系统的演化过程也可能反过来改变其拓扑组织，使结构在时间中发生重构。这种“拓扑—动力学共演化”的视角，为理解大脑功能重组、气候系统振荡以及自适应人工系统等诸多复杂系统提供了重要线索。

图 2. 拓扑Kuramoto模型与全局同步。（详情请见集智俱乐部公众号文章）

系统科学视角下，拓扑学关注的是在纷繁复杂的具体数值细节背后，系统“内蕴空间”中决定作用的关于连通性与整体组织的定性信息。在复杂系统中，我们往往无法精确掌握每一个相互作用的强度或每一个单元的具体状态，但总会关心一些更根本的问题：系统是否连通？是否存在彼此隔离的子系统？信息或影响是否能够跨尺度传播？系统能否被分解为若干相对独立的功能模块？拓扑学正是以高度抽象而自然的方式回应这些问题。

从系统观来看，拓扑学关注的是当我们忽略具体数值与微观机制之后，一个系统仍然保留下来的结构约束。它并不直接给出系统的演化方式，而是为后续分析划定了一个可能性空间——只有在这个空间之内，动力学模式才有意义，统计行为也才有讨论的基础。

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线性代数：系统状态的表示与可操作性

在线性代数的视角下，复杂系统被理解为状态空间中的线性结构及其演化规律。尽管大量真实系统在微观层面本质上是高度非线性的，但线性代数仍然构成了人类目前最为成熟、最易理解、也最具操作性的分析语言之一。通过恰当的表示、投影与变换，复杂的非线性动力学常常可以在中尺度上被有效嵌入到线性框架之中，从而转化为可分析、可分解、可近似的线性过程。这种“以线性把握非线性”的策略在复杂系统研究中反复出现，并在理论建模、数据分析与数值计算之间起到了关键的枢纽作用，使我们即便无法完全掌控系统的全部细节，仍能抓住其主导结构与动力学特征。

这种“以线性把握非线性”的策略在复杂系统研究中反复出现。以Koopman 算子理论为代表，线性代数被系统性地用于“线性化”非线性动力学系统。Koopman 算子本质上是作用在观测函数空间上的无限维线性算子，其谱结构编码了系统的全局动力学信息。通过对该算子进行谱分解，研究者能够识别系统中的慢模态、亚稳态结构以及主导时间尺度，从而在不依赖精确动力学方程的前提下，直接从数据中提取系统的内在组织方式。这一方法已广泛应用于分子动力学、流体力学、气候系统以及复杂网络等领域，并在非线性强、维度高、模型不完全已知的情形下展现出独特优势。

图3：转移算子在不同领域的应用（详情请见集智俱乐部公众号文章）

随着数据驱动方法的发展，线性代数的这一思想进一步扩展为神经算子框架。与传统神经网络不同，神经算子直接学习函数空间之间的映射，本质上是在无限维空间中逼近系统的演化算子。以傅里叶神经算子为例，其通过谱展开与积分算子，将偏微分方程的全局结构编码进模型之中，从而在保持物理一致性的同时，实现高效的数值近似。这使得线性代数不仅是分析工具，也逐渐成为连接物理结构与机器学习的重要桥梁。

图4：神经算子的输入和输出（详情请见集智俱乐部公众号文章）

在复杂网络与系统动力学研究中，线性代数同样发挥着核心作用。图拉普拉斯算子、谱聚类方法以及振子网络的线性稳定性分析，使研究者能够理解网络结构如何约束集体动力学行为，例如同步、鲁棒性与相变等现象。通过谱结构，系统整体的稳定性以及对局部失效的敏感性得以被定量刻画，从而为神经网络、电力系统乃至生物节律系统的设计提供理论依据。

从系统观来看，线性代数关注的核心问题在于：当复杂系统处于平衡态或参考态附近时，如何将决定其主要行为的关键信息有效刻画出来。借助线性化、谱分解和模态展开等手段，高维动力学得以投影到一个低维但信息高度集中的子空间中，使主导模式、慢变量和稳定方向清晰浮现。与关注全局结构约束的抽象视角、以及着眼于多体极限与统计规律的宏观视角相比，线性代数恰好工作在二者之间，为复杂系统提供了一种既可计算、又可理解、同时保留结构线索的中尺度描述——而这些线索，往往正是通向更深层结构与更大尺度规律的入口。

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统计物理：多体系统中的涌现与普适规律

在系统科学与复杂科学中，统计物理提供了一种研究大量相互作用单元如何涌现出稳定宏观结构与功能的核心理论框架。其基本思想并非追踪单个自由度的精确演化，而是通过概率分布、能量景观与尺度变换，揭示系统整体行为的统计规律与普适性。这一视角已从传统物理系统扩展到生物系统、信息系统与智能计算等多个领域。

在生命科学中，统计物理与人工智能的结合正在重塑结构生物信息学的研究范式。以 AlphaFold 为代表的深度学习模型推动蛋白质结构预测进入原子精度时代，并催生了覆盖数亿蛋白质结构的大规模数据库。在此基础上，统计物理方法得以从单个分子的动力学模拟，扩展到对海量结构数据的整体统计分析，从而揭示蛋白质结构、动力学、功能与进化之间的普适联系。大量研究发现，天然态蛋白质普遍呈现出长程关联和接近临界态的特征，其结构在稳定性与构象柔性之间维持着精细平衡。这种“临界附近”的物理性质，被认为是蛋白质高效执行复杂生物功能的重要基础。由此，统计物理为理解生命系统的鲁棒性、可塑性与可进化性提供了一套统一而深刻的理论语言，也为人工蛋白质设计和合成生物学提供了原则性指导。

图5：基于AlphaFold数据库研究不同复杂度物种体内蛋白质结构与动力学的统计规律（详情请见集智俱乐部公众号文章）

在计算与工程系统中，统计物理同样成为处理复杂优化问题的重要思想源泉。许多组合优化问题可以被自然地映射为具有复杂能量景观的多体系统，其求解过程等价于在高维状态空间中寻找低能态或基态。近年来，自由能最小化、平均场理论以及退火机制被系统性地引入机器学习与计算框架，发展出如“自由能机器”等新型方法。这类方法通过变分自由能的梯度优化，在 GPU 等并行计算平台上高效求解大规模、含多体耦合的优化问题，不仅显著提升了计算效率，也在算法层面体现了统计物理思想对现代计算范式的深刻塑造。

图6：FEM解决组合优化问题（COPs）的原理与框架（详情请见集智俱乐部公众号文章）

从系统视角来看，统计物理的核心贡献在于揭示：复杂系统的关键行为往往并不依赖于微观细节本身，而是由能量—熵平衡、相互作用结构以及尺度组织方式共同决定。无论是在蛋白质这样的生物分子系统中，还是在网络优化与人工智能等信息系统里，统计物理都为我们提供了一种理解“秩序如何从噪声中产生”“功能如何从多体耦合中涌现”的通用框架，使不同领域的复杂系统得以在同一理论视野下被比较、解释与统一。

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系统观下的统一理解：多重视角描述同一复杂现实

从系统科学的整体视角来看，拓扑学、线性代数与统计物理并非彼此孤立的理论工具，而是针对同一复杂系统在不同抽象层级上的互补描述方式。它们共同构成了一条由结构约束出发，经由动力学过程，最终通向宏观涌现的分析路径。这种跨层次、跨尺度的整合分析，正是复杂科学区别于传统还原论方法的核心特征之一。

拓扑学限定了系统可能行为的结构边界；线性代数在这些约束之内提取出可操作的主导模式；统计物理则解释了这些模式为何能够在大量相互作用中稳定出现并长期存在。正是在这种多层次、跨尺度的系统观整合之下，复杂系统才不再只是“复杂”，而逐渐变得可理解、可预测、也可被设计。