优思学院｜Cpk 和 Ppk：到底谁更有说服力？

你的供应商把你要的流程能力图（process capability charts）发过来了。图做得相当漂亮，一看就是用什么高级软件生成的——各种统计指标一应俱全，比如 Cpk、Ppk、σ水准（sigma level）、超出规格的ppm 等等。图好看得很，看起来你的供应商简直棒极了。你注意到其中一张能力图上，Ppk = 1.14，而 Cpk = 2.07。这俩为什么不一样？算了，不重要。反正 Cpk 大于 1.33，正好是你当初要求供应商达到的。那好，换个事情干吧。

你刚刚，错过了一个关于供应商品质表现（performance）的非常关键信息。知道是什么吗？

Cpk 和 Ppk 是衡量流程能力（process capability）的两个常用指标——也就是你的流程满足顾客规格要求的程度。现在的软件（software）很方便，只要把数据一丢进去，结果唰地就出来了。但很多时候，我们拿到这些结果，就直接往前走了，根本没仔细想过它们真正代表什么。本期优 思学院就来深入聊聊 Cpk 和 Ppk：它们是什么？它们在测什么？这些数值到底意味着什么？你该更相信哪一个？有些答案，可能会出乎你的意料。

流程能力回顾（Process Capability Review）

流程能力分析（process capability analysis）要回答的问题是：你的流程在多大程度上满足规格——不管是顾客给的规格，还是你内部自定的规格。要计算流程能力，你需要三样东西：

- 流程平均值的估计值
- 流程标准差（standard deviation）的估计值
- 规格限（specification limits）

算 Cpk 和 Ppk 都是这三样，我们这里假设数据服从正态分布（normal distribution）。

流程能力指数（process capability indices）可以理解成一个比值：从流程平均值到某个规格限的距离，与流程“自然变差”的比。这里流程的自然变差通常取 3 倍流程标准差。图1 给出了基于上规格限（USL）计算流程能力指数的一般示意，其中 s 是流程变差的度量。

流程能力指数：

流程能力指数 = (USL – 平均值)/(3s)

要算流程能力，你必须能“合理地”估计流程平均值和流程标准差。注意，这不只是做个公式计算那么简单。这两个统计量必须是“有效的”（valid），后面我们会展开说。

Cpk 和 Ppk 回顾（Cpk and Ppk Review）

Cpk 和 Ppk 都是“两个能力指数中的较小值”。它们的公式如下：

Cpk = min{ (USL − X̿)/(3σ), (X̿ − LSL)/(3σ) }
Ppk = min{ (USL − X̿)/(3s), (X̿ − LSL)/(3s) }

这里 X̿ 是整体平均值（overall average）。

在 Cpk 的公式里，用 σ 来估计流程变差，这个 σ 是用极差控制图（R 控制图）估算出来的流程标准差（standard deviation estimate）。
在 Ppk 的公式里，用 s 来估计流程变差，这个 s 是用全部数据直接算出来的标准差。

所以，Cpk 和 Ppk 的根本差别，就是“流程变差”的估计方式不一样。那这两种变差估计，差在哪里呢？

组内变差 vs 整体变差

Cpk vs Ppk 的问题，本质上就是：组内变差（within subgroup variation, σ）和整体变差（overall variation, s）之间的差异。

先看整体标准差 s，它的公式是：

s = √[ Σ (Xi − X̿)² / (N − 1) ]

N 是全部数据点的个数。看根号下面那个求和项，就是把每个单个数据点和整体平均值的差值平方后加起来（见图2）。

从公式的含义看，你可以把 s 理解为：每个数据点“平均离整体均值有多远”。由于计算时用到了所有数据，所以这个标准差 s 有时也叫整体变差（overall variation）——它把数据里存在的所有变差都算进去了。

现在我们看 σ，也就是通常说的组内变差（within subgroup variation）。这个 σ 是从极差控制图（range control chart）估出来的流程标准差。

比如，你用的是 X̅-R 控制图，子组（subgroup）大小为5。每次抽 5 个样本，这 5 个点的平均值就是 X̅，画在 X̅ 图上；这 5 个点的极差 R = 最大值 − 最小值，画在 R 图上（见图3）。R 就是这个亚组内部的变差度量。

然后用下面这个公式估计 σ：

σ = R̅ / d₂

其中 R̅ 是平均极差，d₂ 是与亚组大小有关的控制图常数。
所以 σ 只反映“组内”变差。它是否包含了全部变差，要看流程状态，后面会看到。

那个“小问题”：统计控制！（That Little Issue of Statistical Control!）

我们之前所有关于流程能力的文章，都一再强调一个前提：流程必须处于统计控制状态（in statistical control）。现实中，这个前提经常被完全忽略。

较早之前，优思学院六西格玛课程中提出的“流程能力检查清单”，用来帮你把流程能力的真实情况说清楚。清单有五项：

1）先用控制图（control chart）把数据画出来，判断流程是否处于统计控制状态（是否一致、可预测）；
2）对处于统计控制状态的流程，画直方图（histogram），并在图上加上规格限；
3）对处于统计控制状态的流程，计算流程数据的自然变差；
4）对处于统计控制状态的流程，计算 Cp 和 Cpk；
5）把以上四项结果组合起来一起展示，用来说明流程能力。

你注意到了吗？“对于处于统计控制状态的流程”这句话出现了多少次？意思很简单：只要流程不在统计控制状态，Cpk（以及 Ppk）这些数值就没有意义。

关键点来了：如果你的流程处于统计控制状态，那么 Cpk 和 Ppk 的数值会非常接近。实际上，你可以用下面的经验来判断：

如果 Cpk ≈ Ppk，则流程在统计控制状态；
如果 Cpk 和 Ppk 差别很大，则流程不在统计控制状态。

所以，当你看到供应商给你的图里，Cpk 和 Ppk 差得很大，其实你已经被“提醒”了一件事：供应商的流程不在统计控制状态——你拿到的未来产品会是什么样子，并不靠谱。

同样，如果流程不在统计控制状态，Cpk 和 Ppk 就基本没什么意义了。因为流程不一致、不稳定，你不能指望未来再得到类似的值。下面我们会通过一个例子进一步说明：两个流程用的是同一批数据，只是顺序不同。

两个流程——同一批数据，同一个 Ppk

我们来看两个流程（Process 1 和 Process 2），它们的数据来源完全一样（数据取自上一期文章），只是排序不同。假设你每小时取 4 个样本，组成一个亚组。你想判断这个流程能否满足规格要求：LSL = 65，USL = 145。流程1的 30 个亚组数据见表2（略）。

流程2的数据和流程1是同一批，只是顺序完全打乱了一下，见表3（略）。

由于本质上是同一批数据，所以表2和表3的数据有同样的平均值和同样的标准差：

平均值 = 98.98
标准差 s = 9.89

现在你用表2的数据画一个直方图，用表3的数据再画一个直方图，然后加上规格限 LSL = 65，USL = 145。你会发现，两张直方图一模一样——这很正常，因为数据是完全相同的一套。图4就是这个直方图。

从图上看，这个流程表现很不错——整体分布完全在规格范围里。你当然很满意。接下来，你计算流程1和流程2的 Ppk。由于均值和标准差完全一样，两个流程的 Ppk 也必然一样。计算如下：

所以，流程1和流程2的 Ppk 都是 1.14。

两个流程——同一批数据，不同的 Cpk

等等，那 Cpk 呢？两个流程的 Cpk 一样不一样？答案：不一样。

记住，Cpk 是基于组内变差（within subgroup variation）算出来的。虽然两套数据本质上相同，但亚组的“分组顺序”不一样，就会导致“组内变差”不同。

算 Cpk 时，你需要通过 R 控制图估算标准差 σ，并通过 X̅ 控制图估算整体平均值。注意，这是 Ppk 和 Cpk 之间一个非常重要的区别：Ppk 只是对所有数据直接做计算；Cpk 是通过控制图来估算平均值和流程变差——这是一种“用于预判未来”的方法。

先看流程1。流程1的 R 图如图5所示。

R 图处于统计控制状态，说明组内变差是稳定、一致、可预测的。于是你可以通过下面公式估计标准差：

σ = R̅ / d₂ = 22.50 / 2.357 = 9.54（约）

因为 R 图在统计控制状态，所以基于组内变差得到的 σ 是“有效的”：产生这些数据的流程是一致、可预测的，只要流程不变，未来也会保持这种水平。

接下来算 Cpk 还需要一个流程平均值，这个来自 X̅ 控制图。流程1的 X̅ 图如图6所示。

X̅ 图也处于统计控制状态，说明你对流程平均值的估计是可靠的“有效”估计。于是你可以用这个平均值和 σ 来算 Cpk：

Cpu = (USL − X̿)/(3σ) = (145 − 98.98)/(3×9.54) = 1.61
Cpl = (X̿ − LSL)/(3σ) = (98.98 − 65)/(3×9.54) = 1.19
Cpk = min{Cpu, Cpl} = 1.19

现在比较一下流程1的 Ppk 和 Cpk：

流程1：Ppk
s = 9.89
Ppu = 1.55
Ppl = 1.14
Ppk = 1.14

流程1：Cpk
σ = 9.54
Cpu = 1.61
Cpl = 1.19
Cpk = 1.19

你会发现两套结果非常接近。只要流程在统计控制状态，情况总是这样——因为：

当流程处于统计控制状态时，组内变差是整体变差的一个好估计，也就是说 σ ≈ s；
在这种情况下，Cpk 基本等同于 Ppk，它们在讲同一件事。

现在看流程2。流程2的 R 图如图7所示。

R 图同样处于统计控制状态——也就是说组内变差稳定、可预测。于是可以估计标准差：

σ = R̅ / d₂ = 12.87 / 2.357 = 5.46（约）

接下来算 Cpk，仍然需要整体平均值 X̿，这个要从 X̅ 控制图来。流程2的 X̅ 图如图8所示。

但这一次，X̅ 图不在统计控制状态：有点超出控制限，有长串点都在平均线一侧，等等。总之，流程“亚组间”的变差不稳定、不可预测。

这意味着，你对流程平均值并没有一个“靠谱”的估计。均值在来回飘，你根本说不准下一组的平均值会到哪里。流程不一致、不稳定，所以从未来角度看，你其实“没法”算一个有意义的 Cpk。

但在实际工作中，很多人对这一点直接视而不见，还是照样硬算 Cpk。反正算出来的平均值也是 98.98。于是按公式算：

Cpu = (USL − X̿)/(3σ) = (145 − 98.98)/(3×5.46) = 2.81
Cpl = (X̿ − LSL)/(3σ) = (98.98 − 65)/(3×5.46) = 2.07
Cpk = min{Cpu, Cpl} = 2.07

这就得到流程2的 Cpk = 2.07。现在把流程1和流程2的结果并排比较一下：

流程1 & 流程2：Ppk（相同数据）
s = 9.89
Ppu = 1.55
Ppl = 1.14
Ppk = 1.14

流程1：Cpk
σ = 9.54
Cpu = 1.61
Cpl = 1.19
Cpk = 1.19

流程2：Cpk
σ = 5.46
Cpu = 2.81
Cpl = 2.07
Cpk = 2.07

可以看到，流程2 的 Cpu、Cpl 与 Ppu、Ppl 差别非常大。归根到底，就是统计控制的问题：当 σ 和 s 差距很大时，Cpu 与 Ppu、Cpl 与 Ppl 之间差距也会很大——这强烈暗示流程不在统计控制状态。

总结：到底谁更“靠谱”：Cpk 还是 Ppk？

现实中，Cpk 更适合用来评估流程“潜在能达到的水平”（potential capability）。它代表在“理想状态下”你的流程能做到多好——所谓理想状态，就是组内变差和组间变差基本一样，也就是流程处于统计控制状态。

当流程处于统计控制状态时，Cpk 和 Ppk 基本相等，因此这时候其实不太需要 Ppk，多看 Cpk 就够了。

而如果流程不在统计控制状态，那你真正该干的事，是先让流程“稳定下来”，而不是纠结 Cpk 或 Ppk 的数值高低。此时这两个数值大体上都没什么实际意义——唯一有用的信息就是：如果 Cpk 和 Ppk 差很多，那八成说明流程不稳定、不受控。

不过说实话，你本来就应该知道这些，因为你在用优思 学院的流程能力检查清单。任何关于流程能力的分析，都应该从控制图开始——先看看数据是不是在统计控制状态。只有在这个前提下，谈 Cp、Cpk、Ppk 才有意义。