“开胃菜”数学专栏第16期：定积分不等式证明题之端点变易法

本期话题：积分等式和不等式证明题是考研中难度较大的板块，主要方法有积分中值定理、泰勒公式、化为二重积分、柯西不等式等，本期介绍一个常用方法：端点变易化方法，即将积分区间的其中一个端点设为 ，构造变限积分函数，然后利用变限积分的性质、微积分基本定理以及中值定理等来进行证明。这种方法在证明与定积分有关的中值问题、不等式证明等问题时经常用到，通过对变限积分函数的性质进行研究，可以巧妙地解决很多定积分证明题。

注意：构造变限积分函数 时，一般要明确 在积分区间 上连续，这是保证 可导的关键前提。

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典型题

｜详细分析

自主练习

｜专题训练

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【注1】“开胃菜” 数学专栏是咱号为助力学友们攻克大学数学学习难关，特别联合在大学数学教学领域拥有深厚积淀与丰富经验的金义明老师共同打造的优质学习专栏。专栏以 “夯实数学基础、拓展解题思路、提升问题解决能力” 为核心宗旨，聚焦学生在大学数学公共基础课学习中的核心需求。无论是在课堂学习后，希望进一步巩固相关课程的核心知识点，解决知识掌握不牢固的问题；还是在解题过程中，面临思路狭窄、方法单一的困境，渴望拓宽解题视角；亦或是希望系统积累各类实用解题技巧，提升解题效率与准确性，专栏都将提供针对性的内容支持。

在推文内容定位上，专栏主要面向三类核心人群：针对考研备考学子，围绕考研数学大纲，梳理高频考点、解析经典真题，助力学子夯实考研数学基础，突破备考难点；面向竞赛备赛的数学学习爱好者，将分享竞赛常用解题思路、技巧与典型例题，帮助同学提升竞赛解题能力，从容应对赛事挑战；同时，对于希望在大学数学相关课程学习中实现进一步提升与巩固的学友，专栏也通过知识点深化讲解、易错点分析等内容，助力其稳步提升数学素养与学习成绩。

【注2】对于练习，一定不要做完、核对完答案后就不管了！这些题目都具有代表性，一般代表了一类问题，或者某个知识点的应用、或某个题型的求解思路与方法，不仅对于解题思路要理解、掌握，同时对于涉及的知识点、解题思想与方法要总结，对于其中的一些结论、结果最好能够记住。同时，对于给出的参考解答过程，要仔细推敲一下，为什么这么做？问题解决的突破口在哪里？还有没其他更好的方法，自己的方法为什么不对，或者自己想不到求解思路的主要原因是什么？最后要注意及时查漏补缺，保证在再出现类似问题时，能够重现求解思路与过程，从而保证训练的有效性！对于如何练习，可以参考推文：.

【注3】选择的例题与练习题主要源于历届考研题、竞赛题与经典教材与参考书，相关题目可能略有改动！建议（一定）自己在草稿纸上动手做完以后再参考下面给出的参考答案！更多综合、提高典题型及详细参考解答（多解）参看高数、数分综合提高练习册，点击推文链接：了解详情！

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