非平衡态超均匀流体——一种新的物态

|作者：雷宇昇　倪冉†

(南洋理工大学化学化工与生物技术学院）

本文选自《物理》2025年第11期

摘要无序超均匀结构是一类独特的物质状态，整体表现为无序，但其在大尺度上的密度涨落却像晶体或准晶一样受到显著抑制，同时又不具备任何长程取向有序。近年来，这种独特的结构在多个自然体系中被广泛发现。随着研究的深入，科学家们逐渐认识到，超均匀性不仅与非平衡统计物理中的诸多关键性质密切相关，还可以通过合理设计在人造非平衡体系中实现。由于同时兼具无序性与大尺度有序性的特点，超均匀结构在材料科学、光学等领域展现出广泛的潜在应用前景，推动其成为一个新兴的跨学科研究热点。文章将回顾该领域近年来的重要进展，重点介绍几类典型非平衡体系中出现的动态超均匀结构，包括吸收态相变临界点附近的临界超均匀性、非平衡流体中的超均匀态，以及活性物质和生物系统中形成的超均匀结构等。

关键词超均匀，非平衡流体，活性物质

01

引 言

众所周知，物质可根据其结构特点被分为不同的物态，比如根据物质中粒子排布的有序程度可将物质分为有序态和无序态。其中，有序态包括晶体、准晶等，其粒子排布具有一定的规则性，如具有某种空间上的对称性破缺。而无序态的范围则更为广泛，包括常见的气态、液态、等离子态等物态，其粒子排布不具有规则性，而是展现出较强的随机性。如图1(a)，(b)所示，相比于有序态在空间中的均匀整齐，无序态往往在空间中排布疏密不均[1]。

我们都知道，自然界中很少有真正的“非黑即白”，看起来水火不容的事物，在漫长的演化中即使有也常常会被自然巧妙地调和。这就引出一个有趣的问题：能不能存在这样一种物态或结构，既保持有序体系般在整体上的高度均匀，又允许存在无序体系那样在局部上的随机性？换句话说，无序体系能不能做到像有序体系一样“排得很匀”？自然界给出的答案是：能。

一个直观的例子是某些干旱地区的植物分布[2]。为了在贫瘠的环境中更高效地利用水分和养分，植物往往会“主动拉开距离”：相邻植株的间距大致相同，从而避免过度竞争；但由于种子自发传播和着生位置本身带有随机性，每棵植物又不会像人工栽种那样严格落在规则格点上。这样一来，就形成了既均匀又不死板的空间格局，整体上看提高了植物的存活机会。类似的例子还有很多，比如为了更灵敏地感光而演化出的鸟类（如鸡）视网膜上几乎均匀、却又不规则的感光细胞排布；又比如为了更高效输运而形成的植物叶片中的叶脉网络。这些结构有一个共同特点：大尺度上非常均匀，小尺度上仍然保留随机性。这种夹在有序结构和完全随机结构之间特殊多体组织方式，就是本文要讨论的超均匀性——既不像晶体那样一板一眼，又不像完全无序那样杂乱无章。

图1 (a)无序态(泊松点分布)、(b)有序态(周期性晶格结构)与(c)超均匀态。图中

代表计算粒子数涨落采样过程中选取的采样窗口，其空间 尺度为

R

，采样窗口位置为

X

2003年，Torquato和Stillinger提出了一个新概念——无序超均匀结构(disordered hyperuniformity)[3，4]，如图1(c)所示[1]。该物态是一种介于完全有序与完全无序之间的奇特无定形状态，具有双重特性：一方面如晶体般在大尺度上密度涨落是被强烈抑制的，另一方面又像液体或气体那样在统计上保持各向同性，且不产生布拉格散射峰。同时，从性能上看，比如光学性质，无序超均匀结构也和晶体或准晶这种有序的超均匀结构很类似，为设计无序光学材料提供了新思路。最近十多年，具有这种特性的结构在自然界中被广泛发现，例如鸡视网膜中的光感受器排列[5]、植物的叶脉网络[6]、最密随机堆积结构[7]，甚至在宇宙早期的物质分布[8]中也存在类似特征。除了这些自然界中的例子，近些年来，研究人员在多种非平衡体系中也发现了一系列无序超均匀结构[9]，包括但不限于：理想玻璃态[10]、受剪切的颗粒系统[11]、自驱动粒子系统[12—18]、形状不规则的非布朗粒子沉降体系[19]、非互易相互作用的机器人系统[20]等。随着对该结构性质的深入理解，无序超均匀性不仅在物理学、数学与生物学等基础研究中展现出重要意义，也在若干前沿技术领域中展现出潜在应用价值。

02

超均匀性与超均匀结构

2.1　超均匀性的基本概念

考虑一个位于

维欧几里得空间中的点阵，如图1所示，若定义

N

R

)为在线尺度

R

内的任意采样窗口

中的点数目，则该尺度下的点数波动可表示为

其中<>为体系平均值的函数。如果考虑的点分布是完全随机的，例如泊松点分布，点数涨落满足
。而对于有序点分布，例如周期性晶格结构，点数涨落满足。超均匀的点阵模式可以被定义为：点数涨落随着长度尺度R的变化满足[3]：

其中，当

=1时，称点分布处于最大超均匀状态，其在大尺度上的点数波动的幂律标度与完美晶体等有序结构相同，即约等于

R

-1 。因此，虽然在小尺度上呈现出一定的随机性，而在大尺度上却如晶体般均匀的无序超均匀结构常被研究者称为“无序晶体”。

除了使用点数涨落来表征超均匀性，在多粒子体系中，还可以利用体系的结构因子来表征体系在大尺度上的结构特征，其定义为

其中
是体系的总关联函数

h

r)≡

g

r)-1的傅里叶变换，这里

g

r) 是体系的径向分布函数(或称两点关联函数)，k为傅里叶空间的波矢，

为体系的密度。对于完全随机的泊松点阵分布而言，在整个波矢k空间上均满足

S

k)=1，而对于完美晶体，则在布拉格峰之外的整个波矢k空间上满足

S

k)=0。对于超均匀体系，在大尺度上，即|k|→0时，结构因子满足：

由于
，从而有

S

k|→0)=0，这反映了超均匀体系不具有长程涨落。此外，一般来说，超均匀体系的结构因子通常满足一定的幂律标度：

且根据大尺度下的渐近分析，指数

与点数涨落

N

2 (

R

)相关，并可用于分类不同的超均匀体系：

此外，超均匀性概念还可被推广至标量场体系，如两相介质体系。考虑一个标量场

r)，其自协方差函数：

其中r=r2-r1，

为该标量场的均值。若对

r)进行傅里叶变换，类似于一般的点阵分布或者多粒子系统中的结构因子，我们可得到体系谱密度函数。从而，对于标量场体系，超均匀性也可由在大尺度极限下的谱密度函数定义，即，其趋于零也代表超均匀标量场不具有长程涨落。

2.2　超均匀结构的例子

2.2.1　鸡眼中的视觉细胞分布

眼睛作为一种光感受器，其视网膜上的视锥细胞在感受不同波长的光线方面起着至关重要的作用。通常，为了优化光线感知，这些感光细胞在视网膜上的排布需要满足两个条件：高密度和 均匀。前者是因为视网膜的面积有限，生物体通常希望排列尽可能多的感光细胞，而后者则是确保在不同方向上收集到的光信号是均匀的。人类具有三种感光细胞，分别感知红、绿、蓝三个波长区间的光，从而形成视觉。对于这样三种大小和数目一样的感光细胞，其最优的排布方式是六方晶格，因其既是二维的最密堆积结构同时又是超均匀的超晶格结构。许多昆虫的复眼及部分鱼类、爬行动物的视锥细胞分布即遵循此规律。然而，研究发现，鸡作为视觉敏锐的生物，拥有五种不同类型但是大小、数目一样的视锥细胞。由于几何规则的限制，这些细胞并不能在视网膜上排列成完全规则的高密度超晶格结构。

图2　超均匀结构的例子：鸡眼 (a)鸡眼视网膜中的视锥细胞；(b)紫色光视锥细胞空间分布以及(c)5种不同细胞总体分布。其中，右上小图为对应分布的结构因子[5]

在2014年的一项研究中，研究人员通过测量鸡视网膜中视锥细胞的分布结构因子

S

k

)，发现其分布呈现出超均匀性的特征，即在大尺度下，满足

S

k

→0)=0 [5] ，如图2所示。更重要的是，研究显示，不仅视锥细胞系统总体上呈现超均匀性，每种不同类型的视锥细胞也都展现了类似的超均匀分布。这一现象被称为“多重超均匀性”(multihyperuniformity)，即在系统整体呈现超均匀性的同时，多个不同的子系统也同时具备超均匀性。这说明，在自然界的漫长演化过程中，无序超均匀结构作为在无序状态下的有序晶体结构替代，可能是实现视觉功能优化的一种策略。这种超均匀性可使得鸡能够以较优的方式感知光线，从而在复杂的视觉环境中获得更精确的感知能力。

2.2.2　叶片中的叶脉网络结构

叶脉网络是植物叶片中至关重要的生理结构，承担着水分和养分的运输任务，同时也为叶片提供了必要的力学支撑。如图3(a)—(d)所示，叶片中的粗大主脉形成了次级脉的分支网络，而这些次级脉则发展出封闭的环状结构。2024年，一项研究通过分析这些封闭环状结构形成的泡孔结构，测量了由几何中心构成的点分布，发现其结构因子在大尺度上展现出超均匀性，并发现一些不同种类叶片具有普适的超均匀标度律

S

k

k

0.64 [6] ，如图3(e)，(f)所示。研究人员进一步发现，叶片中叶脉网络结构之所以呈现超均匀性，是因为这样的结构特性使得叶脉系统在水分和养分的传输效率上远超其他无序网络，并为植物在有限的空间内实现高效的物质交换提供了一个优化的解决方案。

图3　超均匀结构的例子：叶脉网络 (a，b)叶子与叶脉的图片；(c，d)叶脉网络形成的泡孔结构，及其几何中心构成的点分布；(e，f)叶脉网络形成的泡孔结构点分布的结构因子以及不同尺度上的粒子数涨落。其中，紫色虚线示意了结构因子的超均匀标度律

S

k

)∼

k

0.64 (图(e))，与其对应的粒子数涨落标度律

N2(

R

)∼

R

1.35(图(f))，黄色虚线示意了典型的非超均匀粒子数涨落标度律

σN

2(

R

)∼

R

2(图(f))

2.3　无序超均匀结构的应用

近年来，随着人们对无序超均匀结构的理解不断深入，这种新的物态在不同领域的应用潜力逐渐开始显现。比如，研究人员发现，由于无序超均匀结构与晶体结构在长程上的相似性，它能像传统光子晶体一样产生光子带隙，从而在光子芯片等领域中具有潜在应用[21，22]。值得注意的是，与一般晶体不同，由于无序超均匀结构不具有平移/旋转对称性破缺，其具有的光子带隙是各向同性的。与传统光子晶体相比，在被用于波导时，由于超均匀态的光子带隙是各向同性的，在拐角处的波损耗被极大减少，设计的自由度极大提升，从而使无序超均匀材料相比传统结构材料更具优势[21]。

此外，除了在光学体系中的应用，超均匀结构在电子输运体系中也具有潜在应用。通过研究超均匀的非晶态二维二氧化硅结构，研究人员发现超均匀结构使体系内的电子波局域化，显著降低了电子带隙。与晶体相比，二维二氧化硅结构的带隙几乎完全闭合，使其事实上具有金属性，从而增强了体系中的电子输运行为[23]。超均匀态的结构特殊性打破了体系越无序电子输运效率越低的传统观点，并在二维材料以及固体物理等领域有着广阔的应用前景。

03

非平衡态体系的例子

3.1　随机组织体系中的超均匀

3.1.1　超均匀临界吸收态结构

在2005年，Pine和其合作者们通过实验研究了受到周期性剪切作用下的球形聚甲基丙烯酸甲酯(PMMA)粒子悬浮液体系[24]。他们发现，在低雷诺数条件下，这种受到缓慢剪切的非布朗悬浮液中的粒子动力学具有高度不可逆性和混沌特性，并展现出一种可逆—不可逆转变。通过测量粒子的轨迹，研究人员发现，当剪切应变幅度

超过一个与体系浓度相关的阈值

c 时，由于体系中粒子碰撞运动的混沌性，粒子在一个剪切周期的运动后无法回到初始位置，即不可逆态。若小于该阈值，则可以回到初始位置，即可逆态。

为了进一步研究可逆—不可逆转变的动力学机制，Corté等人提出了一种称作随机组织(random organization，RO)的模型[25]。如图4所示，在该模型中，为模拟前述周期性剪切悬浮液实验中粒子的动力学行为，研究者假设系统包含一定数量的粒子，并置于矩形模拟盒中，且该系统受到一应变幅度为

的周期性剪切作用。当体系受到剪切作用时，体系中的一部分粒子会与其他粒子发生碰撞，这部分粒子被称作活跃粒子。为模拟文献[24] 体系中的不可逆混沌动力学，所有活跃粒子会被给予在给定区间内的一个随机大小和方向的位移。从而，当应变幅度较小时，因为体系中的粒子碰撞较少，经过若干次剪切后，体系中活跃粒子的数量逐渐减少至零，系统进入可逆状态，粒子运动轨迹最终稳定。而当应变幅度较大时，粒子较易发生碰撞，从而活跃粒子持续存在，系统维持在一个稳定的混沌不可逆状态。当选择稳态的活跃粒子比例

f

a

∞ 作为序参量，这种可逆—不可逆转变可以被描述为一种吸收态相变。即当

f

a

∞ =0时，系统处于吸收态，即体系无法自发逃离该状态；而当

f

a

∞ >0时，系统处于活跃态。当

c 时，随着

的增加，

f

a

∞ 发生平滑的连续变 化，从吸收态逐渐过渡至活跃态，展现出连续相变的特征。

图4　守恒定向渗流普适类中吸收态相变临界点的超均匀结构 (a)二维RO模型在不同剪切应变下的结构密度涨落；(b)一维RO模型在不同密度下的结构密度涨落；(c)二维CLG模型在不同密度下的结构因子[26]。其中

为剪切应变幅度，

为体系的密度

随后，在随机组织模型的临界吸收相变点处，定义密度涨落为，

l

为密度涨落对应的线尺度。研究发现，体系在大尺度上的密度涨落表现出异常的被抑制现象，说明该系统具有超均匀性 [26] 。如图4(a)所示，随着应变幅度

从吸收态逐渐逼近临界相变点

c ，体系密度涨落的超均匀标度行为

2 (

l

l

-2.45 在

l

→∞大尺度处逐渐显现。此外，在文献[27]中，研究者证实随机组织模型的吸收态相变属于守恒定向渗流(CDP)普适类。该普适类可描述一系列具有相似临界行为和相同临界指数的模型。为了验证是否同一普适类中的其他模型在临界点也表现出相同的超均匀结构特征，文献[26]进一步研究了CDP普适类中的另外两个模型，即Manna沙堆模型和守恒晶格气体(CLG)模型。

在二维CLG模型中，研究者计算了粒子密度涨落

2 (

l

) 和结构因子

S

k

)，并发现其密度涨落标度行为与二维RO模型的结果一致，即

2 (

l

→∞)~

l

-2.45 ，并且也与结构因子在小波数区域(即大尺度区域)呈现的标度关系相符合，即

S

k

k

0.45 ，如图4(c)所示。这说明该临界超均匀结构具有普适性。此外，研究者还对一维与三维CDP系统进行了研究，发现一维RO模型的密度涨落在临界点处满足超均匀标度关系

2 (

l

→∞)~

l

-1.425 (图4(b))，而在三维CLG模型中，其密度涨落的超均匀标度关系为

2 (

l

→∞)~

l

-3.24 。这表明，CDP普适类在临界点的超均匀标度行为依赖于系统的维度。

图5　剪切悬浊液体系中超均匀临界态的结构因子。图中

为体系的粒子体积分数，三角形标识表明了结构因子在大尺度波动(

k

→0)上符合S(

k

k

0.25 的标度关系 [14]

为了在实验中验证三维临界吸收相变点处的超均匀性，Wilken等人研究了周期性剪切悬浮液在吸收态相变过程中的结构变化，其实验装置与文献[24]中的设置类似。他们通过测量粒子在每个应变周期内的均方位移来确定不同粒子体积分数

下的临界应变幅度

c ，并进一步计算了临界相变点处的结构因子

S

k

)，如图5所示。在临界点处，同前人三维体系模拟得到的结果类似，他们也观察到结构因子在小波数区域满足超均匀标度关系

S

k

k

0.25[14]。

3.1.2　超均匀活跃态

在上一小节中，我们介绍了守恒定向渗流普适类以及其中代表性的随机组织模型在吸收态相变临界点处的超均匀现象。在随后的一篇文献中，Hexner等人又对基于随机组织模型的变体进行了研究[28]。与原始模型相比，他们在系统中引入了质心守恒(CMC)条件，并发现这一修改能够产生新的超均匀态。如图6(a)所示，在该模型中，活跃粒子不再是完全随机的位移，而是给予碰撞粒子对的中心连线方向的大小相同方向相反的位移。位移大小从均匀分布[0,

]中随机选取，其中

为粒子直 径，从而保证系统的质心守恒。在这个工作中，为简便起见，研究者选择了零应变(

=0)的二维体系进行模拟研究，这样一来，体系在吸收态相变中所处的状态可由粒子密度所控制。他们研究了不同粒子密度

下的结构因子

S

k

)，结果如图6(b)所示。可以观察到，在吸收态相变临界点，该系统的结构因子仍然满足与原始RO模型相同的标度关系

S

k

k

0.45 。此外，他们发现满足质心守恒的RO模型在活跃态时呈现出一个新的、与维度无关的结构因子标度关系

S

k

k

2 ，这表明质心守恒条件在活跃态中抑制了长程密度涨落，并诱导出强烈的长程超均匀性。

图6 具有质心守恒的RO模型中的临界点和活跃态超均匀结构 (a)RO模型的示意图；(b)RO模型在不同密度下的结构因子[28]

此外，他们还在守恒定向渗流普适类中的另一模型，即Manna模型，中加入质心守恒，以验证该机制的普适性。研究发现，在相应的临界状态和活跃态下，该系统的结构因子也表现出与质心守恒的RO模型相同的超均匀标度行为。

3.2　活性物质体系中的超均匀态

3.2.1　超均匀随机组织流体

在3.1中，我们介绍了基于随机组织模型的一类超均匀体系，包括守恒定向渗流普适类临界点的超均匀结构以及满足质心守恒的活跃态的超均匀结构。值得注意的是，因为真实粒子具有惯性，所以这类系统无法在任何实际的粒子系统中直接实现。为解决这个问题，如图7(a)所示，文献[29—31]中提出了一个基于硬球流体的非平衡态动力学模型。在该模型中，粒子的质量为

m

，直径为

0 ，系统的密度由无量纲量描述，其中

为体系的维度。与常规的硬球流体不同，该系统中的粒子在发生碰撞时，不仅遵循弹性碰撞规则，还会额外获得一份活性动能Δ

E

，并由碰撞的两个粒子平均分配，即激发碰撞作用。此外，在两次碰撞间隔期间，粒子受到与其速度

v

成正比的阻力-

0

v

损耗其动能，其中

0 是线性阻尼系数。由此可见，该系统符合常见的驱动耗散系统的特征，并且相行为由两个特征长度尺度控制：(1)低密度下的粒子平均自由程，表示粒子两次连续碰撞之间的特征距离；(2)耗散长度，表示单个孤立粒子获得活性能量后在阻尼作用下停止行进的特征距离。

与RO模型类似，该体系也展现出吸收态相变。当

l

l

m 时，系统最终陷入吸收态，体系中的粒子会归于静止；而当

l

l

m时 ，系统会自组织形成一个稳态活性流体，并具有正的动力学温度

T

k >0。该系统的相图如图7(b)所示，其中虚线表示该平均场理论对相边界的预测(

l

l

m)。

图7　硬球流体非平衡态动力学模型中的吸收态相变以及超均匀活性流体 (a)硬球流体的相互作用示意图；(b)吸收态相变相图；(c，d)平衡态流体与超均匀态流体的区别；(e)在不同密度下的结构因子[29]

通过测量吸收态相变临界指数，研究者发现该系统也可归类为守恒定向渗流普适类，并且发现该体系二维临界点结构的结构因子满足标度关系

S

k

k

0.45 ，这与前面所述的一致。此外，在二维和三维系统的活性流体中，结构因子表现 出更强的

S

k

k

2的超均匀标度行为。为更深入理解活性流体中的超均匀性，研究者提出了一种基于广义Navier—Stokes (NS)方程的流体动力学理论。

与一般NS方程不同，由于驱动—耗散体系的特性，体系的动量和能量并不守恒。这是因为该流体受到阻尼摩擦作用，
为流体的阻尼系数。而激发碰撞反映在噪声项里。对NS方程进行流体力学线性化，并在空间上作傅立叶变换，研究者发现体系的密度涨落，其中是体系的平均密度，在傅立叶k空间中满足一个等效的随机简谐振子的运动方程。如图7(c)所示，当阻尼系数=0时，体系的行为类似于低密度平衡态流体，满足

S

k

)≃1，这可以理解为该等效振子处于共振态，在一定热浴温度下(即驱动噪声强度固定时)，根据能量均分定理，谐振子的振幅是恒定的。而当系统处于较大阻尼状态 >0时，体系在一定长度尺度之上，即

k

l

d -1 ，会表现出超均匀标度行为

S

k

k

2， 如图7(e)所示。这一行为可解释为该等效谐振子处于过阻尼状态，其等效阻尼系数无限大，从而导致等效谐振子的振幅被抑制为零，如图7(d)所示。此外，值得注意的是，在该过阻尼状态下，该方程形式可以被用来描述质心守恒的RO模型的活跃态超均匀体系 [28] 。这说明这种超均匀活性流体与RO模型的超均匀活跃态具有相似的物理机制。

随后，为了在活性物质体系中进一步实现超均匀活性流体，文献[29]基于自驱动陀螺模型提出了一种更加现实的超均匀流体态。在该模型中，自驱动陀螺由两个刚性连接的粒子组成，在外力矩的驱动下，陀螺会自发高速旋转。当两个陀螺碰撞时，陀螺的旋转动能会转变为平移动能，从而实现了激发碰撞作用，使体系的平动动能增加；而当陀螺在空间中作自由平动运动时，其又会受到环境的摩擦阻力，从而耗散平动动能。在无热条件下，当体系密度和外场足够大时，研究者发现这种陀螺流体会呈现出与之前模型一样的超均匀标度，即

S

k

k

2 ， 如图(8)所示。这样一来，前述超均匀流体便可在这种自驱动陀螺体系中被实现。

图8　自驱动陀螺模型中的超均匀流体态 (a)自驱动陀螺模型示意图；(b)自驱动陀螺流体在不同驱动力下的结构因子，图中

为驱动陀螺旋转的外力矩，

为陀螺之间WCA排斥相互作用的强度 [29]

3.2.2　超均匀手性活性粒子体系

在上小节中，我们介绍了一种超均匀流体及其在自驱动陀螺体系中的实现。类似地，在文献[18]中，研究者们通过布朗动力学模拟研究了一种自驱动手性粒子系统。在该系统中，所有粒子受到垂直于粒子运动平面的相同驱动力矩

，并且粒子之间通过Weeks—Chandler—Andersen (WCA)势能相互作用。在热浴温度T，粒子的运动由过阻尼的朗之万方程控制。由于所有粒子受到相同驱动力作用，在无热极限

T

=0下，体系中的所有粒子作具有相同手性的圆周运动，且其旋转半径

R

与驱动力成反比。

并且，随着粒子的面积分数或圆周运动半径的增加，通过测量粒子的均方位移(MSD)，研究者发现系统会经历从无碰撞的吸收态(即扩散系数

D

=0)到有粒子碰撞的碰撞活跃态(扩散系数

D

>0)的相变。在低粒子面积分数(

=0.2)下，粒子会在活跃态中做布朗扩散运动，其均方位移随时间满足MSD∼

t

。并在大尺度上，研究观察到了强超均匀性，如图9(a)，(b)所示，其粒子密度涨落满足<

δρ

2 (

L

→∞)>∼

L

-3 ，并且结构因子标度关系为

S

k

→0)∼

k

2 。

图9　自驱动手性粒子体系中的超均匀 (a，b)在

=0.2时，低密度体系在不同旋转半径下的密度涨落与结构因子；(c，d)在

=0.4时，高密度体系在不同旋转半径下的密度涨落与结构因子 [18]

而在更高的粒子面积分数(

=0.4)的活跃态中，如图9(c)，(d)与典型体系结构图10所示，体系会在小于

R

的尺度上发生微观相分离，结构因子呈现临界标度行为

S

k

)∼

k

-2 ，但在大于

R

的长度尺度上仍然保持着超均匀性，其结构因子标度仍为

S

k

→0)∼

k

2 。在这种情况下，体系在不同尺度上同时存在两种看似矛盾的现象——即小尺度上的巨密度涨落与大尺度上的超均匀性。有趣的是，类似的现象也在宇宙早期阶段的结构中被发现，即由于引力导致的的局部巨密度涨落与早期宇宙整体的超均匀性也是共存的 [7] 。

图10　粒子面积分数

=0.4时，自驱动手性粒子体系在不同旋转半径

R

下的典型结构图像。图中不同颜色代表粒子自驱动运动的方向，如图右上角颜色盘所示 [18]

为了解释活跃态下的超均匀结构因子标度

S

k

→0)∼

k

2 , 研究者通过将粒子的旋转中心看做等效粒子，在大于旋转半径

R

的尺度上，得到了关于等效粒子的密度场方程，其基本形式与带热噪声项的菲克扩散方程相似。值得注意的是，与一般平衡体系不同，该体系中的粒子运动在无热极限下满足质心守恒。因此，与平衡态体系中常见的热噪声不同，密度场方程中的等效噪声亦为质心守恒噪声，其在大尺度上抑制长波密度涨落，并在体系中引入长程关联，使体系呈现超均匀性。

在之后的一篇文章[32]中，Zhang 和 Snezhko在实验体系中实现了手性活性粒子的超均匀结构。他们在AOT/十六烷溶液中制备了若干个梨形聚苯乙烯粒子，并将其夹在两片玻璃片之间。如图11(a)所示，当体系置于一垂直于玻璃片的电场

E

时，粒子会由于Quincke旋转原理进行圆周运动，其中一半的粒子会顺时针旋转，另一半逆时针旋转，呈现不同的手性。实验发现，在不同电场强度下，体系会表现出不同的流体状态。如图11(b)所示，随着外加电场的减小，粒子运动逐渐呈现涡旋流模式，伴随超均匀结构逐渐显现，其粒子密度波动的标度律从<

δρ

2 >∼

L

-2 转变为<

δρ

2 >∼

L

-3 ， 而相应的结构因子的标度律也从

S

k

)∼

k

0 变为

S

k

)∼

k

1 。这一实验现象定性验证了前述理论与数值模拟发现的手性活性粒子的超均匀结构 [18] 。值得注意的是，该实验发现的超均匀标度律的指数与前述模拟结果有所不同，这可能是由于实验中有理论模拟中未考虑到的因素所致，例如流体动力学效应导致的复杂噪声。

图11　实验中实现的手性活性粒子的超均匀结构 (a)实验体系中的手性活性粒子示意图；(b)不同电场强度

E

下体系的密度涨落，其中左下角子图为不同电场强度下的粒子轨迹曲率，存在三种粒子流状态：涡旋流、旋转集群流和自转粒子流 [32]

3.2.3　超均匀虫黄藻体系

在文献[33]中，如图12(a)所示，Huang等人研究了虫黄藻的自组织行为。虫黄藻可利用其鞭毛的摆动在气液界面上沿着圆周轨迹运动；细胞的游泳行为在液体环境中产生流场，引发虫黄藻之间的长程排斥作用。研究者们发现这种长程排斥作用可有效抑制大尺度的密度涨落，使体系呈现无序超均匀态。通过分析细胞分布及快照图像，在不同的细胞数密度下，他们发现系统的结构因子在小波数极限下均满足超均匀标度律

S

k

→0)∼

k

0.6 ，如图12(b)所示。

图12　虫黄藻体系中的超均匀结构 (a)虫黄藻作圆周游动示意图；(b)不同密度的实验(散点)与模拟(实线)得到的虫黄藻结构的结构因子(左上角小图为实验得到的超均匀体系的典型结构，右下角小图为系统演化至稳态后粒子的空间分布)[33]

此外，研究人员还通过计算机模拟对该体系进行了研究。实验中，虫黄藻的运动主要受到两种机制的影响：(1)由圆周游动产生的流体力学相互作用；(2)个体虫黄藻的随机跳跃运动。从而在他们的数值模型中，藻类之间的流体相互作用通过正则化Stokeslet方法得到细胞游动所产生的流体流场，进而得到其间相互作用力；而随机跳跃运动则通过拟合实验数据，并结合具有长尾特性的Pareto分布进行建模。如图12(b)右下小图所示，在系统演化至稳态后，研究人员测量了粒子的空间分布，并计算了其结构因子。结果表明，模拟所得的结构因子与实验观测数据高度一致，这进一步说明了实验中观察到的超均匀结构来源于藻类细胞圆周游动所引发的长程流体动力学相互作用。

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总结与展望

无序超均匀性的概念提出已有二十余年，但在近年来其重要性才广泛被认识到。在平衡态系统中，若要实现无序超均匀结构，人们通常需要精细设计的长程相互作用势能，而这在实验上极具挑战性。然而，在非平衡体系中实现无序超均匀结构则无需引入长程相互作用。作为过去十年中超均匀性研究的一个新兴方向，非平衡动态超均匀态受到了广泛关注，本文简要回顾了其近年来的研究进展。

总的来说，这些非平衡体系为在现实体系中实现超均匀结构提供了全新可能，也为开发功能性超均匀材料铺平了道路。未来的研究可进一步探索与本文中所述体系具有相似特征的其他系统中是否也能发现超均匀结构。例如，既然CDP类吸收态相变体系中已观测到临界超均匀态，那么在其他类型的非平衡相变的体系中是否也能找到类似现象，如可逆—不可逆转变、退钉相变等，都值得进一步探讨。

我们回顾的多数体系皆为经典系统，但无序动态超均匀态也可在量子系统中实现。例如，在超导材料中的涡旋系统[34—36]以及边界驱动的开放量子链系统[37，38]中，均发现了动态超均匀结构。因此，从多学科的视角出发，对超均匀性展开研究，正成为一个极具前景的方向。无论是在统计物理、材料科学，还是在生物学、光学乃至量子信息等领域，超均匀结构都展现出独特的物理性质和广泛的应用潜力。更一般地来说，探讨超均匀性在自然界中的作用同样值得关注。近年来，人们在越来越多的自然体系中看到了超均匀性的迹象，如生物组织、生态空间格局，甚至宇宙大尺度结构的分布，这都在提示我们：这种介于有序与无序之间的组织方式，可能是一种被自然反复选用的高效方案。进一步理解这些结构为何会自发出现，以及它们能如何反向启发工程设计、材料构筑、信息感知等多学科问题，进而指导与改善人们生产生活实践，就显得尤为重要。也正因超均匀性具有高度普适性，它常在出人意料的场景中显现并发挥作用，而跨学科研究将深化对其生成机制的理解，并拓展该领域的研究边界与应用空间。

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