场外期权定价：蒙特卡洛模拟到底怎么回事？

场外期权定价是个复杂又关键的问题。很多人好奇，用蒙特卡洛模拟出股价后，根据不同情况得出不同收益，为啥不能直接折现求平均值呢？要弄明白这个问题，咱们得先了解一些基本概念和背后的原理。

一、蒙特卡洛模拟与“不同结构”的疑惑

蒙特卡洛模拟是一种通过大量随机抽样来模拟复杂系统行为的方法。在期权定价里，就是模拟股价的未来走势。这里提到的“不同结构”，简单说就是期权不同的收益规则。比如有的期权是到期时股价高于某个值就赚钱，有的则是股价在一定区间内波动才有收益，这些不同的收益规则就构成了不同的结构。

有人觉得模拟出股价后，按照不同结构算出收益，直接折现求平均值就能得到期权价格。但实际并非如此简单，这背后涉及到测度的选择问题。

二、测度选择：模拟股价的基础

使用蒙特卡洛方法给期权定价时，通常要先确定一个测度。测度就像是一个规则框架，在这个框架下我们才能写出描述股价变化的随机微分方程（SDE）。这就好比做数学题，得先明确使用的公式和规则，不然连题目都没法列，更别说计算了。

在确定的测度下，我们可以对SDE进行离散化处理，然后通过模拟生成股价的价格路径。就像我们规划一条旅行路线，先确定好地图和方向（测度），再一步步规划每一步怎么走（离散化和模拟）。

三、直接折现平均与测度变换

一般情况下，选好了测度，最后算出的期权收益（payoff）是可以直接进行折现平均来计算期权价格的，不需要进行测度变换。因为一旦测度选好了，SDE里的漂移率（drift）也就确定了。而波动率（volatility）通常不受测度的影响，测度的选择也不会改变标的资产（比如股票）的分布形式。

不过，选对测度能大大简化定价过程。这就好比走一条近路，能更快到达目的地。例如，在风险中性测度下，对于单标的权益类期权（比如只涉及一只股票的期权）定价就很方便。不管是欧式期权（只能在到期日行权）、美式期权（可以在到期日前任意时间行权）还是障碍期权（股价达到特定障碍值时期权生效或失效）等，在这个测度下，标的资产的增长率都是无风险利率。这就让计算变得简单多了，就像解一道有固定解法的数学题。

四、多标的期权定价的复杂性

但要是遇到多标的期权定价，情况就复杂多了。多标的期权涉及多个资产，比如两种或多种股票组合的期权。以quanto option（量化调整期权）为例，它涉及本币和外币的不同风险中性测度。这时候就需要把所有资产的演化都转化成本币对应的风险中性测度。在这个过程中，要特别注意由于不同资产之间相关性引起的漂移率附加项。这就像在多个变量相互影响的情况下解方程，得考虑各个变量之间的关系，计算难度大大增加。

五、固定收益类产品的特殊测度

对于固定收益类产品，情况又有不同。每一个到期期限的零息债券都可以作为一个计价单位（numeraire），分别对应不同的T - forward measure（T期远期测度）。而且一般情况下，不存在一个唯一的“最优”测度。比如在swaption（互换期权）定价中，干脆把一篮子零息债券的组合作为计价单位，定义一个新的annuity measure（年金测度）。这就好比在不同的场景下，使用不同的工具和规则来解决问题，没有一种方法能适用于所有情况。

场外期权定价中的蒙特卡洛模拟和测度选择是个复杂又精妙的过程。不同的期权类型和资产组合需要选择合适的测度，才能准确、高效地计算出期权价格。

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