奇异概型上微分模复形的完备化

Completions of complexes of differential modules on singular schemes

奇异概形上微分模复形的完备化

https://arxiv.org/pdf/2508.21596

摘要

斯宾塞上同调理论研究的是光滑解析空间上的微分算子环 D D 的模链复形的上同调。本文给出了适用于域上有限型奇异概形（singular schemes of finite type over a field）的斯宾塞上同调的一般化。我们的动机源于维诺格拉多夫（Vinogradov）关于奇异仿射簇上微分算子同调性质的一个猜想：即，某些此类算子复形无圈（acyclic）当且仅当该簇是光滑的。我们将对该猜想（按其原始表述）给出否定的回答。原则上，维诺格拉多夫猜想也可针对一般 D D-模的斯宾塞复形提出——然而此时答案是平凡的，因为奇异性阻碍了具有良好性质的斯宾塞上同调的定义。本文的主要成果是：在一大类奇异概形上构造了一个适合作为空间上同调理论的斯宾塞复形。在此基础上，我们得以在该框架下重新提出维诺格拉多夫的问题，并给出一个更为肯定的回答。我们的主要技术借鉴了哈茨霍恩（Hartshorne）通过形式完备化（formal completion）构造德拉姆上同调的方法。

1. 引言

对任意光滑解析空间 X X 及其上的向量丛 E E，可赋予来自链复形的若干不变量：

这被 Johnson 用来以特定选取的 D-模的 Ext 群来计算斯宾塞上同调群。代数理论在某种精确的意义下与拓扑理论互为伴随（adjoint），这一关系由 Johnson（同上文献）进行了深入研究。

Johnson 指出，该理论可完全推广至光滑代数簇的情形；然而，从光滑情形跃迁至一般（即奇异）情形，其成效远不如最初设想的那样丰硕，原因在于：在奇异空间上， D -模具有一系列不良性质［BGG72］。迄今为止，代数理论尚未被恰当地推广到一般奇异空间（如任意代数簇）的情形。

1. 维诺格拉多夫猜想

1. 奇异情形的朴素处理

1. 完备的斯宾塞上同调

在上述内容中，我们计算了配对并进行了完备化以得到完备微分。我们也应当能够同时对两个论证进行完备化，从而在完备模上获得一个配对，由此给出完备微分。作为合理性检验，我们在此验证这一点。

1. 导出完备 D D-模的理论与性质

导出完备化携带着更高阶的同调信息，用以修正未取导出的完备化（即经典完备化）对对象作用时的非正合性；特别地，它能探测到经典完备化所无法察觉的挠（torsion）与极限现象。因此，若仅对经典（未取导出的）完备化取上同调，便会丢失高阶障碍信息，通常无法给出关于完备层的正确不变量；而导出完备化则包含了经修正后的、完备层的正确不变量。事实上，取

使得导出完备化的上同调即为上同调的正确完备化。

另一项有用的性质是：对有限生成理想 I I 而言，沿 I I 取导出完备化，通过张量–Hom 伴随关系，与关于 I I 的导出局部上同调构成右伴随（反之，导出局部上同调为其左伴随）。该结果归功于 [TLL97]，其中作者给出了著名的 Greenlees–May 对偶性 [GM92] 的层化（sheafification）版本。

1. 导出完备的斯宾塞上同调

我们的主要论断是：导出张量积的导出完备化，在导出范畴的意义下，是斯宾塞上同调的一个合适定义，因为其上同调层即为完备的斯宾塞上同调。

原文链接：https://arxiv.org/pdf/2508.21596